2025年中考数学总复习课件(山东省专用)30 第一部分 第五章 第一节 多边形与平行四边形

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第一节　多边形与平行四边形
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考点一　多边形的定义及性质1．多边形的定义及性质(1)多边形的定义：由若干条不在同一直线上的线段________相连组成的封闭平面图形叫做多边形．
考点二　平行四边形的性质与判定1．平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形用“▱”表示．2．平行四边形的性质(1)边：两组对边分别____；两组对边分别____．(2)角：两组对角分别____．(3)对角线：两条对角线________．(4)对称性：是________图形，________________是它的对称中心．(5)面积：S＝______．
3．平行四边形的判定(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形．(2)两组对边分别____的四边形是平行四边形．(3)一组对边__________的四边形是平行四边形．(4)两组对角分别____的四边形是平行四边形．(5)对角线________的四边形是平行四边形．
1．(鲁教版八上P146图5-32变式)如图是某一水塘边的警示牌，牌面是五边形，这个五边形的内角和是(　　)A．900°　　B．720°　　C．540°　　D．360°
C　[由题意得(5－2)×180°＝540°，故选C．]
2．如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD交CD于点E．若CE＝2，BC＝3，则▱ABCD的周长为(　　)A．16B．14C．10D．8
A　[∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD＝BC＝3，∴∠DEA＝∠BAE，∵AE平分∠BAD交CD于点E，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠DAE＝∠DEA，∴AD＝DE＝3，∴CD＝DE＋CE＝5，∴AB＝CD＝5，∴▱ABCD的周长为AD＋AB＋BC＋CD＝3＋5＋3＋5＝16．故选A．]
3．[易错题]在平行四边形ABCD中，AD＝BD，BE是AD边上的高，∠EBD＝30°，则∠A的度数为 __________________．
60°或30°　[当E点在线段AD上时，如图所示，∵BE是AD边上的高，∠EBD＝30°，∴∠ADB＝90°－30°＝60°．∵AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝(180°－60°)÷2＝60°．
4．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AO＝CO，∠ABD＝∠CDB．求证：四边形ABCD是平行四边形．
考点突破 对点演练
命题点1　多边形的有关概念及其运算【典例1】　(2024·山东)如图，已知AB，BC，CD是正n边形的三条边，在同一平面内，以BC为边在该正n边形的外部作正方形BCMN．若∠ABN＝120°，则n的值为(　　)A．12B．10C．8D．6
方法总结　有关多边形的角的度数问题，经常利用多边形的内角和、外角和公式来解答．
[对点演练]1．一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3∶1，则这个正多边形是(　　)A．正方形B．正六边形C．正八边形D．正十边形
C　[∵一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3∶1，∴设这个外角是x°，则内角是3x°，根据题意得：x＋3x＝180，解得：x＝45，360°÷45°＝8，故选C．]
[解]　如图，在四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°．∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D ＝360°，∴∠B＋∠D＝360°－(∠A＋∠C)＝ 360°－180°＝180°．这就是说，如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补．
2．(人教版八上例题)如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？
(－2，－1)　[∵四边形ABCD为平行四边形，且A(－1，2)，D(3，2)，∴点A是点D向左平移4个单位长度所得．∵C(2，－1)，∴B(－2，－1)．故答案为(－2，－1)．]
命题点2　平行四边形的性质【典例2】　(2022·泰安)如图，四边形ABCD为平行四边形，则点B的坐标为 ____________．
方法总结　平行四边形的性质是解答边角相等的有效途径，知道四边形是平行四边形时，就考虑利用平行四边形的性质：“对边相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分”来解答．
