上海市2024-2025学年高二下学期期中考试数学检测试卷（附答案）

这是一份上海市2024-2025学年高二下学期期中考试数学检测试卷（附答案），共20页。试卷主要包含了填空题第1-6题每题4分，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知Cn2=15，则n＝ ．
2．设k∈R，若圆x2+y2﹣2x+4y+k＝0的半径为2，则k的值为 ．
3．第33届夏季奥林匹克运动会女子10米跳台跳水决赛中，全红禅以425.60分的高分拿下冠军．下面统计某社团一位运动员10次跳台跳水的训练成绩：68，80，74，63，66，84，78，66，70，76，则这组数据的60%分位数为 ．
4．若双曲线经过点P（4，3），它的一条渐近线方程为y=12x，则双曲线的标准方程为 ．
5．如果将一枚质地均匀的硬币连续抛掷10次，那么第9次出现反面朝上的概率是 ．
6．已知随机变量X～B（n，p），若E[X]＝30，D[X]＝20，则p＝ ．
7．（5分）若直线2x+y﹣3＝0与直线4x+2y+a＝0之间的距离为52，则实数a的值为 ．
8．（5分）某校面向高二全体学生共开设3门体育类选修课，每人限选一门．已知这三门体育类选修课的选修人数之比为6：3：1，考核优秀率分别为20%，10%和12%，现从该年级所有选择体育类选修课的同学中任取一名，其成绩是优秀的概率为 ．
9．（5分）在四面体P﹣ABC中，若底面ABC的一个法向量n→=(1，1，0)，且CP→=(2，2，−1)，则定点P到底面ABC的距离为 ．
10．（5分）将一个半径为1的球形石材加工成一个圆柱形摆件，则该圆柱形摆件侧面积的最大值为 ．
11．（5分）已知双曲线E：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左，右焦点分别为F1，F2，过左焦点F1作直线l与双曲线交于A，B两点（B在第一象限），若线段AB的中垂线经过点F2，且点F2到直线l的距离为5a，则双曲线的离心率为 ．
12．（5分）已知函数f(x)=xex+e−e2，x≤0−2+x2，x＞0，点M、N是函数y＝f（x）图象上不同的两个点，设O为坐标原点，则tan∠MON的取值范围是 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分）每题有且只有一个正确答案，第13，14题选对得4分，第15，16题选对得5分，否则一律得零分。
13．已知下列两个命题，命题甲：平面α与平面β相交；命题乙：相交直线l，m都在平面α内，并且都不在平面β内，直线l，m中至少有一条与平面β相交．则甲是乙的（ ）
A．充分且必要条件
B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
14．2016年1月某校高三年级1600名学生参加了教育局组织的期末统考，已知数学考试成绩X～N（100，σ2）（试卷满分为150分）．统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的34，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为（ ）
A．80B．100C．120D．200
15．（5分）已知函数y＝f（x），其导函数y＝f′（x）的图像如图所示．如图四个选项中，可能表示函数y＝f（x）图像的是（ ）
A．B．
C．D．
16．（5分）在平面上，若曲线Γ具有如下性质：存在点M，使得对于任意点P∈Γ，都有Q∈Γ使得|PM|•|QM|＝1．则称这条曲线为“自相关曲线”．判断下列两个命题的真假（ ）
①所有椭圆都是“自相关曲线”．
②存在是“自相关曲线”的双曲线．
A．①假命题；②真命题B．①真命题；②假命题
C．①真命题；②真命题D．①假命题；②假命题
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17．（14分）如图所示圆锥P﹣O中，CD为底面的直径，A，B分别为母线PD与PC的中点，点E是底面圆周上一点，若∠DCE=30°，|AB|=2，圆锥的高为14．
（1）求圆锥的侧面积S；
