湖北省恩施市2024年中考二模数学试卷（解析版）

这是一份湖北省恩施市2024年中考二模数学试卷（解析版），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列各数中最小的是（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】，∴这几个数，最小，
故选：A．
2. “瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，主要有防水、排水、保护木制飞檐和美化屋面轮廓的作用．下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形．
故选D．
3. 如图所示几何体的左视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】该几何体的左视图为一个矩形，矩形的中间有一条横向的虚线．
故选：B．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A．无法计算，故A选项不符合题意；
B． ，故B选项符合题意；
C．，故C选项不符合题意；
D．，故D选项不符合题意．
故选：B．
5. 下列说法正确的是（ ）
A. “经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是必然事件
B. 投掷一枚硬币10次，一定有5次正面向上
C. 调查全国数学老师对初中数学核心素养的了解情况，应采用全面调查
D. 方差越大数据的波动越大，方差越小数据的波动越小
【答案】D
【解析】 A．“经过有交通信号的路口，遇到红灯，”是随机事件，原题说法错误，故A选项不符合题意；
B、投掷一枚硬币10次，一定有5次正面向上，说法错误，故B选项不符合题意；
C、调查全国数学老师对初中数学核心素养的了解情况，应采用抽样调查，说法错误， 故C选项不符合题意；
D、方差越大数据的波动越大，方差越小数据的波动越小，说法正确， 故D选项符合题意；
故选：D．
6. 如图，直线，的顶点C在直线b上，直线a交于点E， 交于点F，若，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
7. 将一圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央，小水杯中有部分水，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度与注水时间的函数图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，小玻璃杯内的水原来的高度一定大于0，则可以判断A、D一定错误，
用一注水管沿大容器内壁匀速注水，水开始时不会流入小玻璃杯，因而这段时间h不变，当大杯中的水面与小杯水平时，开始向小杯中流水，h随t的增大而增大，当水注满小杯后，小杯内水面的高度h不再变化．
故选：B．
8. 关于的不等式组仅有3个整数解，那么的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，
解不等式①可得，
解不等式②可得，
由题意可知原不等式组有解，
原不等式组的解集为，
该不等式组恰好有三个整数解
整数解为1，2，3，
．
故选∶C．
9. 古算题：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．甲、乙持钱各几何？”其大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，则甲共有钱50．如果乙得到甲所有钱的，则乙也共有钱50．甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为x、y，则可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】根据题意可列方程组为：，
故选：C．
10. 二次函数（，，是常数，且）的自变量与函数值的部分对应值如下表：
且当时，对应的函数值，有以下结论：
①；
②关于的方程的正实数根在1和之间；
③；
④点和在该二次函数的图象上，则当实数时，．
其中正确的结论是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】∵当和时，，
∴对称轴为直线，
∴，即，
当时，，即
∴，故①错误；
∵当和时，，当时，对应的函数值，
∴抛物线开口向下，根据对称性可得当时，，
又∵过点，
∴关于x的方程的正实数根在1和之间；故②正确；
∵，
∴将与代入解析式得：，
则：，
∵当时，对应的函数值，
∴得：，即：，
解得：，
∴，故③正确
④∵函数过点且当，即时，对应函数值，
∴可以判断抛物线开口向下，
当在抛物线的对称轴右侧时，恒在抛物线的对称轴右侧，此时恒成立，
∴的横坐标大于等于对称轴对应的x，即，解得时；
当与在抛物线的对称轴异侧时，根据抛物线的性质当的横坐标到对称轴的距离小于到对称轴的距离时满足，
即当时，满足，
∴解得，即与在抛物线的对称轴异侧时满足，
∴综上当时，.故④正确.
故选：C.
