上海市杨浦区2025届高三下学期模拟质量调研数学试卷（解析版）

这是一份上海市杨浦区2025届高三下学期模拟质量调研数学试卷（解析版）试卷主要包含了 已知，则__________， 已知的最大值为___．等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，则__________.
【答案】
【解析】因为集合中大于1且小于4的数只有2，3，所以.
故答案为：.
2. 不等式解集为______________．
【答案】
【解析】不等式等价于，解得，
因此，不等式的解集为，故答案为.
3. 函数的最小正周期是___________．
【答案】
【解析】的最小正周期是，
故答案为：
4. 已知，则__________.
【答案】
【解析】因为，
所以，
故答案为：
5. 已知的最大值为___．
【答案】
【解析】由基本不等式得.
故答案为：1
6. 在的二项展开式中，常数项的值为__________
【答案】15
【解析】二项展开式通项为：
当时，
常数项为：
本题正确结果：
7. 已知复数满足，其中为虚数单位，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】在复平面内，表示复数对应的点与复数对应点的距离为1，
因此点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
表示点到原点的距离，所以的最小值为.
故答案为：
8. 不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】表示到的距离，表示到的距离，它们的和为到和到的距离之和，
根据三角不等式，当位于和之间时，距离和取得最小值，即两点之间的距离为，
所以不等式对一切实数恒成立等价于若最小值，则原式对所有恒成立，
所以或，解得或.
故答案为：.
9. 植物社团的同学观察一株植物的生长情况，为了解植物高度（单位：厘米）与生长期（单位：天）之间的关系，随机统计了某4天的植物高度，并制作了如下对照表：
由表中数据可得回归方程中，试预测生长期是30天时，植物高度约为__________厘米.
【答案】
【解析】由题意可得，，
所以，
所以回归方程为，
所以预测生长期是30天时，植物高度约为厘米.
故答案为：.
10. 如图，点分别是直角三角形的边上的点，斜边与扇形的弧相切，已知，则阴影部分绕直线旋转一周所形成的几何体的体积为__________.
【答案】
【解析】在中，，则，
由斜边与扇形弧相切，扇形半径，
阴影部分绕直线旋转一周所形成的几何体是绕直线旋转一周所得圆锥，
挖去扇形弧绕直线旋转一周所得半球，
所以所求体积为.
故答案为：
11. 如图，阿基米德椭圆规是由基座､带孔的横杆､两条互相垂直的空槽､两个可动滑块组成的一种绘图工具，横杆的一端上装有铅笔，假设两条互相垂直的空槽和带孔的横杆都足够长，将滑块固定在带孔的横杆上，令滑块在中一条空槽上滑动，滑块在另一条空槽上滑动，铅笔随之运动就能画出椭圆.当之间的距离为厘米时，若需要画出一个离心率为的椭圆，则之间的距离为__________.厘米.
【答案】21
【解析】依题意，当滑块在两条空槽的交点处时，长为椭圆的短半轴长，
当滑块在两条空槽的交点处时，长为椭圆的长半轴长，则，
由椭圆的离心率为，得，解得，即，解得，
所以之间的距离为21厘米.
故答案为：21
12. 由若干个多边形所覆盖的区域，称为这些多边形的并集，例如图中，梯形是与矩形的并集.已知是正整数，在平面直角坐标系中，直线的方程为，若直线交轴于点，交轴于点，则的并集，其面积为__________.

【答案】
【解析】由题意可得，，
令，则，
当时，；当时，，即，
则随着三角形的个数增加，所有三角形围成的图形每次增加一个小三角形，
设直线与直线的交点为，
联立，解得，即，
则，
设前个三角形围成图形的面积为，则，
且，
则，，，，，
由累加法可得，，
则，而符合上式，则，
故，
则的并集，其面积为.
故答案为：.

二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，请在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑.
13. 中，“”是“”的（ ）条件.
A. 充分非必要B. 必要非充分
C. 充要D. 既非充分也非必要
【答案】C
【解析】在中，令内角所对的边分别为，
由正弦定理得，
所以”是“”的充要条件.
故选：C
14. 3名同学报名参加社团活动，有4个社团可以报名，这些社团招收人数不限，但每位同学只能报名其中1个社团，则这3位同学可能的报名结果共有（ ）种.
A. 6B. 24C. 64D. 81
【答案】C
【解析】由题意可得每位同学有4种选择，根据乘法原理，共有种.
故选：C
15. 已知、、是单位圆上的三个点，若，则的最大值为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为、、是单位圆上的三个点，如图建立平面直角坐标系，
因为，即，所以，
所以，即，
不妨设，，设，所以，，
所以，
所以当，即时取得最大值，且.
故选：D

16. 设是由个二次函数组成的集合，对于连续的正整数，存在二次函数可重复，使得是等差数列，则的最小可能值是（ ）.
A. 507B. 1013C. 1519D. 2025
【答案】B
【解析】设等差数列首项为，公差为，则第项满足，
每个二次函数满足，
变形为，
对于固定的，这是一个关于的二次方程，最多有两个整数解，因此，每个二次函数最多能覆盖两个不同的值.
所以总共2025个值需要覆盖，因此需要个，但为整数，所以需要1013个.
故选：B
三､解答题（本大题共有5题，本大题满分78分）请在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤.
17. 已知函数是定义在上的偶函数.
（1）当时，，求时，的表达式；
（2）当时，，若实数满足，求的取值范围.
解：（1）因为函数是定义在上的偶函数，即
当时，，
所以，
所以.
（2）当时，，
由幂函数和指数函数的单调性可得为递增函数.
又函数为偶函数，
所以，
两边平方后展开可得，即，
解得.
18. 座落于杨浦滨江世界技能博物馆由百年历史文化保护建筑改建而成，其中的支柱保留了原有的正八棱柱，既考虑了结构力学优势，又体现了对历史建筑的尊重和传承.如图，分别为正八棱柱的上下两个底面的中心，已知.