（2）求证：AE与PC是异面直线，并求其所成角的大小．
18．（14分）设(2x+1)n=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn．
（1）若a0+a1+a2+⋯+an＝6561，求a3的值；
（2）若n＝8，求(a0+a2+⋯+a8)2−(a1+a3+⋯+a7)2的值；
（3）若n＝15，求a0，a1，⋯，an中的最大项．
19．（14分）某人准备应聘甲、乙两家公司的高级工程师，两家公司应聘程序都是：应聘者先进行三项专业技能测试，专业技能测试通过后进入面试．已知该应聘者应聘甲公司，每项专业技能测试通过的概率均为23，该应聘者应聘乙公司，三项专业技能测试通过的概率依次为56，23，m，其中0＜m＜1，技能测试是否通过相互独立．
（1）若该应聘者应聘乙公司三项专业技能测试恰好通过两项的概率为49，求m的值；
（2）已知甲、乙两家公司的招聘在同一时间进行，该应聘者只能应聘其中一家，应聘者以专业技能测试通过项目数的数学期望为决策依据，若该应聘者更有可能通过乙公司的技能测试，求m的取值范围．
20．（18分）已知m∈R，椭圆Γ：x22+y2=1，点F是该椭圆的右焦点，过点M（m，0）的直线l与椭圆Γ交于不同的A，B两点．
（1）当m＝0且l的斜率为1时，求|AB|；
（2）当m＝﹣1时，求FA→⋅FB→的取值范围；
（3）是否存在实数m（m≠1），使得对于任意的直线l、△ABF都不是直角三角形．若存在，求出所有满足条件的m；若不存在，请说明理由．
21．（18分）在平面直角坐标系中，如果将函数y＝f（x）的图象绕坐标原点逆时针旋转α(0＜α≤π2)后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称f（x）为“α旋转函数”．
（1）判断函数y=3x是否为“π6旋转函数”，并说明理由；
（2）已知函数f（x）＝ln（2x+1）（x＞0）是“α旋转函数”，求tanα的最大值；
（3）若函数g（x）＝m（x﹣1）ex﹣xlnx−x22是“π4旋转函数”，求m的取值范围．
【答案】
一．选择题（共4小题）
一、填空题（本大题共有12题，满分54分）第1-6题每题4分、第7-12题每题5分。
1．已知Cn2=15，则n＝ 6 ．
【分析】由组合的计算公式求解即可．
解：因为Cn2=15，所以n(n−1)2=15，所以n＝﹣5（舍）或n＝6，
所以n＝6．
故6．
【点评】本题主要考查组合数公式，属于基础题．
2．设k∈R，若圆x2+y2﹣2x+4y+k＝0的半径为2，则k的值为 1 ．
【分析】根据已知条件，结合配方法，即可求解．
解：圆x2+y2﹣2x+4y+k＝0，即（x﹣1）2+（y+2）2＝5﹣k，
圆x2+y2﹣2x+4y+k＝0的半径为2，
则5﹣k＝4，解得k＝1．
故1．
【点评】本题主要考查圆的一般方程，属于基础题．
3．第33届夏季奥林匹克运动会女子10米跳台跳水决赛中，全红禅以425.60分的高分拿下冠军．下面统计某社团一位运动员10次跳台跳水的训练成绩：68，80，74，63，66，84，78，66，70，76，则这组数据的60%分位数为 75 ．
【分析】根据已知条件，结合百分位数的定义，即可求解．
解：这组数据68，80，74，63，66，84，78，66，70，76，
从小到大排序可得：63，66，66，68，70，74，76，78，80，84，
由于10×60%＝6，
所以这组数据的60%分位数为74+762=75．
故75．
【点评】本题主要考查百分位数的定义，属于基础题．
4．若双曲线经过点P（4，3），它的一条渐近线方程为y=12x，则双曲线的标准方程为 y25−x220=1 ．
【分析】根据题意，双曲线的一条渐近线方程为y=12x，可设双曲线方程为x24−y2＝λ（λ≠0），又由双曲线过点P（4，3），将点P的坐标代入可得λ的值，进而可得答案．
解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为y=12x，
设双曲线方程为x24−y2＝λ（λ≠0），
∵双曲线过点P（4，3），
∴424−32＝λ，即λ＝﹣5．
∴所求双曲线方程为y25−x220=1．
