湖南省永州市2025届高三下学期三模数学试卷（Word版附解析）

这是一份湖南省永州市2025届高三下学期三模数学试卷（Word版附解析），文件包含湖南省永州市2024-2025学年高三下学期第三次模拟考试数学试卷原卷版docx、湖南省永州市2024-2025学年高三下学期第三次模拟考试数学试卷解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共27页， 欢迎下载使用。
命题人：陈诗跃（永州一中） 陈雄武（东安一中） 唐首佳（宁远一中） 李军（永州四中）
审题人：席俊雄（永州市教科院）
注意事项：
1.本试卷共150分，考试时量120分钟.
2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效.
3.考试结束后，只交答题卡.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若复数z满足，则z在复平面内对应的点为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知为等差数列的前n项和，且，，则（ ）
A. 40B. 45C. 50D. 55
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
5. 的展开式的第4项系数是（ ）
A. B. 280C. D. 560
6. 已知椭圆E：，点，若直线（）与椭圆E交于A，B两点，则的周长为（ ）
A. B. 4C. D. 8
7. 若函数在区间上单调递增，则实数a的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8. 如果数列对任意的，都有成立，则称为“速增数列”.若数列为“速增数列”，且任意项，，，，则正整数k的最大值为（ ）
A. 62B. 63C. 64D. 65
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法中，正确的有（ ）
A. 具有相关关系的两个变量x，y的相关系数r越大，则x，y之间的线性相关程度越强
B 已知随机变量服从正态分布，且，则
C. 数据27，30，37，39，40，50第30百分位数是30
D. 若一组样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数
10. 已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期为B. 在区间上单调递增
C. 曲线关于直线对称D.
11. 已知平面内动点到定点的距离与到定直线l：的距离之和等于6，其轨迹为曲线，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则点的轨迹是以为焦点的抛物线的一部分
B. 点横坐标的取值范围是
C. 若过点直线与曲线的部分图象和部分图象分别交于，则
D. 对给定的点（），用表示的最小值，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数是偶函数，则__________.
13. 已知直线与圆C：交于A，B两点，且，则________.
14. 已知四棱台的底面为矩形，上底面积为下底面积的，所有侧棱长均为.当该四棱台的体积最大时，其外接球的表面积为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.且.
（1）求的值；
（2）若，，求的面积.
16. 某学校为调查高三年级的体育开展情况，随机抽取了20位高三学生作为样本进行体育综合测试，体育综合测试成绩分4个等级，每个等级对应的分数和人数如下表所示：
（1）若从样本中随机选取2位学生，求所选的2位学生分数不同的概率；
（2）用样本估计总体，以频率代替概率.若从高三年级学生中随机抽取n位学生，记所选学生分数不小于3的人数为X.
（ⅰ）若，求X的分布列与数学期望；
（ⅱ）若，当k为何值时，最大？
17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，是边长为2的等边三角形，F为BC的中点.
（1）证明：；
（2）若直线AP与DF夹角的余弦值为，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值.
18. 已知双曲线E：（，）的虚轴长为2，离心率为.
（1）求双曲线E的标准方程：
（2）过点的直线l与E的左、右两支分别交于A，B两点，点，直线BC与直线交于点N.
（ⅰ）证明：直线AN的斜率为定值：
（ⅱ）记，分别为，的面积，求的取值范围.
19. 已知函数（），且有唯一零点.
（1）证明：；
（2）证明：；
（3）判断数列中否存在连续三项按某顺序构成等比数列，并说明理由.
等级
不及格
及格
良
优
分数
1
2
3
4
人数
3
9
5
3