河北省唐山市百师联盟2023-2024学年高二下学期期末联考数学试卷（解析版）

这是一份河北省唐山市百师联盟2023-2024学年高二下学期期末联考数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了 已知等差数列，前项和为，则， 已知， 已知抛物线过点，则， 已知是虚数单位，若，则等内容，欢迎下载使用。
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考场号､座位号､准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
考试时间为120分钟，满分150分
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 以下数据为某学校参加学科节数学竞赛决赛的10人的成绩：（单位：分）72，78，79，80，81，83，84，86，88，90．这10人成绩的第百分位数是85，则（ ）
A. 65B. 70C. 75D. 80
【答案】B
【解析】因为10人成绩的第百分位数是，
而，即第位与第位的平均值，
所以是这10人成绩的第百分为数.
故选：B.
2. 集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，，故.
故选：A.
3. 如图，中，为边的中点，为的中点，则（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】在中，为边的中点，为的中点，
则.
故选：A.
4. 下列函数中，是奇函数且是增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】选项A，因为且定义域为R，函数为偶函数，故A不合题意；
选项B，由且定义域为R，函数为奇函数，
由指数函数单调性及解析式，知函数在定义域上单调递增，符合题意；
选项C，函数为奇函数且，可知函数在定义域上单调递减，故C不合题意；
选项D，函数定义域为1,+∞，不关于原点对称，不具有奇偶性，故D不合题意.
故选：B.
5. 已知等差数列，前项和为，则（ ）
A. 20B. 25C. 30D. 35
【答案】C
【解析】设等差数列的首项为，公差为，则，
化简得，故选：C.
6. 在三棱锥中，已知底面，CA=CB=PA=2，，则三棱锥外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】依题意，将三棱锥补形成正方体，如图，
则该正方体的外接球就是三棱锥的外接球，
因为CA=CB=PA=2，则该正方体的体对角线长为，
所以外接球的直径，，
则外接球的体积．
故选：C
7. 已知圆的弦的中点为，点为圆上的动点，则的最大值为（ ）
A. 2B. C. 8D.
【答案】D
【解析】圆，圆心，半径为3，如图，

为弦的中点，，
共线时等号成立，
.
故选:D.
8. 已知（其中为自然对数的底数），则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】根据的形式转化可得，
从而构造函数，
则，
，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在，上单调递增，，
即，
又，
所以，即.
故选：C.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知抛物线过点，则（ ）
A. 拋物线标准方程可能为
B. 抛物线的标准方程可能为
C. 过点与抛物线只有一个公共点直线有一条
D. 过点与抛物线只有一个公共点的直线有两条
【答案】ABD
【解析】对于选项A，当抛物线开口向右时，设抛物线的方程为，将代入抛物线中得，则拋物线的方程为，故A正确；
对于选项B，当抛物线开口向下时，设抛物线的方程为，将代入拋物线中得，则抛物线为，故B正确；
对于C、D选项，过点与对称轴平行的直线，以及抛物线在点处的切线都与抛物线只有一个公共点，故C错误，D正确.故选：ABD.
10. 已知是虚数单位，若，则（ ）
A. 复数的虚部为；B. 复数对应的点在第二象限；
C. ；D. 复数是关于的方程的一个根.
【答案】ABD
【解析】由题意可得，，
复数的虚部为，故A正确；
，对应的点在第二象限，故B正确；
，故C错误；
由
可得复数是关于的方程的一个根.故D正确.
故选：ABD
11. 已知点是正方体表面上的一个动点，则以下说法正确的是（ ）
A. 当在平面上运动时，四棱锥的体积不变
B. 当在线段上运动时，与所成角的取值范围是
C. 若点在底面上运动，则使直线与平面所成的角为的点的轨迹为椭圆
D. 若是的中点，点在底面上运动时，不存在点满足平面
【答案】AB
【解析】不妨设正方体棱长为.
A选项，当在平面上运动时，点到平面的距离为2，
所以四棱锥的体积，故A正确；
B选项，以为轴，以为轴，以为轴建立空间直角坐标系，如图，
，
设与所成角为，则，
当时，.，
则，，，
，即，
当时，，所以，
又因为，所以，故B正确；
C选项，若点在底面上运动，设，
平面的法向量取，
则直线与平面所成的角为时，有，
化简为，则点的轨迹为四分之一圆，故C错误；
D选项，如图，
，
因为，且平面，
所以平面，即向量是平面的法向量，
，
若平面，则，即，
因为直线与正方形有公共点，即存在点满足平面，故D错误；
故选：AB.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数在点处的切线的斜率为1，则__________.
