广东省揭阳市榕城区2024年中考二模数学试题（解析版）

这是一份广东省揭阳市榕城区2024年中考二模数学试题（解析版），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 生产厂家检测4个篮球的质量，结果如图所示，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的篮球是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵，
∴质量为－0.5的篮球最接近标准质量，故选：B．
2. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A．，故选项错误，不符合题意；
B．，故选项错误，不符合题意；
C．，故选项错误，不符合题意；
D．，故选项正确，符合题意．
故选：D．
3. 下图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】卷纸的主视图应是：

故选：C．
4. 通过大量的掷图钉试验，发现钉尖朝上的频率稳定在附近，则可估计钉尖朝上的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】掷图钉钉尖朝上为随机事件，通过大量的试验，该事件发生的频率稳定在，于是可以把频率估计成该事件发生的概率．
故选：C．
5. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，垂直平分于点E，则的长为（ ）
A. B. C. 4D. 2
【答案】B
【解析】∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
6. 如果四点，和和在反比例函数的图象上，那，，之间的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】，和和在反比例函数的图象上，
，
，，，
，
故选A．
7. 某人把“抖空竹”的一个姿势抽象成数学问题．如图所示，已知，，，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】延长交于点，
∵，
∴，
∵，，
∴，
故选B；

8. 2023年5月12日是我国第15个全国防灾减灾日，我校组织八年级部分同学进行了两次地展应急演练，在优化撤离方案后，第二次平均每秒撤离的人数比第一次的多15，结果2000名同学全部撤离的时间比第一次节省了240秒，若设第一次平均每秒撤离x人，则x满足的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意得：，
故选：A．
9. 如图，在扇形中，，半径，点是上一点，连接，沿将扇形折叠，使得点落在的延长线上的点处，连接，则图中阴影部分面积为（结果保留）（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为，且，
所以．
由折叠可知，，
则．
设长为，
则，
在中，，
解得，
所以．
又因为余下的阴影部分的面积与右上方的弓形面积相等，
则，
所以．
故选：C．
10. 在平面直角坐标系中，点，在抛物线（）上，设抛物线的对称轴为直线．若，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵，
∴，解得，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）
11. 若最简二次根式与能够合并，则______．
【答案】2
【解析】由题意可知：，
，
故答案为：2．
12. 已知方程，用含代数式表示，则________．
【答案】
【解析】由题意得：，解得：，
故答案为：．
13. 如图，某同学利用镜面反射的原理巧妙地测出了树的高度，已知人的站位点，镜子，树底三点在同一水平线上，眼睛与地面的高度为米，米，米，则树高为______米．

【答案】
【解析】点作镜面的法线，由入射角等于反射角可知，

，，
，
又，
，
，
米，米，米
，米．
14. 如图，与位于平面直角坐标系中，，，，若，反比例函数恰好经过点C，则______．
【答案】
【解析】过点C作轴于点D，如图所示：

∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，，
∵，，∴，
∴，∴点，∴，
故答案为：．
15. 如图是某学校全体教职工年龄的频数分布直方图（统计中采用“上限不在内”的原则，如年龄为36岁统计在小组，而不在小组），根据图中提供的信息，有下列说法：
①该学校教职工总人数是50；
②年龄在小组的教职工人数占该学校全体教职工总人数的；
③教职工年龄的中位数一定落在这一组；
④教职工年龄的众数一定在这一组．
其中正确的是 ________．
【答案】①②③
【解析】①该学校教职工总人数为（人），故符合题意；
②在小组的教职工人数占该学校全体教职工总人数的比例为，故符合题意；
③由第25个，第26个数据落在这一组，可得教职工年龄的中位数一定落在这一组，符合题意；
④教职工年龄在的总人数最多，但教职工年龄的众数在哪一组并不确定．不符合题意.
故答案为：①②③．
16. 如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形绕点O顺时针旋转n个45°，得到正六边形，当时，正六边形的顶点的坐标是______．
【答案】
【解析】∵正六边形，
∴每个内角的度数为，即，
∴正六边形的一个外角为，即与轴正半轴的夹角为，
如图所示，未旋转时，连接，正六边形的边长为，，过点作于点，
∴，
∵
∴
∴
在中，根据勾股定理得，，
∴，
∴，
当正六边形绕点顺时针旋转，
∴，即旋转次，正六边形回到起始位置，
∴当时，，即旋转轮后，点回到了原位置，如图所示，
∵，
∴，
即当时，顶点的坐标是，
故答案为：．
三、解答题（本大题4小题，其中17-18题各4分，19-20题各6分，共20分）
17. 解不等式组．
解：解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
则不等式组的解集为．
18. 如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形：
（1）长为的线段，其中、都在格点上
（2）面积为5的正方形，其中、、、都在格点上
解：（1）如图，线段即为所求，
其中；
（2）如图，四边形即为所求，
其中：，
连接，
∴，∴，
∴，
∴四边形为正方形，且面积为．
19. 以下是某同学化简分式的部分运算过程：
解：原式……第一步
……第二步
……第三步
（1）上面第二步计算中，中括号里的变形的依据是________；
（2）上面的运算过程中第________步出现了错误；
（3）请你从出错的那一步开始把解题过程补充完整．
解：（1）上面第二步计算中，中括号里的变形是通分，其依据是分式的基本性质，
故答案为：分式的基本性质；
（2）观察可知，上面的运算过程中第三步出现错误，原因是计算减法的时候第二个分式的分子中的符号没有变号，
故答案为：三；
（3）原式
.
20. 在某次物理实验中，需要在图中的1、2、3个位置处安装3个元件形成电路，现有A、B、C三个元件，其中有一个元件在上一次实验操作中被烧坏掉，现将三个元件分别任意安装到1、2、3处；
（1）位置1处安装被烧坏的元件概率为_______；
（2）请用合适的方法分析并求出闭合开关后，小灯泡能亮的概率．
解：（1）∵烧坏的元件安装到1、2、3处的概率一样，
∴位置1处安装被烧坏的元件概率为；
（2）根据并联电路的特点可知，位置1处必须放完好的元件才能保证形成电路，假设A、B、C中烧坏的元件为A，列树状图如下所示：
由树状图可知一共有6种等可能性的结果数，其中小灯泡能亮的结果数有2种，
∴小灯泡能亮的概率为．
四、解答题（本大题3小题，其中21题8分，22-23各10分，共28分）
21. 某小区为了改善绿化环境，计划购买、两种树苗共棵，其中 树苗每棵 元， 树苗每棵元． 经测算购买两种树苗一共需要元．
（1）计划购买 两种树苗各多少棵?
（2）在实际购买中，小区与商家协商：两种树苗的售价均下降元（），且每降低 元，小区就多购买树苗棵，树苗棵．小区实际购买这两种树苗的费用比原计划费用多了元，则该小区实际购买 树苗共多少棵?
解：（1）设购买树苗棵，树苗棵，
根据题意得，，
答：计划购买树苗棵，树苗棵；
（2）根据题意得，
整理得，
，(不符合题意，舍去)，
，
答：该小区实际购买 树苗共棵．
22. 如图，是的外接圆，是的直径，点D在上，，连接，延长交过点C的切线于点E．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若的长为 ___________．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：连接OC，如图：
∵与相切于点C，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
23. 三月是草长莺飞的好时节，某高校组织学生春游，出发点位于点C处，集合点位于点E处，现有两条路线可以选择：①，②．已知B位于C的正西方，A位于B的北偏西方向米处，且位于C的北偏西方向处．D位于A的正西方向米处，E位于C的西南方向，且正好位于D的正南方向．
（参考数据：，，，）
（1）求A与C之间的距离（结果保留整数）；
（2）已知路线①的步行速度为40米/分钟，路线②的步行速度为75米/分钟，请计算说明：走哪条线路用时更短？（结果保留一位小数）
解：（1）如图，过点A作，交的延长线于点H，则，
由题意可知，，，
∴（米），
∴（米），
即A与C之间的距离为500米；
（2）设与的交点为M，由题意可知， ，
∴四边形是矩形，
∴米，（米），
米，
由题意可知，，
∴是等腰直角三角形，
∴米，
∴米，
∴路线①的步行的时间为（分钟）
路线②的步行的时间为（分钟）
∵，
∴走线路①用时更短．
五、解答题（本大题2小题，每小题12分，共24分）
24. 定义：在平面直角坐标系中，当点在图形的内部，或在图形上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形的“梦之点”．
（1）如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形“梦之点”的是 ；
（2）如图②，已知点，是抛物线上的“梦之点”，点是抛物线的顶点．连接，，，求的面积；
（3）在（2）的条件下，点为抛物线上一点，点为平面内一点，是否存在点、，使得以为对角线，以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵矩形的顶点坐标分别是，，，，
∴设矩形的“梦之点”为，满足，，
∴点，，中，是矩形“梦之点”为点，．
故答案为：，．
（2）∵，是抛物线上的“梦之点”，
∴点，是直线上的点，
∴，∴，，
∴，；
∵，
∴二次函数的顶点，二次函数的对称轴为，
设抛物线的对称轴交于，
∴，
∴，
∴
．
（3）存，理由如下：
设，
∵以为对角线，以、、、为顶点的四边形是菱形，
∴，
∴，
解得：，
当，，
∴点；
当，，
∴点；
综上所述，点的坐标为：或者．
25. 在矩形中，点是射线上一动点，连接，过点作于点，交直线于点．

（1）当矩形是正方形时，以点为直角顶点在正方形的外部作等腰直角三角形，连接．
①如图1，若点在线段上，则线段与之间的数量关系是________，位置关系是________；
②如图2，若点在线段的延长线上，①中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；
（2）如图3，若点在线段上，以和为邻边作，是中点，连接，，．
①求面积的最大值；
②直接写出最小值是________．
解：（1）①∵四边形为正方形，
∴即，
∵，
∴，
∴，又，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，而，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴且，
∴，，
故答案为：相等；垂直；
②成立，理由是：
当点E在线段的延长线上时，
同理可得：，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，而，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴且，
∴，；
（2）①连接，

∵，
设，则，
同（1）可得：，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴的面积，
当时，的面积的最大值为；
②∵，
∴C、E、G、F四点共圆，
∵四边形是平行四边形，M为中点，
∴M也是中点，
∴M是四边形外接圆圆心，
则的最小值为圆M半径的最小值，
∵，
设，
当时，y取最小值，
∴的最小值为，
故的最小值为．