江苏省淮安市淮安区2024年中考二模数学试题（解析版）

这是一份江苏省淮安市淮安区2024年中考二模数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 的倒数是（ ）
A. B. 2024C. D.
【答案】C
【解析】，∴的倒数为，
故选：C．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. a3•a2＝a6B. （﹣3a2b）2＝6a4b2
C. ﹣a2+2a2＝a2D. （a﹣b）2＝a2﹣b2
【答案】C
【解析】A、原式＝a5,不符合题意;
B、原式＝9a4b2,不符合题意;
C、原式＝a2,符合题意;
D、原式＝a2﹣2ab+b2,不符合题意.
故选：C.
3. 第19届亚运会即将在杭州举办，据官网消息杭州奥体中心体育场建筑总面积约为216000平方米，数据216000用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】根据科学记数法的概念可得，，故选：A．
4. 下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】从上面看下边是一个矩形，矩形的上边是一个圆，
故选：D．
5. 如图，直线，的直角顶点A落在直线上，点B落在直线上，若，，则的大小为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，∴，
∵，，，
∴.
故选：C.
6. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示．
这些运动员成绩的众数和中位数分别为（ ）
A. 米，米B. 米，米
C. 米，米D. 米，米
【答案】A
【解析】观察表中可知，出现了5次，次数最多，
运动员的成绩的众数为：米．
将表中的数据按照从小到大的顺序排列如下：
，，，，，，，，，，，，，，，
运动员的成绩的中位数是米．
故选：A．
7. 如图，四边形内接于，如果的度数为122°，则∠DCE的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，，
∵四边形内接于，，
，，
故选：B．
8. 如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC﹣CD﹣DA运动至点A停止．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，若y关于x的函数图象如图2所示，则y的最大值是（ ）

A. 55B. 30C. 16D. 15
【答案】D
【解析】动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，
∵当点P运动到点C，D之间时，△ABP的面积不变．函数图象上横轴表示点P运动的路程，∴当5≤x≤11时，y不变，说明BC=5，AB=11-5=6，
∵四边形ABCD为矩形，∴CD=AB=6，
由图像可知，当点P位于C、D之间时，△ABP的面积最大，
∴y最大为．
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需要写出解答过程，请把正确答案直接写在答题卡相应位置上）
9. 若代数式有意义，则实数x取值范围是______．
【答案】x＞-1
【解析】∵代数式有意义，∴≠0，x+1≥0，∴x＞-1，
故答案为：x＞-1．
10. 若，且m﹣n＝﹣3，则m+n＝_____．
【答案】2
【解析】∵，m﹣n＝﹣3，
∴﹣3（m+n）＝﹣6，
∴m+n＝2.
11. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是_______．
【答案】
【解析】关于的一元二次方程没有实数根，
，解得：，
故答案为：．
12. 有五张看上去无差别的卡片，正面分别写着，，，，0．背面朝上混合后随机抽取一张，取出的卡片正面的数字是无理数的概率是_______．
【答案】
【解析】在，，，，0中，
无理数有，，共2个，
∴随机抽取一张，取出的卡片正面的数字是无理数的概率是，
故答案为：．
13. 已知一次函数的图象经过点和，则__________．
【答案】
【解析】∵一次函数的图象经过点和，
∴，即，
∴.
14. 若用半径为5的半圆围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为____.
【答案】2.5
【解析】设圆锥的底面半径为r，
由题意得，圆锥的底面周长，，
解得，
故答案为．
15. 如图所示，在直角坐标系中，点坐标为，的半径为，为轴上一动点，切于点，则最小值是________________．
【答案】
【解析】如图，连接，，

根据切线的性质定理，得．
要使最小，只需最小，
则根据垂线段最短，当轴于时，取最小值，
此时点的坐标是，，
在中，，∴，则最小值是．
16. 如图，已知，等边中，，将沿翻折，得到，连接，交于O点，E点在上，且，F是的中点，P是上的一个动点，则的最大值为_______________．
【答案】
【解析】为等边三角形，，
，
将沿翻折，得到，
，
四边形为菱形，
∴，，，
∴是边上的中线，
如图，连接，交于，
∵F是的中点，
∴是边上的中线，的角平分线，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴当点P运动到点A时，最大，最大为，
∵，∴，
由勾股定理得，，∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共11小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算．
（1）；
（2）解不等式组，并写出它的所有的整数解．
解：（1）原式；
（2）由得，
由得：，
则不等式组的解集为，
所以其整数解为、、．
18. 先化简，再求值：，请在，1，3中选择一个适当的数作为值．
解：
，
当，3时，原分式无意义，
故当时，原式．
19. 如图，是菱形的对角线．

（1）作边的垂直平分线，分别与，交于点，（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，连接，若，求的度数．
解：（1）如图.