故y25−x220=1．
【点评】本题考查双曲线的标准方程的求法，需要学生熟练掌握已知渐近线方程时，如何设出双曲线的标准方程．
5．如果将一枚质地均匀的硬币连续抛掷10次，那么第9次出现反面朝上的概率是 12 ．
【分析】利用概率的概念求解．
解：由题意可知，抛掷一枚质地均匀的硬币，出现反面朝上的概率是12，
因为每次抛掷是相互独立的，
所以每一次抛掷出现反面朝上的概率都是12，
所以第9次出现反面朝上的概率是12．
故12．
【点评】本题主要考查了概率的概念，属于基础题．
6．已知随机变量X～B（n，p），若E[X]＝30，D[X]＝20，则p＝ 13 ．
【分析】根据二项分布的期望公式和方差公式求解．
解：因为随机变量X～B（n，p），
若E[X]＝30，D[X]＝20，则np=30np(1−p)=20，
解得n=90p=13，
所以p=13．
故13．
【点评】本题主要考查了二项分布的期望公式和方差公式，属于基础题．
7．（5分）若直线2x+y﹣3＝0与直线4x+2y+a＝0之间的距离为52，则实数a的值为 ﹣1或﹣11 ．
【分析】利用平行线间的距离公式求解即可．
解：直线2x+y﹣3＝0，即4x+2y﹣6＝0，
故52=|a−(−6)|42+22，解得a＝﹣1或a＝﹣11．
故﹣1或﹣11．
【点评】本题主要考查两平行线间距离公式的应用，属于基础题．
8．（5分）某校面向高二全体学生共开设3门体育类选修课，每人限选一门．已知这三门体育类选修课的选修人数之比为6：3：1，考核优秀率分别为20%，10%和12%，现从该年级所有选择体育类选修课的同学中任取一名，其成绩是优秀的概率为 0.162 ．
【分析】根据已知条件，结合全概率公式，即可求解．
解：这三门体育类选修课的选修人数之比为6：3：1，考核优秀率分别为20%，10%和12%，
则从该年级所有选择体育类选修课的同学中任取一名，其成绩是优秀的概率为610×20%+310×10%+110×12%=0.162．
故0.162．
【点评】本题主要考查全概率公式，属于基础题．
9．（5分）在四面体P﹣ABC中，若底面ABC的一个法向量n→=(1，1，0)，且CP→=(2，2，−1)，则定点P到底面ABC的距离为 22 ．
【分析】根据点到平面的距离的向量公式进行计算即可．
解：由平面ABC的一个法向量为n→=(1，1，0)，且CP→=(2，2，−1)，
可得定点P到底面ABC的距离d=|CP→⋅n→||n→|=42=22．
故22．
【点评】本题考查点到平面的距离求法，属基础题．
10．（5分）将一个半径为1的球形石材加工成一个圆柱形摆件，则该圆柱形摆件侧面积的最大值为 2π ．
【分析】设圆柱底面半径为r，高为h，则（12h）2+r2＝1，进而得到hr≤1，再结合圆柱的侧面积公式求解即可．
解：设圆柱底面半径为r，高为h，
则（12h）2+r2＝1，
所以2×12ℎ×r≤（12h）2+r2＝1，
即hr≤1，当且仅当12ℎ=r，即h=2，r=22时，等号成立，
所以该圆柱形摆件侧面积S＝2πrh≤2π，当且仅当h=2，r=22时，等号成立，
即该圆柱形摆件侧面积的最大值为2π．
故2π．
【点评】本题主要考查了圆柱的结构特征，考查了圆柱的侧面积公式，属于基础题．
11．（5分）已知双曲线E：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左，右焦点分别为F1，F2，过左焦点F1作直线l与双曲线交于A，B两点（B在第一象限），若线段AB的中垂线经过点F2，且点F2到直线l的距离为5a，则双曲线的离心率为 142 ．
【分析】根据题意，由双曲线的定义可得|AB|＝4a，再由勾股定理列出方程即可得到a，c的关系，进而求解结论．
解：设双曲线的半焦距为c，c＞0，
|BF2|＝|AF2|，根据题意得到|BF1|﹣|BF2|＝2a，
又|AF2|﹣|AF1|＝|BF2|﹣|AF1|＝2a，
故\AB|＝|BF1|﹣|AF1|＝4a，设AB的中点为C，
在ACF2中，|CF2|=5a，|AC|＝2a，
故|AF2|=(2a)2+(5a)2=3a，
则|AF1|＝a，|CF1|＝3a，
根据|CF1|2+|CF2|2＝|F1F2|2，
可知（3a）2+（5a）2＝（2c）2，