【教师备选资源】(2021·泰安)如图，在平行四边形ABCD中，E是BD的中点，则下列四个结论：①AM＝CN；②若MD＝AM，∠A＝90°，则BM＝CM；③若MD＝2AM，则S△MNC＝S△BNE；④若AB＝MN，则△MFN与△DFC全等．其中正确结论的个数为(　　)A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个
命题点3　平行四边形的判定【典例3】　(2024·岱岳区期末)在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于O点，给出五组条件：(1)AB＝DC，AD∥BC；(2)AB＝CD，AB∥CD；(3)AB∥CD，AD∥BC；(4)OA＝OC，OB＝OD；(5)AB＝CD，AD＝BC．能判定此四边形ABCD是平行四边形的有(　　)A．1组　　B．2组　　C．3组　　D．4组
D　[(1)由“AB＝DC，AD∥BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形，故不符合题意；
(2)由“AB＝CD，AB∥CD”可知，四边形ABCD的一组对边平行且相等，据此能判定该四边形是平行四边形，故符合题意；
(3)由“AB∥CD，AD∥BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形，故符合题意；(4)由“OA＝OC，OB＝OD”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形，故符合题意；(5)由“AB＝CD，AD＝BC”可知，四边形ABCD的两组对边分别相等，则该四边形是平行四边形，故符合题意．故选D．]
[对点演练](2024·岱岳区期末)如图，在▱BFDE中，A，C分别在DE，BF的延长线上，且AE＝CF． 求证：(1)△ABE≌△CDF；(2)四边形ABCD是平行四边形．
(2)∵四边形BFDE是平行四边形，∴DE∥BF，DE＝BF．∵AE＝CF，∴AE＋DE＝CF＋BF，即AD＝BC．∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．
命题点4　平行四边形的性质与判定的综合应用【典例4】　(2023·泰安)如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点F是DC边上的一点，连接AF，将△ADF沿直线AF折叠，点D落在点G处，连接AG并延长交DC于点H，连接FG并延长交BC于点M，交AB的延长线于点E，且AC＝AE．(1)求证：四边形DBEF是平行四边形；(2)求证：FH＝ME．
在矩形ABCD中，对角线互相平分，∴OA＝OB，∴∠CAB＝∠ABD，又∵DC∥AB，∴∠ACD＝∠CAB，∴∠ABD＝∠ACD，∴∠ABD＝∠E，∴DB∥FE，又∵DF∥BE，∴四边形DBEF是平行四边形．
[对点演练](鲁教版八上P134例3改编)如图，将▱DEBF的对角线EF向两端延长，分别至点A和点C，且使AE＝CF，连接AB，BC，AD，CD．求证：四边形ABCD为平行四边形．以下是证明过程，其顺序已被打乱，①∴四边形ABCD为平行四边形；②∵四边形DEBF为平行四边形，∴OD＝OB，OE＝OF；③连接BD，交AC于点O；④又∵AE＝CF，∴AE＋OE＝CF＋OF，即OA＝OC．正确的证明步骤是(　　)A．①②③④B．③④②①C．③②④①D．④③②①
C　[连接BD，交AC于点O，如图所示．∵四边形DEBF为平行四边形，∴OD＝OB，OE＝OF，又∵AE＝CF，∴AE＋OE＝CF＋OF，即OA＝OC，∴四边形ABCD为平行四边形，即正确的证明步骤是③②④①，故选C．]
课时分层评价卷(二十)　多边形与平行四边形
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共65分) 1．(2024·泰山期末)如图，在▱ABCD中，BM是∠ABC的平分线交CD于点M，且MC＝4，▱ABCD的周长是26，则DM＝(　　)A．3B．4　　　　C．5　　　　D．6
C　[∵BM是∠ABC的平分线，∴∠ABM＝∠CBM．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∴∠ABM＝∠BMC，∴∠BMC＝∠CBM，∴BC＝MC＝4．∵▱ABCD的周长是26，∴AB＋CD＋AD＋BC＝26，∴BC＋CD＝13，∴CD＝9，则DM＝CD－MC＝9－4＝5，故选C．]
2．(鲁教版八上P146图5-32改编)如图，小明从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°…照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为(　　)A．80米B．96米C．64米D．48米
C　[根据题意可知，他需要转360÷45＝8次才会回到原点，所以一共走了8×8＝64(米)．故选C．]
3．(2024·岱岳区期末)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF＝(　　)A．4B．3C．2D．1
C　[∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠ABF＝∠F，∠AEB＝∠CBE．∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠AEB＝∠ABE＝∠F＝∠DEF，∴AE＝AB＝3，∴DF＝DE＝AD－AE＝5－3＝2，故选C．]