二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11. 从水利部长江水利委员会获悉，截至2024年3月24日，南水北调中线一期工程自2014年12月全面通水以来，已累计调水700亿立方米．其中700亿用科学记数法表示为_____．
【答案】
【解析】700亿．
12. 写出一个使函数有意义的自变量的值_____．
【答案】0（答案不唯一）
【解析】∵函数有意义，∴，且，
解得，且．
所以当，2符合题意．
故答案为：0（答案不唯一）．
13. 已知下列数据：，，，，，，从这些数据中随机选择一个为无理数的概率为____．
【答案】
【解析】数据：，，，，，中，
只有和是无理数，共2个，
∴从，，，，，这六个数中，随机抽取一个，则抽到无理数的概率是：．
故答案为：．
14. 如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，此时处与灯塔的距离为____．（参考数据：，结果保留一位小数）
【答案】98.0
【解析】作于C，则，，
在中，，
则，
在中，，
则，
故答案为：．
15. 如图，正方形的边长为8，点是边的中点，点是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接．当最小时，的长是______．
【答案】
【解析】∵正方形的边长为8，
∴，，
∵将沿翻折得到，
∴，
∴点F在以B为圆心，8为半径的圆上运动，
∴当点G、F、A三点共线时，最小，如图，连接
∵点G是边的中点，
∴，
由勾股定理得，
，
∵
∴
∴
解得．
三、解答题（共9小题，满分75分）
16. 计算：.
解：原式.
17. 如图，在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F．连接．求证：四边形是矩形．
证明：∵E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵D是的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，D是的中点，
∴，
∴四边形是矩形．
18. 从年到年，经过17年的冲刺，中国高铁技术迅疾跨入世界领先行列．年某“G”次等级列车行驶的里程，它的平均速度是年普通“Z”等级列车的倍，所用的时间比年普通“Z”等级列车少2小时．求某次“G”等级列车2024年的平均速度．
解：设年普通Z等级列车的平均速度为，则年G等级列车平均速度为，
根据题意得，，
即，
解得 ，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴
答：某次G等级列车列车年的平均速度为．
19. 3月11日邯郸3名初中生杀人埋尸案发生后，为加强学生法治观念，某校开展了“普法知识”竞赛，并从七、八年级各随机选取了20名同学的竞赛成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用表示，其中，，，，得分在90分及以上为优秀）．下面给出了部分信息：
七年级组同学的分数分别为：94，91，93，90；
八年级组同学的分数分别为：91，92，93，93，94，94，94，94，94．
七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表：
（1）填空：______，______，______．
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“普法知识”竞赛中，哪个年级学生成绩更好？请说明理由．（至少写出两条理由）
（3）该校七年级有学生400名，八年级有学生500名，请估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生的总人数．
解：（1）∵，
∴中位数是第10位、第11位的平均数，
观察条形统计图可得，中位数在C组，
∴，
观察扇形统计图和八年级C组同学的分数得：
，，
故答案为：92，94，；
（2）八年级竞赛成绩更好，理由
根据题意得：八年级的中位数和优秀率比七年级高，
∴八年级竞赛成绩更好；
（3）七年级优秀人数为（人），八年级优秀人数为（人），
（人），
∴这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数为565人．
20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于，两点．
（1）求反比例函数的表达式及点的坐标；
（2）直线交反比例函数的图象于另一点，求的面积．
解：（1）∵直线反比例函数的图象相交于
∴
∴，
∴，
∴反比例函数的表达式为：，
联立 ，解得： 或 ，
∴.
（2）直线交反比例函数的图象于另一点C，
∴点C与点A关于原点对称，∴，
连接，过点B作轴，过点C作于N，过点A作于M，则，
∴．
21. 如图，是⊙的直径，点是⊙上一点，，于，分别连接，．
（1）求证：是⊙的切线；
（2）作平分交⊙于点，连接．若，，请补全图形，并求的长．（作图要求：请用直尺和圆规完成作图，保留作图痕迹，不写作法）
（1）证明：连接，
∵，，
∴是线段的垂直平分线，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：补全图形如图，

连接，
∵是的直径，
∴，
∵平分，
∴
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
而，
∴，
在中，，
.
