广东省珠海某校2024−2025学年高二下学期第一阶段考试 数学试题（含解析）

这是一份广东省珠海某校2024−2025学年高二下学期第一阶段考试 数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知函数的图象如图所示，不等式的解集是（ ）

A．B．
C．D．
2． 当 时，此时不等式 等价于 .
由函数单调性与导数的关系，当，函数单调递减时.观察图象， 在 上单调递减，即此时当 时，，满足题意.
综上，不等式 的解集是 ，
故选B.
2．若a∈N＋，且a < 20，则(27－a)(28－a)…(34－a)等于（ ）
A．B．
C．D．
3．若等比数列的前n项和为，已知，且与的等差中项为2，则（ ）
A．B．9C．27D．81
4．在数列中，，，记为数列的前项和，则（ ）
A．0B．18C．10D．9
5．函数的大致图像是（ ）
A． B．
C．D．
6．数列{an}的通项公式为，该数列的前50项中最大项是（ ）
A．B．C．D．
7．已知实数，，满足，，，其中为自然对数的底数.则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
8．有理数都能表示成（其中且与互质）的形式．任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数；反之，任一有限小数或无限循环小数也可以化成的形式，从而是有理数，如．已知构成无穷数列，令，为数列的前项和，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（ ）
A．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法
B．课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有144种排法
C．课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有240种排法
D．课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有480种排法
10．下列结论不正确的是（ ）
A．若数列为等比数列，且前项和，则
B．若数列为单调递增的等比数列，则公比
C．若数列的前项和，则数列为等差数列
D．若是不全相等的非零实数，且成等差数列，则能构成等差数列
11．如图，由函数与的部分图象可得一条封闭曲线，则（ ）
A．有对称轴
B．上任意两点间的距离
C．直线被截得弦长的最大值为
D．的面积大于
三、填空题（本大题共3小题）
12．《九章算术》、《数书九章》、《周髀算经》是中国古代数学著作，甲、乙、丙三名同学计划每人从中选择一种来阅读，若三人选择的书不全相同，则不同的选法有 种．
13．已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前n项和的方法探求：若，则 ．
14．已知对于任意的，存在，使得不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．（1）求满足不等式的正整数的集合；
（2）用0，1，2，3，4，5这六个数字组成满足下列条件的四位数．
（i）能被5整除的无重复数字的四位数有多少个？
（ii）恰有三个重复数字的四位数有多少个
16．已知数列的前项和，数列是正项等比数列，满足，.
(1)求，的通项公式；
(2)设，记数列的前项和为，求.
17．已知数列满足．
(1)证明：数列为等差数列；
(2)设，记数列的前n项和为．
（i）求；
（ii）若成立，求m的取值范围．
18．已知函数，．
(1)求的极值；
(2)讨论的单调性；
(3)若，且当时，恒成立，求实数的取值范围．
19．在必修一中，我们曾经学习过用二分法来求方程的近似解，而英国物理学家、数学家艾萨克•牛顿与德国哲学家、数学家戈特弗里德•莱布尼茨各自独立发明了微积分．其中牛顿在《流数法与无穷级数》（The Methd f Fluxins and Inifinite Series）一书中给出了“牛顿切线法”求方程的近似解．具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，称为的2次近似值．一直继续下去，得到．一般地，过点作曲线的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值，称数列为牛顿数列．
(1)已知函数的零点为，，求的2次近似值．
(2)函数的两个零点分别为，，数列为函数的牛顿数列，若数列满足，，．
（i）证明：；
（ii）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在4项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的4项；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．【答案】B
【详解】1. 当 时，此时不等式 等价于 .
从函数图象可知，当，函数单调递增时.观察图象， 在 上单调递增，即此时当 时，满足题意.
2. 当 时，此时不等式 等价于 .
由函数单调性与导数的关系，当，函数单调递减时.观察图象， 在 上单调递减，即此时当 时，，满足题意.
综上，不等式 的解集是 ，
故选B.
2．【答案】D
【解析】由排列公式即可知正确选项.
【详解】.
故选D
3．【答案】D
【详解】因为数列为等比数列，所以，解得，并设数列的公比为，
因为与的等差中项为2，所以，则，即，解得，
故.
故选D.
4．【答案】C
【详解】因为，所以，
因为，所以，，，
，，，，…，
故数列为周期数列，周期为4，
所以.
故选C.
5．【答案】B
【解析】先判断出函数的奇偶性，可排除AC，再利用导数得出单调性即可得出结果.
【详解】可得的定义域为关于原点对称，且，
为奇函数，图象关于原点对称，故AC错误；
当时，，故当时，，单调递增，当时，，单调递减，故D错误，B正确.
故选B.
6．【答案】C
【详解】因为
所以当，即时，，所以.
当，即时，，所以.
且时，数列为递减数列，
所以该数列的前50项中最大项是.
故选C.
7．【答案】D
【详解】设，可知函数的定义域为，且，
因为在定义域上单调递增，且，
若，则；若，则；
可得在上单调递增，在上单调递减，
又因为，，，
可得，，，
即，，，且，，，
可知，且，，，所以.
故选D.