故7a2＝2c2，可得e=ca=142．
故142．
【点评】本题主要考查双曲线的性质应用，考查计算能力，属于中档题．
12．（5分）已知函数f(x)=xex+e−e2，x≤0−2+x2，x＞0，点M、N是函数y＝f（x）图象上不同的两个点，设O为坐标原点，则tan∠MON的取值范围是 (0，1+2e) ．
【分析】作出函数f（x）的图形，求出过原点且与函数f（x）（x≤0）的图象相切的直线的方程，以及函数f(x)=−2+x2(x＞0)的渐近线方程，结合两角差的正切公式，数形结合可得出tan∠MON的取值范围．
解：当x≤0时，f(x)=xex+e−e2，则f′(x)=1−xex+e＞0，函数f（x）在（﹣∞，0]上为增函数，
当x＞0时，由y=−2+x2＜0，得y2=2+x2(x＞0，y＜−2)，即y2﹣x2＝2，
作出函数f（x）的图象如下图所示：
设过原点且与函数f（x）（x≤0）的图象相切的直线的方程为y＝kx，切点为(x0，x0ex0+e−e2)，
则切线方程为y−x0ex0+e+e2=1−x0ex0+e(x−x0)，
将原点坐标代入切线方程得−x0ex0+e+e2=−(1−x0)x0ex0+e，
即x02ex0+e=e2，令函数g(x)=x2ex+e，其中x≤0，则g′(x)=2x−x2ex+e≤0，
函数g(x)=x2ex+e在（﹣∞，0]上单调递减，且g（﹣e）＝e2，
由g(x0)=x02ex0+e=e2，解得x0＝﹣e，则k=1−x0ex0+e=e+1，
而函数f(x)=−2+x2(x＞0)的渐近线方程为y＝﹣x，
设直线y＝﹣x与y＝（e+1）x的夹角为θ，设直线y＝（e+1）x的倾斜角为α，
则tanθ=tan(3π4−α)=tan3π4−tanα1+tan3π4tanα=−1−(e+1)1−(e+1)=1+2e，
结合图形可知，0＜tan∠MON＜1+2e．
故(0，1+2e)．
【点评】本题主要考查了曲线与方程的综合应用，利用两角差的正切公式以及数形结合思想求解，属于难题．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分）每题有且只有一个正确答案，第13，14题选对得4分，第15，16题选对得5分，否则一律得零分。
13．已知下列两个命题，命题甲：平面α与平面β相交；命题乙：相交直线l，m都在平面α内，并且都不在平面β内，直线l，m中至少有一条与平面β相交．则甲是乙的（ ）
A．充分且必要条件
B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】由面面间的相互关系得到：甲⇒乙，乙⇒甲，从而甲是乙的充要条件．
解：命题甲：平面α与平面β相交，
命题乙：相交直线l，m都在平面α内，并且都不在平面β内，直线l，m中至少有一条与平面β相交．
∴由面面间的相互关系得到：甲⇒乙，乙⇒甲
∴甲是乙的充要条件．
故选：A．
【点评】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的求法，考查空间中面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，属于基础题．
14．2016年1月某校高三年级1600名学生参加了教育局组织的期末统考，已知数学考试成绩X～N（100，σ2）（试卷满分为150分）．统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的34，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为（ ）
A．80B．100C．120D．200
【分析】利用正态分布曲线的对称性，确定成绩不低于120分的学生约为总人数的12×(1−34)=18，即可求得成此次考试成绩不低于120分的学生数．
解：∵成绩ξ～N（100，σ2），
∴其正态曲线关于直线x＝100对称，
又∵成绩在80分到120分之间的人数约占总人数的34，
由对称性知：成绩不低于120分的学生约为总人数的12×(1−34)=18，
∴此次考试成绩不低于120分的学生约有：18×1600＝200人．
故选：D．