（1）求证：；
（2）求点到平面的距离.
（1）证明：连接，
因为底面为正八边形，所以，
又正八棱柱侧棱底面，底面，
所以，
平面，
所以平面，
又平面，所以.
（2）解：连接，
因为，
由正八边形的性质可得，，为到底面的距离，，
所以，
由勾股定理可得，，
又，所以，
又，所以，
因为，所以，即，
设点到平面的距离为，
则，即，即，
解得，所以点到平面的距离为.
19. 为弘扬中华民族传统文化、增强民族自豪感，某学校开展中华古诗词背诵比赛，分为初赛和复赛.全校同学都参加了初赛，并随机抽取一个班级进行初赛成绩统计，已知该班级共有40位学生，他们的初赛分数的频率分布直方图如图所示：
（1）计算的值，并估计该校这次初赛的平均分数.
（2）初赛分数达到80及以上的同学，称为优秀参赛选手，现从班级中随机选出2位同学，用代表其中的优秀参赛选手人数，求的分布；
（3）为增加比赛的趣味性，复赛规则如下：复赛试题将从题库中随机抽取，每位参赛选手将有机会回答填空、选择和简答各1题；每答对1题得1分，答错或不答得0分，每位选手可以自行选择回答问题的顺序，若答对一题可继续答下一题，直到3题全部答完；若答错或不答则比赛结束.例如：选手甲可自行按“简答—填空—选择”顺序答题，甲答对第一题得1分，并继续回答第二题且答错得0分，结束比赛，总分为1分.
小杨作为优秀参赛选手，代表班级参加复赛.根据他初赛的答题正确频率，可估计他填空、选择和简答的答题正确概率分别为：
若小杨每次答题的结果都相互独立，那么为尽量在比赛中获得较高分数，小杨应该采用怎样的答题顺序？请说明理由.
解：（1）由频率分步直方图中小矩形的面积和为1可得：
，
解得；
该校这次初赛的平均分数为.
（2）初赛分数达到80及以上的同学为人，非优秀为28人，
由题意可得的可能取值为，
，
，
，
所以的分布列为：
（3）按照不同题目顺序分类讨论：
填空，选择，简答：
得零分的概率：，
得一分的概率：，
得两分的概率：，
得三分的概率：，
期望为分；
因为填空和简答的正确率相同，所以“简答，选择，填空”的期望与之相同；
填空，简答，选择：
得零分的概率：，
得一分的概率：，
得两分的概率：，
得三分的概率：，
期望为分；
因为填空和简答的正确率相同，所以“简答，填空，选择”的期望与之相同；
选择，填空，简答：
得零分的概率：，
得一分的概率：，
得两分的概率：，
得三分的概率：，
期望为分；
因为填空和简答的正确率相同，所以“选择，简答，填空”的期望与之相同；
所以，
小杨应采用“选择，填空，简答”或“选择，简答，填空”的顺序.
20. 已知双曲线的标准方程为，点是双曲线右支上的一个动点.
（1）求双曲线的焦点坐标和渐近线方程；
（2）过点分别向两条渐近线作垂线，垂足为点，求的值；
（3）若，如图，过作圆的切线，切点为，交双曲线的左支于点，分别交两条渐近线于点.设，求实数的取值范围.
解：（1）双曲线的标准方程为，则，
所以双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为；
（2）设，则，
由，解得，所以，
由，解得，所以，
所以，，
所以
，
即．
（3）设切点，则切线的方程为，且，
由，解得，所以，
设，，，，
由，消去得，所以；
由，消去得，所以；
所以，，
所以
，
又，所以，
因为，所以，所以，所以，
即.
21. 已知函数的导函数为，若函数的定义域为，且不等式对任意成立，则称函数是“超导函数”.
（1）判断是否为“超导函数”，并说明理由；
（2）若函数与都是“超导函数”，且对任意，都有，，记，求证：函数是“超导函数”；
（3）已知函数是“超导函数”且，若有且仅有一个实数满足，求的取值范围.
（1）解：函数，求导得，则，
所以是“超导函数”.
（2）证明：函数，求导得，
则，
由函数与都是“超导函数”，得，
由对任意，都有，，得，
因此，即，
所以函数是“超导函数”.
（3）解：由函数是“超导函数”，得对任意，，
令，求导得，函数在上单调递增，且，
由，得，即，
因此，即，令，
由有且仅有一个实数满足，得直线与函数的图象有且只有1个交点，
，当时，；当时，，
函数在上单调递增，函数值的集合为，在上单调递减，函数值的集合为，
因此当或时，直线与函数的图象有且只有1个交点，
所以的取值范围或.
生长期
3
9
11
17
植物高度
2.4
3.4
3.8
5.2
题型
填空
选择
简答
答题正确概率
0
1
2