8．【答案】A
【详解】，
，
，
，
又，
则随n的增大而增大，当时，取最小值，
又，则，所以.
故选A.
9．【答案】AB
【详解】对于A：从六门课程中选两门的不同选法有种选法，故A正确；
对于B：课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，故可把这三门课程当作一个整体有种排法；
再与剩下三门课程进行全排列有种排法，
所以根据分步乘法计数原理共有种排法，故B正确；
对于C：课程“乐”“射”排在相邻的两周，故可把这两门课程看成一个整体有种排法，
再与剩下四门课程进行全排列有种排法，
根据分步乘法计数原理，“乐”“射”相邻的排法共有种，
六门课程的全排列共有种排法，
故“乐”“射”排在不相邻的两周有种排法，故C错误；
对于D：六门课程的全排列共有种排法，
“礼”排在第一周或“数”排在最后一周的排法共有，
“礼”排在第一周且“数”排在最后一周的排法共有，
故课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周共有种排法，故D错误.
故选AB.
10．【答案】BCD
【详解】对于A选项，已知数列为等比数列，
且前项和.
等比数列前项和公式为（，），
对比可得，解得，A选项正确.
对于B选项，若等比数列的首项，公比时，数列也是单调递增的，
例如，公比，此时数列单调递增，但，所以B选项错误.
对于C选项，已知数列的前项和，
当时，.
当时，
.
当时，，所以.
由于从第二项起才满足等差数列的通项公式，所以数列不是等差数列，C选项错误.
对于D选项，因为，，成等差数列，则，
假设，，能构成等差数列，则，
把代入上式得，即，
又因为，则，即，所以，
这与，，不全相等矛盾，所以，，不能构成等差数列，D选项错误.
故选BCD.
11．【答案】ACD
【详解】对于选项A：由，
的反函数为，两者关于对称，故A正确.
对于选项B：，
令，
当时，；当时，；
可知在上单调递减；上单调递增，
注意到，
在内有一个零点，另一个零点为，
，故B错误.
对于选项C：与曲线对称轴垂直，
如图，只需考察曲线上到距离大最大值即可，
找出过与曲线相切且与平行的点即可，
令，令，
此时到的距离，
直线被截得弦长最大值为，故正确.
对于选项D：，故D正确.
故选ACD.
12．【答案】
【详解】若三人选书没有要求，则有种，
若三人选择的书完全相同，则有种，
所以三人选择的书不全相同，不同的选法有种.
13．【答案】4050
【详解】正数数列是公比不等于1的等比数列，，
则，
由，当时，，
于是，
令，
则，
因此，
所以.
14．【答案】
【详解】令，则，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以又，
且当时，，当时，，
即，
且当时，，当时，，
所以存在唯一，使得，所以，
故当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以
，
则，
令，
则，
当时，，当时，，
所以函数上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，
所以实数的取值范围为.
15．【答案】（1）；（2）（i）108；（ii）100
【详解】（1）原不等式可化为：，
即，
即，解得，
又因为且，所以，
则不等式的解集为．
（2）（i）个位为0时，能被5整除的无重复数字的四位数有个，
当个位为5时，能被5整除的无重复数字的四位数有个，
综上，能被5整除的无重复数字的四位数有个；
（ii）重复数字为0时，满足条件的四位数有个，
重复数字不为0，但数中有0时，满足条件的四位数有个，
重复数字不为0，数中也无0时，满足条件的四位数有个，
综上，恰有三个重复数字的四位数共有个.
16．【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）因为，
所以时.
当时，，
所以，
，满足，所以，
数列是正项等比数列，.
所以公比，.
（2）由（1）知，
，
.
17．【答案】(1)证明见解析
(2)（i）；（ii）
【详解】（1）因为，即，
所以数列是以为首项，3为公差的等差数列.
（2）（i）由（1）知，
所以，
所以，
所以，
，
所以
，
所以.
（ii）因为，
所以，
令，
不妨设的第项取得最大值，
所以，解得，
所以的最大值为，
所以，即m的取值范围是.
18．【答案】(1)极小值为，无极大值
(2)答案见解析
(3)
【详解】（1）函数，定义域为，，
时，，时，，
有极小值，无极大值；
（2）函数的定义域为，求导得，
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
（3）当时，，
不等式，
令函数，依题意，，恒成立，
求导得，
令，求导得，函数在上单调递增，
而，
则存在，使，即，
此时，
当时，，当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
因此，由，得，
则，，
所以的取值范围是.
19．【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）不存在，理由见解析
【详解】（1）函数，求导得，
则，而，
在处的切线方程为，即.
令，得，则，
在处的切线为，令，得，
所以的2次近似值为.
（2）（i）因为，则，
可得，
过点作曲线的切线，
令，得，
则，
又因为是函数的两个零点，则，
且，则，
可得，
故数列为等比数列；则，
所以；
（ii）由（i）知，所以，
所以.
假设数列中存在4项（其中成等差数列）成等比数列，
则互不相等，所以，
即，
又因为成等差数列，所以，所以，
化简得，所以，
又，所以与已知矛盾.
同理，对进行类似推导，也会得出矛盾.
所以在数列中不存在4项成等比数列.