2025届山东省泰安市泰山区中考数学模拟考试试卷（一模）（含答案）

这是一份2025届山东省泰安市泰山区中考数学模拟考试试卷（一模）（含答案），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．﹣2025的相反数是（ ）
A．2025B．−12025C．﹣2025D．12025
2．下列自然能源图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．由DeepSeek开发的人工智能助手在全球范围内掀起了一股热潮，据国内AI产品榜统计数据，这款推理型AI聊天机器人在上线仅20天后，其日活跃用户数达．将数据用科学记数法表示为（ ）
A．0.2215×108 B．2.215×107C．2.215×106 D．22.15×106
4．榫卯结构是中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式，如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的主视图为（ ）
A． B．C． D．
5．下列计算正确的是（ ）
A．b2+b3＝b5 B．2a3b÷b＝2a3C．（2a2）3＝6a6D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
6．在一个不透明的口袋中，装有a个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.2，则a的值是（ ）
A．30B．25C．20D．16
7．定义新运算“@”与“⊕”：a@b＝，a⊕b＝．则3@（﹣2）﹣（﹣3）⊕（﹣1）的值是（ ）
A．B．﹣1C．D．1
8．如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，连接AE，HE，若S△AEH＝4，则⊙O的半径为（ ）
A．2B．C．D．4
9．下列命题中，逆命题是真命题的是（ ）
A．如果两个直角三角形全等，那么它们的斜边相等
B．如果两个实数的商为﹣1，那么这两个实数互为相反数
C．如果a＝b，那么
D．如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形两腰上的高相等

第8题图 第10题图
10．如图，已知正方形的顶点A（2，0），C（0，2），D是AB的中点，以顶点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OC，OD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点G，作射线OG交边BC于点H，则点H的坐标为（ ）
A．（4﹣，2）B．（3﹣，2）C．（，2）D．（﹣1，2）
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．若分式的值为0，则x＝ ．
12．若x＝2是方程mx2﹣nx﹣1＝0的解，则代数式2m﹣n+1的值为 ．
13．如图，平面直角坐标系中，一束光经过A（﹣3，1）照射在平面镜（x轴）上的点B（﹣1，0）处，其反射光线BC交y轴于点，再被平面镜（y轴）反射得光线CD，则直线CD的函数表达式为 ．

第13题图 第14题图 第15题图
14．如图，在△ABC中，∠ABC＝30°，，点D是边BC上的点，将△ACD沿AD折叠得到△AED，线段AE与边BC交于点F．若∠CDE为直角，则CD的长是 ．
15.如图，在正方形ABCD中，分别以点A和B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于点E和F，作直线EF，再以点A为圆心，以AD的长为半径作弧交直线EF于点G（点G在正方形ABCD内部），连接DG并延长交BC于点K．若BK＝2，则正方形ABCD的边长为__________.
16．法国数学家韦达在探究二次项系数为1的一元二次方程x2+bx+c＝0根的特征时发现，此时“韦达定理”可表述为：x1+x2＝﹣b，x1•x2＝c．借此结论，小麓对“倍根方程”的根的特征的进行了探究．
定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．若函数G1的图象与函数G2的图象相交于A，B两点，其中一个点的横坐标等于另一点的横坐标的2倍，则称函数G1与函数G2互为“倍根函数”．若（x﹣2）（2x+k）＝0是“倍根方程”，则k的值是
三、解答题：本题共8小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题每小题5分，共10分）
（1）计算：；
（2）解不等式组，并写出这个不等式组的所有整数解．
18．（本小题满分12分）
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP，交BC于点D，过点D作DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F．
