辽宁省名校联盟2024-2025学年高一下学期4月联考数学试题（解析版）

这是一份辽宁省名校联盟2024-2025学年高一下学期4月联考数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知扇形弧长为，圆心角为，则该扇形面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设扇形的半径为，则，解得，
所以扇形的面积为．
故选：C.
2. 下列函数既是奇函数又在区间内单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】对于A项，由可得，，
所以，函数的定义域为关于原点对称.
又，所以，函数为偶函数.故A错误；
对于B项，易知函数的定义域为R关于原点对称.
又，所以，函数为奇函数.
又，所以.
正弦函数在上既有增区间又有减区间，不满足题目要求，故B错误；
对于C项，易知函数的定义域为R关于原点对称.
又，所以，函数为偶函数.故C错误；
对于D项，易知函数的定义域为R关于原点对称.
又，所以，函数为奇函数.
又，所以.
正弦函数在上单调递增，故D正确.
故选：D.
3. 为了得到函数的图象，只要把的图象上所有的点（ ）
A. 向右平移个单位长度B. 向左平移个单位长度
C 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度
【答案】A
【解析】只要把的图象上所有的点向右平移个单位长度即可得到函数的图象.
故选：A.
4. 已知，，且，则（ ）
A. －3B. 3C. D.
【答案】B
【解析】由已知，可得，即，
整理可得.所以.
故选：B.
5. 的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】要使函数有意义，则应有.
由正切函数的图象与性质解可得，，
所以，函数的定义域为.
故选：A.
6. 如图，在中，，，，则（ ）
A. B. C. 5D. 15
【答案】C
【解析】由得，
，
所以，即，
所以，
又，所以，
所以.
故选：C．
7. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，且，则下列说法错误的是（ ）
A. 是第四象限角B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为，
又因为，易得，
解得，所以点的坐标为，
所以是第四象限角，且，
所以.
故选：B.
8. 已知为的外接圆圆心，若，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，故为的中点，而为外心，
故为直角三角形，且，
取的中点为，连接，则，
因为，故，故，
而为锐角，故，故，所以，
而向量在向量上的投影向量为.
故选：A．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 对任意向量，，，下列关系式中正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】CD
【解析】对于A，，，
所以不一定成立，故A错误；
对于B，当时，，但与不一定相等，故B错误；
对于C，，其中为的夹角，
因为，可得，所以恒成立，故C正确；
对于D，根据向量减法可得：，
当且仅当同向或中有零向量时等号成立，故D正确.
故选：CD．
10. 对于函数，下列说法中正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 函数在上单调递减
C. 函数图象的一条对称轴是直线
D. 函数在上有4个零点
【答案】BCD
【解析】对于A选项，易知函数定义域为，
因为
，作出函数的图象如下图所示：
所以，函数的最小正周期为，故A错误；
对于B选项，当时，，则，
此时，，
因为函数在上为增函数，故函数在上单调递减，故B正确；
对于C选项，因为
，
所以，函数的一条对称轴为直线，故C正确；
对于D选项，由，解得，
当时，，可得，
解得，
所以，函数在上有4个零点，故D正确.
故选：BCD．
11. 函数的部分图象如图所示，为图象与轴的一个交点，，分别为图象的最高点与最低点，若，则下列说法中正确的有（ ）
A. B. 的面积为
C. D. 是的图象的一个对称中心
【答案】AB
【解析】对于A项，由图象可知，函数的最大值为，最小值为，
所以，故A正确；
对于B项，不妨设，，，
且，易知.
则，，
所以，
.
又，所以有，
整理可得.
因为，所以，.
根据正弦函数的性质可知，
所以，有，，，
的面积为，故B正确；
对于C项，由B可知，，
所以，，故C错误；
对于D项，由前分析可知，，
又函数图象过点，所以有，
所以有，解得，即.
又，所以，.
由可得，.
令可得，，
所以不是的图象的一个对称中心，故D错误.
故选：AB.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，则______．
【答案】
【解析】由已知可知.
则
.
代入可得，.
13. 已知，．若，，则的值是______．
【答案】
【解析】因为，所以，.
又，所以.
所以
，
.
因为，，所以，，
所以，.
因为，，所以.
又，
，所以.
14. 已知向量，满足，，则的最大值为______，最小值为______．
【答案】
【解析】易知，
所以有.
所以，，
当且仅当同向时，等号成立，
此时取最大值3，取最大值为；
所以，，
当且仅当反向时，等号成立，
此时取最小值1，取最小值为.
四、解答题. 本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15. 平行四边形中，，，，求：
（1）的值；
（2）．
解：（1）易知，
.
（2）由已知可得
，
所以.
在中，有，，，
由余弦定理及其推论可得.
16. 已知，对任意都有．
（1）求的值；
（2）若当时，方程有唯一实根，求实数的取值范围．
解：（1）由已知可得，是函数的一个对称轴.
根据正弦函数的对称性可知，.
又，所以，.
（2）当时，，
方程有唯一实根，
可转化为与的图象有唯一交点.
令，，
作出函数的图象如下图：
有图象可知，当或，即或时，
函数与的图象有唯一交点，
即方程有唯一实根.
17. 已知向量，，且与的夹角为．
（1）求；
（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
解：（1）向量，可得，且，
因为与的角为，可得，
解得，所以，
则，
所以．
（2）由向量，
可得，
由，解得，
当向量与共线时，可得，解得，
所以实数的取值范围为．
18. 某游乐场内有一直径为的摩天轮，已知轴心到地面的高度为．开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置时进舱，转一周大约需要．
（1）一游客坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求转动一周过程中，关于的函数解析式；
（2）当时，求此游客距离地面的高度；
（3）在摩天轮转动一周过程中，此游客距离地面高度不少于的时间有多长？
解：（1）设，
由题意知：，，
故，
，，可取，
，
故解析式为，．
（2），
所以当时，求此游客距离地面的高度为．
（3）由题得，，即，
解得，
所以此游客距离地面高度不少于的时间有．
19. 设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”：．试求解下列问题：
（1）已知向量，满足，，，求的值；
（2）在平面直角坐标系中，已知点，，，求的值；
（3）已知向量，，，求的最小值．
解：（1）由已知可得，.
又，，则.
又，所以，
所以.
（2）由已知可得，，，
所以有，，，
则.
又，
所以，
所以.
（3）由已知可得，
所以，，则，.
又，
所以
.
因为，所以.
令，则，
当且仅当，，即时等号成立，
所以的最小值为，
所以的最小值为.