【点评】本小题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．
15．（5分）已知函数y＝f（x），其导函数y＝f′（x）的图像如图所示．如图四个选项中，可能表示函数y＝f（x）图像的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由图象得当f'（x）≥0时，﹣1≤x≤1，根据导数的几何意义，即可得出答案．
解：由图象得当f'（x）≥0时，﹣1≤x≤1，且随着x的增加，导数值先增加后减少
∴f（x）在[﹣1，1]上单调递增，
且根据导数的几何意义得函数f（x）图象切线的斜率自左向右先增大后减小，故B正确．
故选：B．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和导数的几何意义，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
16．（5分）在平面上，若曲线Γ具有如下性质：存在点M，使得对于任意点P∈Γ，都有Q∈Γ使得|PM|•|QM|＝1．则称这条曲线为“自相关曲线”．判断下列两个命题的真假（ ）
①所有椭圆都是“自相关曲线”．
②存在是“自相关曲线”的双曲线．
A．①假命题；②真命题B．①真命题；②假命题
C．①真命题；②真命题D．①假命题；②假命题
【分析】由新定义求解曲线上任一点P到定点M距离的取值范围A，当任意x∈A，都有1x∈A时，曲线满足定义，结合椭圆与双曲线的性质判断．
解：对于①，不妨设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，M（m，0），
则椭圆上一点P到M距离为|PM|=(x−m)2+y2=(x−m)2+b2−b2a2x2=(1−b2a2)x2−2mx+m2+b2，−a≤x≤a，
当m＞a时，对称轴x=m1−b2a2＞a，可得|PM|∈[m﹣a，m+a]，
总存在m使得（m﹣a）（m+a）＝1，此时满足题意，故任意椭圆都是“自相关曲线”，故①正确，
对于②，对于给定的双曲线和点P，显然|PM|存在最小值，
而M横坐标趋近于无穷大时，|PM|趋近于无穷大，|PM|∈[m，+∞），
故不满足题意，不存在双曲线是“自相关曲线”，故②错误．
故选：B．
【点评】本题考查曲线与方程的关系，关键在于新定义的理解，转化为求曲线上任一点到定点M距离的取值范围，再结合椭圆与双曲线的性质判断即可，属于中档题．
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17．（14分）如图所示圆锥P﹣O中，CD为底面的直径，A，B分别为母线PD与PC的中点，点E是底面圆周上一点，若∠DCE=30°，|AB|=2，圆锥的高为14．
（1）求圆锥的侧面积S；
（2）求证：AE与PC是异面直线，并求其所成角的大小．
【分析】（1）根据圆锥的结构特征，求出底面半径r和母线长l，结合S＝πrl，即可得出答案；
（2）连接AE、EO、AO，可得AO∥PC，即可证明结论，可得∠EAO为异面直线AE与PC所成的角且∠EAO∈（0°，90°]，取OD的中点F，连接AF、EF，结合题意，分别求出|AF|=142，|EF|=62，|AE|=5，利用余弦定理，即可得出答案．
解：（1）设圆锥P﹣O底面半径为r，母线长为l，
∵CD为底面的直径，A，B分别为母线PD与PC的中点，
∴AB∥CD，|AB|=12|CD|＝r=2，
又圆锥的高为14，即|PO|=14，
∴l=(2)2+(14)2=4，
∴圆锥的侧面积S＝πrl＝42π；
（2）证明：连接AE、EO、AO，
∵A，O分别为PD与CD的中点，
∴AO∥PC，
又EA∩AO＝O，
∴AE与PC是异面直线，
∴∠EAO为异面直线AE与PC所成的角且∠EAO∈（0°，90°]，
由（1）得|AO|=12|CP|＝2，|OE|=2，
取OD的中点F，连接AF、EF，如图所示：
则|AF|=142，
∵∠DCE＝30°，则∠EOF＝60°，
∴|EF|＝|OE|•sin60°=62，
|AE|=|AF|2+|EF|2=(142)2+(62)2=5，