（1）求证：四边形AEDF为菱形；
（2）当AB＝10，BC＝6时，求菱形AEDF的周长．
19．（本小题满分12分）
为了激发学生对诗词的热情，传承优秀文化，4月初，某校开展了诗词知识答题活动，以一种新的方式与诗词对话，与古人为友．答题结束后，从初一、初二年级随机抽取了20份测试成绩（百分制，单位：分）如下：
通过整理，两组数据的平均数、中位数、众数和方差如下表：
某同学将初一学生得分按分数段（60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100），绘制成频数分布直方图，初二同学得分绘制成扇形统计图，如图（均不完整）．
初一学生得分频数分布直方图 初二学生得分扇形统计图

请完成下列问题：
（1）初一学生得分的众数m＝ ；初二学生得分的中位数n＝ ；
（2）补全频数分布直方图；扇形统计图中，70≤x＜80所对应的圆心角为 度；
（3）若初二年级有1200名学生，估计初二年级答题活动中达到优秀（x≥90）的有多少名？
（4）根据以上数据，你认为初一、初二年级中哪个年级学生诗词知识掌握较好？请说明理由（写出一条理由即可）．
20．（本小题满分12分）
如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，sinB＝，求FD的长．
21．（本小题满分13分）
项目主题：守护生命，“数”说安全．
项目背景：随着社会的发展，安全问题变得日益重要．某校为了提高学生的安全意识，开展以“守护生命，‘数’说安全”为主题的项目式学习活动．创新小组通过考查测量、模拟探究和成果迁移等环节，开展弯道对通行车辆长度的限制研究．
任务一：考查测量
（1）如图1，创新小组所选取弯道的内、外侧均为直角，道路宽均为5m，则AB＝ m．
任务二：模拟探究
如果汽车在行驶中与弯道内、外侧均无接触，则可安全通过．
（2）如图2，创新小组用矩形POMN模拟汽车通过宽均为5m的直角弯道，发现当PQ的中点E与点B重合，且PQ⊥AB，点M，N落在弯道外侧上时，矩形PQMN恰好不能通过该弯道．若PQ＝am，PN＝1.8m，要使矩形PQMN能通过该直角弯道，求a的最大整数值．
任务三：成果迁移
（3）如图3，某弯道外侧形状可近似看成反比例函数y=kx(x＞0)的图象，第一象限的角平分线交图象于点A，弯道内侧的顶点B在射线OA上，两边分别与x轴，y轴平行，OA＝2m，AB＝4m．创新小组探究发现通过该弯道的原理与通过直角弯道的原理一致．有一辆长为bm，宽为2m的汽车需要安全通过该弯道，求b的最大整数值．（参考数据：2≈1.4，3≈1.7）
22．（本小题满分13分）
如图1，先将△ADB和△A′D′C的边AD、A′D′重合，再将△A′D′C绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为α（0°≤α≤360°），旋转过程中△ADB保持不动，连接BC．
（1）当α＝60°时，BC＝ ；当BC＝22时，α＝ °；
（2）当α＝90°时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积；
（3）如图2，取BC的中点F，将△A′D′C′绕着点A旋转一周，点F的运动路径长为 ．
23.（本小题满分14分）
已知二次函数y＝x2+2ax﹣3a．
（1）若函数图象经过点（2，5），解决下列问题：
①求该二次函数的表达式；
②若将平面内一点A（1，n）向左平移3m（m＞0）个单位，到达图象上的B点；若将点A向右平移m（m＞0）个单位，则到达图象上的C点，求C点坐标．
（2）设点M（x1，y1），N（x2，y2）是该函数图象上的两点，若x1+x2＝3，求证：y1+y2≥92．
答案及评分标准
一、选择题：本题共小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．﹣112．
13．y＝﹣0.5x+0.514．
15．+116. ﹣2或﹣8
三、解答题：本题共7小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题每小题5分，共10分）
解：原式 ＝4+4分
＝4+
＝25分
（2）解：，
由①得x≤2，1分
由②得 x＞﹣1，2分
∴原不等式组的解集为﹣1＜x≤2，4分
∴原不等式组的所有整数解为0，1，2．5分
18. （本题满分12分）
（1）证明：∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AEDF是平行四边形，
由作图轨迹可知：AD为∠CAB的角平分线，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵DE∥AB，
∴∠ADE＝∠BAD＝∠CAD，3分
∴AE＝ED，
∴▱AEDF为菱形；5分
（2）解：∵AB＝10，BC＝6，∠C＝90°，
∴，
