湖南省邵阳市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷（解析版）

这是一份湖南省邵阳市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，则，
故选：C
2. 已知复数（为虚数单位），则（ ）
A. 8B. 9C. 10D. 100
【答案】C
【解析】，所以，
故选：C.
3. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以，
所以，
故选：B
4. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】C
【解析】对于A，若，则或，A错误；
对于B，若，则或，相交或异面，B错误；
对于C，因为，所以又因为，所以，C正确；
对于D，若，则或两平面相交，D错误；
故选：C.
5. 某大桥的一侧依次安装有13盏路灯，因环保节能的需求，计划关掉其中的5盏．如果两端的路灯不能关，且相邻的路灯不能同时关，则不同关灯方式的种数是（ ）
A. 21B. 35C. 70D. 126
【答案】A
【解析】因为两端的路灯不能关，且相邻的路灯不能同时关，即先将保留的盏灯排成一排，
进而在盏灯形成的个空位中的个空中插入盏灯（即为关掉的灯），
所以共有（种）不同的关灯方式．
故选：A．
6. 已知公差不为0的等差数列满足，则的最小值为（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】B
【解析】由题可知，，则，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为1，
故选：B．
7. 已知奇函数及其导函数的定义域均为，当时，.若，，则的大小关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】根据题意，
设，
若为奇函数，则，
则函数为偶函数..
又当时，，则函数在上为减函数，
故在上为增函数.
则，且，则有；
故选D.
8. 已知为坐标原点，，则的最小值为（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】B
【解析】设，
点的轨迹方程为0.
又由，点的轨迹方程为：为圆上一点到直线上一点的距离，
.
故选：B.
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 的展开式的第4项的系数是280
B. 对于随机变量，若，则
C. 已知随机变量，若，则
D. 一组数据的第60百分位数为14.5
【答案】ABD
【解析】对于A，的展开式的第4项为，故A正确；
对于B，因为，所以，故B正确；
对于C，因，，
由可知，
由正态曲线对称性，，
故，故C错误；
对于D，由，这组数据的第60百分位数为，故D正确.
故选：ABD.
10. 已知椭圆的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为，是上异于的一个动点.若，则下列说法正确的有（ ）
A. 椭圆的离心率为
B. 若，则
C. 直线的斜率与直线的斜率之积等于
D. 符合条件的点有且仅有2个
【答案】AC
【解析】A选项，，，因为即，
解得，所以离心率，故A正确；
B选项，若，连接，
在中，由勾股定理得，又因为点在椭圆上，
所以，
所以，
又由，解得，
所以，故B错误；
C选项，设，，
则，，，
又因为点在椭圆上，所以，因为，所以，
从而，所以，故C正确；
D选项，因为，所以点在以为直径的圆上，半径为，
又因为，所以该圆与椭圆无交点，所以同时在圆上和在椭圆上的点不存在，即没有符合条件的点，故D错误.
故选：AC.
11. 已知两点的坐标分别为，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率之和是2，则下列说法正确的有（ ）
A. 点的轨迹关于轴对称
B. 点的轨迹关于原点对称
C. 若且，则恒成立
D. 若且，则恒成立
【答案】BC
【解析】因直线的斜率存在，故.
由可得，，整理可得，
因，故得，即点的轨迹方程为：.
如上作出函数的图象，由图易得A错误；
对于B，由，可得，
即函数为奇函数，图象关于原点对称，故B正确；
对于C，当且时，因，即得恒成立，故C正确；
对于D，当且时，设，
因，，
故在且时不能恒大于0，即不能恒成立,故D错误.
故选：BC.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 有甲、乙两个工厂生产同一型号的产品，其中甲厂生产的占，甲厂生产的次品率为，乙厂生产的占，乙厂生产的次品率为，从中任取一件产品是次品的概率是______．
【答案】
【解析】设为甲，乙两厂生产的产品，表示取得次品，
，，，，
所以.
所以任取1件产品概率为.