（2）连接，
菱形，
，，
，
垂直平分，
，
，
．
20. 为了创设全新的校园文化氛围，进一步组织学生开展课外阅读，让学生在丰富多彩的书海中，扩大知识源，亲近母语，提高文学素养．某校准备开展“与经典为友、与名著为伴”的阅读活动，活动前对本校学生进行了“你最喜欢的图书类型只写一项”的随机抽样调查，相关数据统计如下：
请根据以上信息解答下列问题：
（1）该校对______ 名学生进行了抽样调查；图2中科幻部分对应的圆心角为______ ；
（2）请将图1补充完整；
（3）已知该校共有学生2300人，利用样本数据估计全校学生中最喜欢漫画的人数约为多少人？
解：（1）调查的人数为：名，
喜欢科幻图书的人数：名，
喜欢科幻图书的人数所占的百分比：，
扇形统计图中小说所对应的圆心角度数：，
故答案为：200；108．
（2）补全统计图如图所示：
（3）（人），
答：估计全校学生中最喜欢漫画人数约为920人．
21. 某校计划在某个班向家长展示“双减”背景下的课堂教学活动，参与课堂教学活动展示的备选班级共有5个，其中有2个为八年级班级（分别用A、B表示），3个为九年级班级（分别用C、D、E表示），由于报名参加课堂观摩教学活动的家长较多，学校计划分两周进行，第一周先从这5个备选班级中任意选择一个开展活动，第二周再从剩下的四个备选班级中任意选择一个开展活动．
（1）第一周选择八年级班级的概率为 ；
（2）请用列表法或画树状图的方法求出两次选中的班级为不同年级班级的概率．
解：（1）根据题意，第一周选择八年级班级的概率为，
故答案为：．
（2）画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中两次选中不同年级的班级的有12种等可能性．
故两次选中的班级为不同年级班级的概率．
22. 某中学为营造书香校园，计划购进甲乙两种规格的书柜放置新购置的图书，调查发现，若购买甲种书柜5个，乙种书柜2个，共需要资金1380元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元．
（1）甲乙两种书柜每个的价格分别是多少元？
（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共24个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，问：学校应如何购买花费资金最少，最少资金是多少？
解：（1）设甲种书柜单价为元，乙种书柜的单价为元，
由题意得：，解得，
答：甲种书柜单价为180元，乙种书柜的单价为240元．
（2）设购买甲种书柜个，则购买乙种书柜个，设所需资金为元．
由题意得：．解得，
，
∵，随增大而减小，
∴当时，（元）．
答：当购买12个甲种书柜，12个乙种书柜时，所需资金最少，最少资金为5040元．
23. 如图1、图2是某种品牌的篮球架实物图与示意图，已知底座BC＝0.6米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝75°，支架AF的长为2.5米，篮板顶端F点到篮筐D的距离FD＝1.4米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE＝60°，求篮筐D到地面的距离．（精确到0.1米，参考数据：cs75°≈0.3，sin75°≈0.9，tan75°≈3.7，≈1.7，≈1.4）

解：延长FE交CB的延长线于M，过A作AG⊥FM于G，
在Rt△ABC中，tan∠ACB＝，
∴AB＝BC•tan75°＝0.60×3.732＝2.22，
∴GM＝AB＝2.22，
在Rt△AGF中，∵∠FAG＝∠FHE＝60°，sin∠FAG＝，
∴sin60°＝＝，
∴FG＝2.125，
∴DM＝FG+GM﹣DF≈2.9米．
答：篮筐D到地面的距离是2.9米．

