河北省廊坊市六校2023-2024学年高二下学期期末质量检测联考数学试卷（解析版）

这是一份河北省廊坊市六校2023-2024学年高二下学期期末质量检测联考数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围， 的展开式中项的系数是， 下列说法正确的有等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册，集合与常用逻辑用语，不等式，函数.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】,，
所以，
故选：B．
2. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因函数的定义域为，则在函数中，
必有，解得，
所以的定义域为.故选：A.
3. 定义在上的函数有，则的单调增区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由已知可得的导函数就是，
由（）得：.
所以的单调增区间是．
故选：C
4. 五人站成一排拍照，其中甲､乙必须相邻且两人均不能站两端，则不同站法有（ ）
A. 12种B. 24种C. 36种D. 48种
【答案】B
【解析】由题意，首先将甲、乙两人捆绑，有种方法，
其次将捆绑后的甲、乙安排在中间2个位置，有种方法，
最后将剩余3人全排列，有种方法，所以不同的站法有种.
故选：B.
5. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A. 函数在上单调递增
B. 函数至少有2个极值点
C. 函数在上单调递减
D. 函数在处取得极大值
【答案】D
【解析】由的图象可知：当或时，；当时，；
可知在，上单调递增，在上单调递减，
则函数有且仅有两个极值点，
结合选项可知：ABC正确；D错误；
故选：D.
6. 的展开式中项的系数是（ ）
A. B. C. 12D. 44
【答案】A
【解析】展开式的通项为，
令，则，
令，则，
所以的展开式中x的系数是.
故选：A.
7. 已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，若，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为函数是定义在R上的偶函数，
则，，
由在定义域内单调递减，则；
由在定义域内单调递增，则；
由在内单调递增，则；
故，
又因为在上单调递减，所以在上单调递增，所以.
故选：D.
8. 小明在某不透明的盒子中放入4红4黑八个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下7个小球中取出两个小球，结果都是红球，则丢掉的小球也是红球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】用表示丢掉一个小球后任取两个小球均为红球，用表示丢掉的小球为红球，表示丢掉的小球为黑球，
则，，
由全概率公式可得，
所以，
故选：B.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 不等式的解集是
B. “”是“”成立的充分条件
C. 命题，则
D. “”是“"必要条件
【答案】ABD
【解析】对于A，不等式即，
即，
则不等式的解集是，A正确；
对于B, 当时，一定有成立，
故“”是“”成立的充分条件，故B正确；
对于C，命题，则，故C错误；
对于D, 当时，不一定成立，当时，一定成立，
故“”是“”的必要条件，D正确，故选：
10. 已知某品牌的一种型号的LED灯的使用寿命X（单位：小时）服从正态分布
，则下列说法正确的是（ ）
参考数据：若，则，
．
A. 该型号LED灯的平均使用寿命是60000小时
B.
C.
D.
【答案】ACD
【解析】因为使用寿命X（单位：小时）服从正态分布，
所以，可得该型号LED灯的平均使用寿命是60000小时，故A正确；
所以，故B错误；
由，可得，故C正确；
，故D正确．
故选：ACD．
11. 已知函数与其导函数的定义域均为，且与均为偶函数，则（ ）
A. 为偶函数B. 为奇函数
C. D.
【答案】BC
【解析】对于选项A，因为为偶函数，所以，
即，所以关于对称，
若为偶函数，则，所以，
所以关于点对称，这与关于对称矛盾，所以选项A错误；
对于选项B，因为为偶函数，所以，
所以当时，，即为奇函数，所以选项B正确；
对于选项C，因为为偶函数，即，
所以，所以，
由，得，
所以，故选项C正确；
对于选项D，由，得，
所以，故选项D错误．
故选：BC．
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知随机变量，则__________.
【答案】
【解析】因为，所以.
13. 已知，，且，则的最小值为______．
【答案】
【解析】∵，
当时，，当时，；
又，
当且仅当，即，时等号成立，
所以当，时，取得最小值，且最小值为．
故答案为：
14. 已知函数，若互不相等的实数，，，，，满足，则的取值范围是____________.
