河南省信阳市2024-2025学年高一下学期4月期中考试 数学 含解析

这是一份河南省信阳市2024-2025学年高一下学期4月期中考试 数学 含解析，共2页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知是虚数单位，（ ）
A．B．C．D．
2． 的值等于（ ）
A．B．1C．0D．
3．已知向量，的夹角为，且，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
4．函数，的单调递增区间是（ ）
A．B．
C．和D．和
5．已知向量，满足，，且，则（ ）
A．B．4C．5D．
6．已知函数，则下列说法错误的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的定义域为
C．函数的图象的对称中心为，
D．函数的单调递增区间为，
7．将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），再将所得曲线上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若的图象关于轴对称，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
8．在中，角，，的对边分别为，，，且面积为.若，，则角等于（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知是虚数单位，复数，则下列说法正确的是（ ）
A．复数的虚部为B．
C．D．在复平面内对应的点在第二象限
10．信阳是中国十佳宜居城市之一，气候宜人，环境优美.如图是信阳市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数，的部分图象，则下列说法正确的是（ ）
A．该函数的周期是
B．该函数的解析式是，
C．该函数图象的对称中心是
D．该函数图象的对称轴是直线
11．在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，，则满足条件的三角形有两个
B．若，则
C．若，，则的最大值为
D．若，且，则为等边三角形
三、填空题
12．如图，在中，是上靠近的一个三等分点，，，则可以用，表示为 .

13．若是三角形的一个内角，且函数在区间上单调递增，则的取值范围为 .
14．已知函数的图象关于直线对称，若方程在上恰有1个实数根，则的取值范围是 .
四、解答题
15．已知向量，，.
(1)若，求的值；
(2)记，求的最大值和最小值以及对应的的值.
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角与钝角的终边与单位圆分别交于A，B两点，x轴正半轴与单位圆交于点M，已知，点B的纵坐标是．
（1）求的值；
（2）求的值．
17．近年来，西安市长安区认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向，为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，点C在圆弧上，点D在边上，且，米，设.
(1)求扇形的面积；
(2)求矩形的面积；当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值.
18．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若为锐角三角形，且，求的取值范围．
19．若函数在定义域区间上连续，对任意恒有，则称函数是区间上的上凸函数，若恒有，则称函数是区间上的下凸函数，当且仅当时等号成立，这个性质称为函数的凹凸性．上述不等式可以推广到取函数定义域中的任意n个点，即若是上凸函数，则对任意恒有，若是下凸函数，则对任意恒有，当且仅当时等号成立．应用以上知识解决下列问题：
(1)判断函数（，），，在定义域上是上凸函数还是下凸函数；（只写出结论，不需证明）
(2)利用（1）中的结论，在中，求的最大值；
(3)证明函数是上凸函数．
河南省信阳市2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题参考答案
1．C
【详解】，
故选：C.
2．B
【详解】，
故选：B.
3．A
【详解】在上的投影向量为.
故选：A
4．C
【详解】，
令，
函数的单调递减区间为.
由，
得，
而，所以所求单调递增区间是和.
故选：C.
5．A
【详解】因为，，，
所以，则，故，
所以，则．
故选：A.
6．C
【详解】对于A，函数的最小正周期，A正确；
对于B，由，，得，，
所以函数的定义域为，B正确；
对于C，由，，得，，
所以函数的对称中心为，，C错误；
对于D，由，，得，，
所以函数的单调递增区间为，，D正确.
故选：C
7．A
【详解】可化为，
所以，
由条件可得，
因为函数的图象关于轴对称，所以函数为偶函数，
所以，，
所以，，又，
所以的最小值为，
故选：A.
8．D
【详解】因为，
所以由正弦定理得,
所以，
因为，所以，
因为，所以，
因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
故选：D
9．BC
【详解】因为，
所以复数的虚部为，A错误；
因为，所以，B正确，
因为，所以，C正确；
复数在复平面内对应的点的坐标为，该点位于复平面的第一象限内，D错误；
故选：BC.
10．ABD
【详解】对于A选项，由图象可知，该函数的最小正周期为，A选项正确；
对于B选项，由图象可得，解得，
，
图象经过点，
，
.
，，则，，
所以，函数解析式为，，B选项正确；
对于C选项，令，，可得，，
所以函数图象的对称中心为，C选项错误；
对于D选项，令，，可得，，
所以函数图象的对称轴是直线，故D选项正确.
故选：ABD.
11．ACD
【详解】A选项，若，，，
则，所以，
所以满足条件的三角形有两个，所以A选项正确.
B选项，若，如，，，，
则，，故，所以B选项错误.
C选项，，，
余弦定理得，故
，
即，当且仅当时等号成立，
由于三角形中，，所以，
则，又，
即，整理得，
记得，所以的最大值为，所以C选项正确.
D选项，表示方向的单位向量；表示方向的单位向量，
根据平面向量加法的几何意义可知与的角平分线共线，
由可知的角平分线与垂直，
所以三角形是等腰三角形.
而，所以为锐角，且，
所以是等边三角形.
故选：ACD
12．
【详解】因为是上靠近的一个三等分点，所以，
又，，
所以，
故答案为：.
13．
【详解】由，可得，
又是三角形的一个内角，所以，
故，，
因为函数在区间上单调递增，
，解得，又，
所以的取值范围为，
故答案为：.
14．
【详解】因为，其中,
又函数的图像关于直线对称，且，
所以，解得，
所以，
当时，令，
因为方程在上恰有1个实数根，且函数在上单调递增，在上单调递减，
，
所以.
故答案为：
15．(1)
(2)时，的最大值为4；时，的最小值为
【详解】（1）因为，，，
所以．
若，则，与矛盾，
故，于是．又，
所以．
（2）
．
因为，所以，从而．
所以，
于是，当，即时，取到最大值；
当，即时，取到最小值．
16．（1）；（2）.
【详解】解：（1）由题意，．
，为锐角，
，．
又点B的纵坐标是且为钝角，
，．
．
（2），
，
，，．
又，
故．
17．(1)平方米；
(2)，当时，取得最大值平方米.
【详解】（1）依题意，，扇形半径即米，
则扇形OMN的面积为平方米.
（2）在中，，，
在中，，则，
于是，
则矩形面积
，，
所以；
由，得，则当时，即时，，
所以当时，取得最大值，最大值为平方米.
18．(1)
(2)
【详解】（1）根据题意，由正弦定理得，
又在中，有，所以，
所以，所以．
（2）结合（1）可得，，
由，则根据正弦定理有，得，，
根据余弦定理有，得，
所以
，
又为锐角三角形，则有，，得，
所以，所以，
故．
19．(1)答案见解析；
(2)；
(3)证明见解析.
【详解】（1）函数，，，
，
当时，，是下凸函数；
当时，，是上凸函数，
，
，显然，则，
因此，函数是上凸函数.
（2）由（1）知函数，是上凸函数，
在中，，
即，当且仅当取等号，
所以的最大值是.
（3）函数的定义域是，
要证函数是上凸函数，即证，，
因为
＝，
显然，则，
而，即，则，
又，有，则，，题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
A
C
A
C
A
D
BC
ABD
题号
11









答案
ACD