4．如图，将△ABC绕边AC的中点O顺时针旋转180°，嘉淇发现，旋转后的△CDA与△ABC构成平行四边形，推理如下：小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵CB＝AD，”和“∴四边形…．”之间作补充，下列正确的是(　　)
A．嘉淇推理严谨，不必补充B．应补充，且AB＝CDC．应补充，且AB∥CDD．应补充，且OA＝OC
B　[根据旋转的性质得：CB＝AD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形．故应补充“AB＝CD”．故选B．]
∵∠EAC＝∠ECA＝30°，∠BAE＝60°，∴∠BAC＝∠EAC＋∠BAE＝30°＋60°＝90°，∴AC⊥AB，∴S▱ABCD＝AB·AC，故②正确．∵AB⊥OA，∴OB＞AB，∴OB≠AB，故③错误．
7．如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在D1上，折痕为EF，若∠BAE＝55°，则∠D1AD＝________．
55°　[∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD＝∠C，由折叠的性质得：∠D1AE＝∠C，∴∠D1AE＝∠BAD，∴∠D1AD＝∠BAE＝55°．故答案为55°．]
8．(鲁教版八上P122习题5.1 T4改编)如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，CF平分∠BCD，交AD于点F．求证：AE＝CF．
9．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数为(　　)A．180°B．240°C．270°D．360°
A　[如图所示，连接BC．∵∠D＋∠E＝∠1，∠1＝∠2＋∠3，∴∠D＋∠E＝∠2＋∠3，则∠A＋∠ABE＋∠ACD＋∠D＋∠E＝∠A＋∠ABE＋∠ACD＋∠2＋∠3＝∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，故选A．]
甲、乙两人后续证明的部分思路如下：甲：如图2，先证明△ADE≌△CFE，再推理得出四边形DBCF是平行四边形．乙：如图3，连接DC，AF．先后证明四边形ADCF，DBCF分别是平行四边形．下列判断正确的是(　　)A．甲思路正确，乙思路错误　B．甲思路错误，乙思路正确　C．甲、乙两人思路都正确　D．甲、乙两人思路都错误
11．如图，在正六边形ABCDEF中，M，N是对角线BE上的两点．添加下列条件中的一个：①BM＝EN；②∠FAN＝∠CDM；③AM＝DN；④∠AMB＝∠DNE．能使四边形AMDN是平行四边形的是________(填上所有符合要求的条件的序号)．
①②④　[①连接AD，交BE于点O．∵正六边形ABCDEF中，∠BAO＝∠ABO＝∠OED＝∠ODE＝60°，∴△AOB和△DOE是等边三角形，∴OA＝OD，OB＝OE．又∵BM＝EN，∴OM＝ON，∴四边形AMDN是平行四边形，故①符合题意．
②∵∠FAN＝∠CDM，∠CDA＝∠DAF，∴∠OAN＝∠ODM，∴AN∥DM．又∵∠AON＝∠DOM，OA＝OD，∴△AON≌△DOM(ASA)，∴AN＝DM，∴四边形AMDN是平行四边形，故②符合题意．
③∵AM＝DN，AB＝DE，∠ABM＝∠DEN，∴△ABM与△DEN不一定全等，不能得出四边形AMDN是平行四边形，故③不符合题意．
④∵∠AMB＝∠DNE，∠ABM＝∠DEN，AB＝DE，∴△ABM≌△DEN(AAS)，∴AM＝DN．∵∠AMB＋∠AMN＝180°，∠DNM＋∠DNE＝180°，∴∠AMN＝∠DNM，∴AM∥DN，∴四边形AMDN是平行四边形，故④符合题意．故答案为①②④．]
12．[新定义试题](2024·泰山二模)小明学习了四边形后，对有特殊性质的四边形的探究产生了兴趣，发现了这样一类特殊的四边形：两条对角线互相垂直的四边形，叫做垂美四边形．如图，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，对角线AC＝4，BD＝6，设S＝AD＋BC，则S的最小值等于 ________．
[解]　(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC．∵∠AFC＝∠DEC，∴∠AFC＝∠ADE，∴DE∥CF．∵AD∥BC，∴DF∥CE，∴四边形DECF是平行四边形．
14．(2024·泰山模拟)在平行四边形ABCD中，以AB为边作等边△ABE，点E在CD上，以BC为边作等边△BCF，点F在AE上，点G在BA延长线上且FG＝FB．(1)若CD＝6，AF＝3，求△ABF的面积；(2)求证：BE＝AG＋CE．
(2)证明：作FH⊥AB，垂足为点H，CJ⊥AE交AE的延长线于点J．∵△ABE，△FBC都是等边三角形，∴BA＝BE，BF＝BC，∠ABE＝∠FBC＝60°，∴∠ABF＝∠EBC，∴△ABF≌△EBC(SAS)，∴AF＝EC．
∵AB∥CD，∴∠CEJ＝∠FAH，∵∠FHA＝∠J＝90°，∴△FHA≌△CJE(AAS)，∴FH＝CJ，AH＝EJ，∵FB＝FG＝FC，FH＝CJ，∴Rt△FGH≌Rt△CFJ(HL)，∴GH＝FJ，∵AH＝EJ，∴EF＝AG，∵BE＝AE＝AF＋EF，∴BE＝EC＋AG．