故答案为：
13. 已知函数的部分图象如图所示.若在中，，则面积的最大值为__________.
【答案】
【解析】由图象可得，
解得，
所以，由，
由图，
即，
由，得.
故，
在中，，
，即，
设角的对边为，由，
则，
，当且仅当时等号成立.
，
所以面积最大值为.
故答案为：.
14. 祖暅在数学上做出了突出贡献，他提出了体积计算原理：“幂势既同，则积不容异”．这就是“祖暅原理”，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，由曲线，，共同围成的图形绕y轴旋转一周所得几何体的体积为V，则______．
【答案】
【解析】令，分别代入和中，
解得：，．
记点，绕y轴旋转一周得到的圆的半径分别为R，r．
则，，此圆环的面积，恒为定值．
根据祖暅原理该几何体的体积与底面圆半径为，高为6的圆柱的体积相等，所以．
故答案为：.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若，E是边BC的中点，且，求
解：（1）因为，
由正弦定理得，整理可得，
由余弦定理可得，
且，所以.
（2）由（1）可知：，
若，则，
因，则，可得，
中，由余弦定理得，
即，解得，
在中，由勾股定理得．
16. 如图所示，是的直径，点是上异于，平面ABC，、分别为，的中点，
（1）求证：EF⊥平面PBC；
（2）若，，二面角的正弦值为，求BC．
解：（1）因为平面ABC，平面。所以，
因为是的直径，知，
因为，且平面，所以平面，
由分别是的中点，所以，所以平面．
（2）以为原点，所在直线分别为x轴、轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
设，，且，
所以，，
易知平面的一个法向量，
设平面的一个法向量，则
则，即，∴，
取，得，，则，
因为二面角的正弦值为，则其余弦值为，
所以，
化简得，
又因为，所以，
解得：，即，
所以，即.
17. 已知动点到直线的距离比它到定点的距离多1
（1）求的方程；
（2）若过点的直线与相交于A，B两点，且，求直线的方程．
解：（1）因为动点到直线的距离比它到定点
所以动点到直线的距离等于它到定点
则动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
故Γ的方程为；
（2）设直线的方程为，，，
联立，消去x并整理得，
此时，由韦达定理得，，
又因，所以，则，
代入，得，
解之得
当时，直线l的方程为；与只有一个交点所以不符合
当时，直线l的方程．
故直线l的方程为．
18. 已知函数，其中.
（1）求函数在处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）当时，令函数，证明：.
解：（1），
.
切线方程为：，即.
（2）由题意得函数的定义域为，
，
，
①当时，在上单调递减；
②当时，时，在上单调递减.
时，在上单调递增.
综上，当时，在上单调递减.
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（3）当时，，
.
令，则
构建函数.
当时，函数单调递增.
当时，函数单调递增.
在内有唯一零点.
当函数单调递减.
当函数单调递增.
当时，函数取最小值.
.
.
构造函数.
令.
当时，函数单调递增.
当时，函数单调递增.
.
19. 我们把公差不为0的等差数列称为“一阶等差数列”，若数列是“一阶等差数列”，则称数列是“二阶等差数列”.定义：若数列是“阶等差数列”，则称数列为“阶等差数列”.例如：，后项与前项的差值：，这些差值构成的数列是公差为2的等差数列，则称数列为“二阶等差数列”.
（1）若数列的通项公式为，试判断数列是否为“二阶等差数列”，并说明理由；
（2）若数列为“二阶等差数列”，且，对应“一阶等差数列”首项为1，公差为3，求；
（3）若“三阶等差数列”的前4项依次为，其前项和为，求.
解：（1），
是公差为2的等差数列，则数列是“二阶等差数列”.
（2）由题意是“一阶等差数列”，又首项为1，公差为3.
满足上式，.
“二阶等差数列”的通项公式为.
（3）是“三阶等差数列”，
是“二阶等差数列”，
设是“一阶等差数列”.
由题意得，
，
.
满足上式，.
.
满足上式，.
.