【答案】
【解析】根据解析式可得草图如下：

要使互不相等的实数满足，
由图知：，，，且，
令，则或；令，则或；
令，则；
令，则；令，则；
令，
则或；
所以，
所以，在上递增，
所以.
故答案为：
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知关于的不等式的解集是．
（1）求实数，的值；
（2）若，，且，求的最小值．
解：（1）因为关于的不等式的解集是，
所以和是方程的两个根，所以
解得
当，时，的解集是，符合题意，
所以，．
（2）由（1）知，，所以，
又，，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为．
16. 近日“脆皮大学生”话题在网上引发热议，更多的人开始关注青少年身体素质.身体健康指数H与体质测试成绩Y有一定的相关关系，随机收集某大学20名学生的数据得，，，H与Y的方差满足
.
（1）求H与Y的相关系数r的值；
（2）建立Y关于H的线性回归方程，并预测时体质测试成绩.
参考公式：相关系数，
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.
解：（1）由题意知，
所以，同理，
.
（2）由题意，，
，
则，，
当时，，即可预测时体质测试成绩为64.7.
17. 已知函数.
（1）判断函数的奇偶性并予以证明；
（2）若存在使得不等式成立，求实数的取值范围.
解：（1）函数为偶函数，证明如下：
，
的定义域为，对于，都有，且，
所以为偶函数.
（2）因为存在使得不等式成立，所以，
而，当且仅当时，等号成立，
所以，则，
故实数的取值范围为.
18. 2024年4月25日—4月29日，“与辉同行”开启了一场深入中原的文化之旅，让河南文旅打开了流量密码．某景区趁此时机，举行五一游该景区网上购票抽奖活动，在网上购买该景区门票的游客，可通过手机扫景区提供的二维码进入抽奖活动页面，每张门票可从6个减免红包中随机抽取2个，6个红包的金额分别为5元、5元、10元、10元、30元、60元，已知该景区门票每张120元，全部实行网上购票．
（1）记购买1张门票的游客通过抽奖获得的红包金额之和为X，求X的分布列与期望；
（2）已知每位游客除门票外平均在该景区消费30元、40元、60元的概率分别为，，，举行此抽奖活动后预计可使该景区五一期间客流量增加40%，假设每位购票游客都进行了抽奖，回答下列问题并说明理由：
①举行抽奖活动后该景区在五一期间的门票收入是增加了，还是减少了？
②举行抽奖活动后该景区在五一期间的总收入是增加了，还是减少了？
解：（1）由题意得X的取值可以是10，15，20，35，40，65，70，90．
，，
，，
，，
，，
所以X的分布列为
（2）①假设不举行抽奖活动，该景区在五一期间客流量为n人，则门票收入为120n元，
举行抽奖活动后该景区在五一期间门票收入为，
所以举行抽奖活动后该景区在五一期间门票收入减少了．
②每位游客除门票外平均在该景区消费30元、40元、60元的概率分别为，，，
则期望值为．
不举行抽奖活动，该景区在五一期间总收入为，
举行抽奖活动后该景区在五一期间总收入为，
所以举行抽奖活动后该景区在五一期间总收入增加了
19. 对于函数,规定叫做函数阶导数.若函数在包含的某个闭区间上具有阶导数，且在开区间上具有阶导数，则对闭区间上任意一点，该公式称为函数在处的阶泰勒展开式，是此泰勒展开式的阶余项.已知函数.
（1）写出函数在处的3阶泰勒展开式（用表示即可）；
（2）设函数在处的3阶余项为,求证：对任意的；
（3）求证：.
解：（1）由，得，
所以，
所以函数在处的3阶泰勒展开式为
.
（2）由（1），得.
所以函数在处的3阶泰勒展开式为，
所以.
，令，得，
当时，单调递增；
当时，单调递减.
所以，即对任意的.
（3）由（2）知，当时，，
即，
因为，所以.
因为
，
所以，
即，
所以.X
10
15
20
35
40
65
70
90
P