22. 加强劳动教育，落实五育并举．某中学在当地社区的支持下，建成了一处劳动实践基地．2024年计划将其中的土地全部种植牛奶草莓、草莓王子两种草莓．经调查发现：牛奶草莓种植成本（元），与其种植面积的函数关系如图所示，其中；草莓王子的种植成本50元．
（1）当_______，；
（2）设2024年牛奶草莓、草莓王子两种草莓总种植成本为元，如何分配两种草莓的种植面积使最小，并求出最小值．
（3）学校计划今后每年在这的土地上，均按（2）中方案种植草莓，因技术改进，预计种植成本逐年下降．若牛奶草莓种植成本平均每年下降，草莓王子种植成本平均每年下降率为，当为何值时，2026年的总种植成本为35320元？
解：（1）当时，设牛奶草莓种植成本y（单位；元/）与其种植面积x（单位：）的函数关系式为，把点代入得，
，解得，
∴当时，，
当时，，
∴当时，，解得，
即当时，元/；
故答案为：；
（2）当时，，
∵，
∴抛物线开口向上，
∴当时，有最小值，最小值为，
当时，，
∵，
∴随着x的增大而减小，
∴当时，有最小值，最小值为，
综上可知，当牛奶草莓的种植面积为，草莓王子的种植面积为时，W最小；
（3）由题意可得，
解得（不合题意，舍去），
∴当时，2026年的总种植成本为元．
23. 在正方形中，对角线与交于点；在中，．
（1）如图1，若点与点重合且、，分别交、于点、，请直接写出与的数量关系；
（2）将图1中的绕点顺时针旋转角度）．
①如图2，在旋转过程中（1）中结论依然成立吗？请说明理由；
②如图2，当时，连接，若正方形的边长为2，请直接写出线段的长；
（3）如图3，旋转后，若的顶点在线段上移动（不与点、重合），当时，猜想此时与的数量关系，并给出证明．
解：（1），理由如下：
∵四边形为正方形，
∴，
又，，
∴；
（2）①成立，理由如下：
∵、是正方形的对角线，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中， ，
∴，
∴，即；
②作于G，
∵正方形的边长为2，∴，
∵，
∴，
则，
∵，∴，
又，∴ ；
（3），理由如下：
如图3，过点P作交于点H，
则为等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即．
24. 如图1，抛物线与x轴相交于、两点，与y轴交于点C，连接BC，抛物线顶点为点M．
（1）直接写出a，b的值及点M的坐标；
（2）点N为抛物线对称轴上一点，当最小时，求点N的坐标；
（3）平移直线BC得直线．
①如图2，若直线过点M，交x轴于点D，在x轴上取点，连接EM，求∠DME的度数．
②把抛物线在x轴下方图象沿x轴翻折得到新图象（如图3）．当直线与新图象有两个公共点时，请直接写出n的取值范围．
解：（1）当时，，∴，
设抛物线解析式为，
把代入，得：，解得：，
∴，
∴，，点M的坐标为；
（2）由（1）得对称轴为直线，
、两点关于直线对称，
∴点N为直线与直线的交点时，最小，
设直线解析式为，
把代入得，解得，
∴直线解析式为，
当时，，
∴点N的坐标为；
（3）①直线解析式为，
直线平移后的解析式为，
把点M的坐标代入得，解得
∴直线的解析式为，
令，得，解得：，∴，
如图2，过点E作于F，过点M作轴于H，
则，
∴，，
在中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，即；
②∵，
把抛物线在x轴下方图象沿x轴翻折得到新图象，如图，

则翻折后的图象的解析式为，
∵直线解析式为，直线平移后的解析式为，
联立方程得，
整理得：，
当直线平移后与抛物线只有一个交点时，
，解得：，
当直线平移后经过点时，，解得：，
∴当直线与新图象有两个公共点时，n的取值范围为或．…
0
1
2
…
…
2
2
…
年级
平均数
中位数
众数
优秀率
七
91
95
八
91
93