【答案】1
【解析】由题可知，所以.故答案为：1.
13. 楷书也叫正楷，真书，正书，是从隶书演变而来的一种汉字字体，其书写特点是笔画严整规范，线条平直自然，结构匀称方正，运笔流畅有度，《辞海》解释楷书“形体方正，笔画平直，可作楷模”，故名楷书.楷书中笔画“竖”的写法主要有垂露竖､悬针竖和短竖三种.小君同学在练习用楷书书写“十”字时，竖的写法可能随机选用其中任意一种，现在小君在一行内写了5个“十”字，若只比较5处竖的写法，不比较其它笔画，且短竖不超过3处，则这5个“十”字的不同写法共有__________种.（用数字作答）
【答案】232
【解析】当短坚为3处时，不同写法有40种，
当短坚为2处时，不同写法有种，
当短坚为1处时，不同写法有种，
当短坚为0处时，不同写法有种，
所以一共有种不同写法.
故答案为：232.
14. 如图，长方体中，，点为线段上一点，则的最大值为__________.
【答案】3
【解析】以为坐标原点，分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设，
则，
，
则，
因为，所以当时，取最大值，最大值为3.
故答案为：3.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知为数列的前项和，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
解：（1）在数列中，，当时，，
两式相减得，即，当时，，解得，
因此数列是以2为首项，2为公比的等比数列，则，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）得：，
所以.
16. 某校体育锻炼时间准备提供三项体育活动供学生选择．为了解该校学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度（态度分为同意和不同意），随机调查了200名学生，数据如下：
单位：人
（1）能否有的把握认为学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度与性别有关？
（2）现有足球、篮球、跳绳供学生选择．
①若甲、乙两名学生从这三项运动中随机选一种，且他们的选择情况相互独立互不影响．已知在甲学生选择足球的前提下，两人的选择不同的概率为．记事件为“甲学生选择足球”，事件B为“甲、乙两名学生的选择不同”，判断事件、是否独立，并说明理由．
②若该校所有学生每分钟跳绳个数．根据往年经验，该校学生经过训练后，跳绳个数都有明显进步．假设经过训练后每人每分钟跳绳个数比开始时个数增加10，该校有1000名学生，预估经过训练后该校每分钟跳182个以上人数（结果四舍五入到整数）．
参考公式和数据：，其中；
若，则，，．
解：（1）提出假设：学生对该问题的态度与性别无关．
根据列联表中的数据可求得，．
因为当成立时，的概率约为，
所以有的把握认为，学生对该观点的态度与性别有关．
（2）①事件、独立．理由如下：
因为，，所以，
所以，即事件、独立．
②记经过训练后每人每分钟跳绳个数为，
由已知，经过训练后每人每分钟跳绳个数．
因为，所以．
所以（人）．
所以经过训练后该校每分钟跳个以上人数约为．
17. 在锐角中，内角所对的边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）当时，求面积的最大值.
解：（1）因为，
由正弦定理可得，整理得，
由余弦定理可得，
又因为，故.
（2）由正弦定理得，
所以，
所以，
因为为锐角三角形，所以
解得，
所以，
所以，
故，
所以的取值范围为
，
当且仅当时取等号，所以面积的最大值为.
18. 已知椭圆经过点和点，椭圆的焦距为2.
（1）求椭圆的方程；
（2）和是椭圆上异于的两点，四边形是平行四边形，直线分别交轴于点和点是椭圆的右焦点，求四边形面积的最小值.
解：（1）由已知，所以，所以椭圆的方程为.
（2）如图所示，
因为四边形是平行四边形，
所以线段与线段的中点重合，所以关于原点对称.
设Px1,y1，则且，，
所以直线的方程为y=y1x1+2x+2，
令，得，即.
又，直线的方程为，
令，得，即.
四边形面积为，
①，
因为点在椭圆上，
所以且，
所以②，
将②代入①得，
所以当时，.
所以四边形面积的最小值为.
19. 已知函数.
（1）若方程有两解，求实数的取值范围；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
解：（1）由，得，即，
令，
令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
当时，，当时，，
，
因方程有两解，即有两个零点，
所以的取值范围是.
（2）对任意的，不等式恒成立，
在上恒成立，
令，则，
令，则，
在上为增函数，又，
，使得，即，
时，在上单调递减，
时，在上单调递增，
，
由，可得，
令，则，
又在上单调递增，
，
，
.
综上所述，满足条件的实数的取值范围是.男生
女生
合计
同意
70
50
120
不同意
30
50
80
合计
100
100
200
0.025
0.010
0.005
5.024
6.635
7.879