24. 如图，AB是⊙O的直径，，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使EF=CE．连接AF交⊙O于点D，连接BD，BF．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若OB=2，求BD的长．
（1）证明：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，，∴∠BOC=90°，
∵E是OB的中点，∴OE=BE，
在△OCE和△BFE中，，∴△OCE≌△BFE（SAS），
∴∠OBF=∠COE=90°，∴直线BF是⊙O的切线；
（2）解：∵OB=OC=2，由（1）得：△OCE≌△BFE，∴BF=OC=2，
∴AF=，
∴S△ABF=，即4×2=2BD，∴BD=．
25. 如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点P（n，2），与x轴交于点A（-4，0），与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC=BC．
（1）求一次函数、反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接写出kx+b＜的x的取值范围；
（3）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．
解：（1）∵AC＝BC，CO⊥AB，A（﹣4，0），
∴O为AB的中点，即OA＝OB＝4，
∴P（4，2），B（4，0），
将A（﹣4，0）与P（4，2）代入y＝kx+b得：，解得：，
∴一次函数解析式为y＝x+1，
将P（4，2）代入反比例解析式得：m＝8，即反比例解析式为y＝．
（2）观察图象可知，kx+b＜时，x的取值范围0＜x＜4．
（3）如图所示，
∵点C（0，1），B（4，0）
∴BC＝，PC＝，
∴以BC、PC为边构造菱形，
当四边形BCPD为菱形时，
∴PB垂直且平分CD，
∵PB⊥x轴，P（4，2），
∴点D（8，1）．
把点D（8，1）代入y＝，得左边＝右边，
∴点D在反比例函数图象上．，
∵BC≠PB，
∴以BC、PB为边不可能构造菱形，
同理，以PC、PB为边也不可能构造菱形．
综上所述，点D（8，1）．
26. 如图1，矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上，折叠边AD，使点D落在x轴上点F处，折痕为AE，已知AB＝8，AD＝10，并设点B坐标为（m，0），其中m＜0．
（1）求点E、F的坐标（用含m的式子表示）；
（2）连接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值；
（3）如图2，设抛物线y＝a（x﹣m+6）2+h经过A、E两点，其顶点为M，连接AM，若∠OAM＝90°，求a、h、m值．
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，AB＝8，AD＝10，
∴AD＝BC＝10，AB＝CD＝8，∠D＝∠DCB＝∠ABC＝90°，
由折叠对称性：AF＝AD＝10，FE＝DE，
在Rt△ABF中，BF＝＝6，∴FC＝4，
设DE＝x，则CE＝8﹣x，
在Rt△ECF中，42+（8﹣x）2＝x2，得x＝5，∴CE＝8﹣x＝3，
∵点B的坐标为（m，0），
∴点E的坐标为（m﹣10，3），点F的坐标为（m﹣6，0）；
（2）分三种情形讨论：
若AO＝AF，
∵AB⊥OF，BF＝6，∴OB＝BF＝6，∴m＝﹣6；
若OF＝AF，则m﹣6＝﹣10，得m＝﹣4；
若AO＝OF，在Rt△AOB中，AO2＝OB2+AB2＝m2+64，
∴（m﹣6）2＝m2+64，得m＝﹣；
由上可得，m＝﹣6或﹣4或﹣；
（3）由（1）知A（m，8），E（m﹣10，3），
∵抛物线y＝a（x﹣m+6）2+h经过A、E两点，
∴，解得，
∴该抛物线解析式为y＝（x﹣m+6）2﹣1，
∴点M的坐标为（m﹣6，﹣1），
设对称轴交AD于G，∴G（m﹣6，8），
∴AG＝6，GM＝8﹣（﹣1）＝9，
∵∠OAB+∠BAM＝90°，∠BAM+∠MAG＝90°，
∴∠OAB＝∠MAG，
又∵∠ABO＝∠MGA＝90°，∴△AOB∽△AMG，∴，即，
解得m＝﹣12，
由上可得，a＝，h＝﹣1，m＝﹣12．
27. 如图，⊙O的直径AB＝26，P是AB上(不与点A、B重合)的任一点，点C、D为⊙O上的两点，若∠APD＝∠BPC，则称∠CPD为直径AB的“回旋角”．
(1)若∠BPC＝∠DPC＝60°，则∠CPD是直径AB的“回旋角”吗？并说明理由；
(2)若的长为π，求“回旋角”∠CPD的度数；
(3)若直径AB的“回旋角”为120°，且△PCD的周长为24+13，直接写出AP的长．
解：∠CPD是直径AB的“回旋角”，
理由：∵∠CPD＝∠BPC＝60°，
∴∠APD＝180°﹣∠CPD﹣∠BPC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠BPC＝∠APD，
∴∠CPD是直径AB的“回旋角”；
(2)如图1，∵AB＝26，
∴OC＝OD＝OA＝13，
设∠COD＝n°，
∵的长为π，
∴
∴n＝45，
∴∠COD＝45°，
作CE⊥AB交⊙O于E，连接PE，
∴∠BPC＝∠OPE，
∵∠CPD为直径AB的“回旋角”，
∴∠APD＝∠BPC，
∴∠OPE＝∠APD，
∵∠APD+∠CPD+∠BPC＝180°，
∴∠OPE+∠CPD+∠BPC＝180°，
∴点D，P，E三点共线，
∴∠CED＝∠COD＝22.5°，
∴∠OPE＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠APD＝∠BPC＝67.5°，
∴∠CPD＝45°，
即：“回旋角”∠CPD的度数为45°，
(3)①当点P在半径OA上时，如图2，过点C作CF⊥AB交⊙O于F，连接PF，
∴PF＝PC，
同(2)的方法得，点D，P，F在同一条直线上，
∵直径AB的“回旋角”为120°，
∴∠APD＝∠BPC＝30°，
∴∠CPF＝60°，
∴△PCF是等边三角形，
∴∠CFD＝60°，
连接OC，OD，
∴∠COD＝120°，
过点O作OG⊥CD于G，
∴CD＝2DG，∠DOG＝∠COD＝60°，
∴DG＝ODsin∠DOG＝13×sin60°＝
∴CD＝，
∵△PCD的周长为24+13，
∴PD+PC＝24，
∵PC＝PF，
∴PD+PF＝DF＝24，
过O作OH⊥DF于H，
∴DH＝DF＝12，
在Rt△OHD中，OH＝
在Rt△OHP中，∠OPH＝30°，
∴OP＝10，
∴AP＝OA﹣OP＝3；
②当点P在半径OB上时，
同①的方法得，BP＝3，
∴AP＝AB﹣BP＝23，
即：满足条件的AP的长为3或23．
成绩/米
人数
2
3
5
4
1