设菱形边长为x，则AF＝DF＝x，BF＝10﹣x，
∵DF∥AC，
∴△BDF∽△BCA，9分
∴即，
解得：，
∴菱形AEDF的周长为．12分
19. （本题满分12分）
解：（1）95，90.5；2分
（2）初一学生得分在80≤x＜90范围的人数5人，补全频数分布直方图如下：
54°；6分
（3）∵初二年级样本中x≥90有11人，
∴（人）
答：估计优秀的学生有660人；9分
（4）初一学生诗词知识掌握较好．
理由：初一学生得分的平均分一样，
但众数、中位数都比初二的高，方差比初二的小．12分
20. （本题满分12分）
（1）证明：连接OC，则OC＝OA，
∴∠OCA＝∠CAD，
∵∠DCF＝∠CAD，
∴∠DCF＝∠OCA，2分
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∴∠OCF＝∠OCD+∠DCF＝∠OCD+∠OCA＝∠ACD＝90°，
∵OC是⊙O的半径，且CF⊥OC，
∴CF是⊙O的切线．6分
（2）解：∵⊙O的半径为5，
∴OA＝OD＝5，AD＝10，
∵∠ACD＝90°，∠ADC＝∠B，
∴＝sin∠ADC＝sinB＝，
∴AC＝AD＝×10＝8，7分
∴CD＝＝＝6，
∵∠DCF＝∠CAF，∠F＝∠F，
∴△DCF∽△CAF，9分
∴＝＝＝＝，
∴FC＝FA＝（FD+10），且FC＝FD，
∴（FD+10）＝FD，
解得FD＝，
∴FD的长为．12分
21．（本题满分13分）
解：（1）5；2分
（2）解法一：
如图3（1），设AB与MN相交于点G，
根据题意得：∠ANM＝∠NAG＝45°，
∴∠AGN＝∠AGM＝90°，
又∵AG＝AG，∠MAG＝∠NAG＝45°，
∴△AGM≌△AGN（ASA），
∴GM＝GN，
∴MN＝2AG，
又∵AB＝5m，NP＝BG＝1.8m，
∴MN＝2AG＝2（AB﹣BG）＝（10﹣3.6）m，4分
∵≈1.4，
∴10﹣3.6＝10.5（m），
∴根据实际情况可得：a的最大整数值为10．6分
解法二：
如图3（2），设直线PQ分别与直线AM，AN相交于点I，H，根据题意得：
∵四边形NPQM为矩形，
∴PQ∥MN，
∴∠IHA＝∠MNA＝45°，
又∵∠MAN＝90°，
∴IH＝2AB＝10m，IQ＝MQ＝1.8m，PH＝PN＝1.8m，
∴PQ＝HI﹣IQ﹣PH＝10﹣3.6，4分
∵≈1.4，
∴10﹣3.6＝10.5（m），6分
∴根据实际情况可得：a的最大整数值为10m．
（3）如图4，过点A作AA′⊥x轴于点A′，
由勾股定理可得OA′＝AA′＝m，
∴A，
∴反比例函数的解析式为y＝；
设直线AB与MN的交点为P，则BP＝2m，
过点P作PP′⊥x轴于点P′，则OP＝OA+AP＝BP+AP＝AB＝4m，
∴PP′＝OP′＝2m，
∴P（2，2），8分
∴直线MN的解析式为：y＝﹣x+4；
令＝﹣x+4，
解得x＝2±，
∴M（2，2），N（2，2），10分
∴MN＝＝4，
∵6＜4＜7，
∴b＝MN的最大整数值为6．12分
22.（本小题满分13分）
解：（1）2，30或210；4分
（2）如图：
∵∠ADB＝90°，∠B＝30°，AB＝2，
∴AD＝1，
∵α＝90°，
∴∠BAC＝60°+60°﹣90°＝30°，
∴∠QAD＝∠BAD﹣∠BAC＝30°，
∴DQ＝＝，
∴S△ADQ＝×1×＝，7分
∵∠D'＝∠D'AD＝∠D＝90°，AD＝AD'，
∴四边形ADPD'是正方形，
∴DP＝AD＝1，
∴S△APD＝×1×1＝，
∴S△APQ＝﹣，
同理S△AD'R＝﹣，
∴两块三角板重叠部分图形的面积为1﹣；10分
（3）2π.13分
23. （本小题满分14分）
（1）解：①∵函数图象经过点（2，5），
∴4+4a﹣3a＝5，
∴a＝1，
∴该二次函数的表达式为y＝x2+2x﹣3；4分
②由题意可知B（1﹣3m，n），C（1+m，n），
∵B、C是二次函数y＝x2+2x﹣3图象上的点，
∴B、C关于对称轴直线x＝﹣1对称，
∴（1﹣3m+1+m）＝﹣1，
解得m＝2，8分
∴C（3，n），
把x＝3代入y＝x2+2x﹣3，得n＝9+6﹣3＝12．
即点C（3，12）；9分
（2）证明：∵x1+x2＝3，
∴x2＝3﹣x1，11分
∵M（x1，y1），N（3﹣x1，y2）是二次函数y＝x2+2ax﹣3a图象上两点，
∴y1+y2＝x12+2ax1﹣3a+（3﹣x1）2+2a（3﹣x1）﹣3a 12分
＝2﹣6x1+9
＝2（x1﹣1.5）2+≥．14分初一
94
100
89
95
62
75
93
86
86
93
95
95
88
94
95
68
92
80
78
92
初二
100
98
98
97
96
95
92
92
92
92
86
87
88
83
78
78
74
67
66
91
平均数
中位数
众数
方差
初一
87.5
92
m
95.35
初二
87.5
n
92
97.85
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
A
B
B
B
D
C
B
D
D