在△AEO中，由余弦定理得cs∠AEO=|EA|2+|AO|2−|EO|22|EA|⋅|AO|=5+4−22×5×2=7520，
∴异面直线AE与PC所成角的大小为arccs7520．
【点评】本题考查圆锥的结构特点和考查异面直线的夹角，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18．（14分）设(2x+1)n=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn．
（1）若a0+a1+a2+⋯+an＝6561，求a3的值；
（2）若n＝8，求(a0+a2+⋯+a8)2−(a1+a3+⋯+a7)2的值；
（3）若n＝15，求a0，a1，⋯，an中的最大项．
【分析】（1）直接令x＝1可求得n，进而求解结论；
（2）直接令x＝1和x＝﹣1进行求解即可．
（3）利用二项式的展开式和不等式组的解法求出结果．
解：因为(2x+1)n=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn．
（1）令x＝1可得：a0+a1+a2+⋯+an＝6561＝3n，可得n＝8；
故a3=C85•23•15＝448；
（2）n＝8，可得(2x+1)8=a0+a1x+a2x2+⋯+a8x8．
令x＝1可得：a0+a1+a2+⋯+a8＝6561，
令x＝﹣1可得：a0﹣a1+a2﹣a3⋯+a8＝1．
所以(a0+a2+⋯+a8)2−(a1+a3+⋯+a7)2=（a0+a1+a2+⋯+a8）（a0﹣a1+a2﹣a3⋯+a8）＝6561．
（3）根据二项式的展开式，设第r+1项的系数最大，
故C15r⋅215−r≥C15r−1⋅216−rC15r⋅215−r≥C15r+1⋅214−r，
解得293≤r≤323（r∈N+），
故r＝10，
故第11项最大．
【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
19．（14分）某人准备应聘甲、乙两家公司的高级工程师，两家公司应聘程序都是：应聘者先进行三项专业技能测试，专业技能测试通过后进入面试．已知该应聘者应聘甲公司，每项专业技能测试通过的概率均为23，该应聘者应聘乙公司，三项专业技能测试通过的概率依次为56，23，m，其中0＜m＜1，技能测试是否通过相互独立．
（1）若该应聘者应聘乙公司三项专业技能测试恰好通过两项的概率为49，求m的值；
（2）已知甲、乙两家公司的招聘在同一时间进行，该应聘者只能应聘其中一家，应聘者以专业技能测试通过项目数的数学期望为决策依据，若该应聘者更有可能通过乙公司的技能测试，求m的取值范围．
【分析】（1）利用独立事件和互斥事件的概率公式求解；
（2）分别记“该应聘者应聘甲，乙公司三项专业技能测试通过项目数为随机变量X，Y”，由题意可知，X～B（3，23），所以E（X）＝3×23=2，
Y的所有可能取值为0，1，2，3，求出对应的概率，进而求出E（Y），再令E（Y）＞E（X）即可求出m的取值范围．
解：（1）因为应聘者应聘乙公司，三项专业技能测试通过的概率依次为56，23，m，
所以该应聘者应聘乙公司三项专业技能测试恰好通过两项的概率P=56×23×（1﹣m）+56×（1−23）m+（1−56）×23×m=49，
解得m=23；
（2）分别记“该应聘者应聘甲，乙公司三项专业技能测试通过项目数为随机变量X，Y”，
由题意可知，X～B（3，23），
所以E（X）＝3×23=2，
Y的所有可能取值为0，1，2，3，
则P（Y＝0）=16×13×(1−m)=1−m18，
P（Y＝1）=56×13×(1−m)+16×23×(1−m)+16×13×m=7−6m18，
P（Y＝2）=56×23×（1﹣m）+56×13×m+16×23×m=10−3m18，
P（Y＝3）=56×23×m=5m9，
所以E（Y）＝0×1−m18+1×7−6m18+2×10−3m18+3×5m9=2m+32，
因为E（Y）＞E（X），
所以2m+32＞2，
解得m＞12，
又因为0＜m＜1，所以12＜m＜1，
即m的取值范围为（12，1）．
【点评】本题主要考查了独立事件和互斥事件的概率公式，考查了离散型随机变量的期望，属于中档题．
20．（18分）已知m∈R，椭圆Γ：x22+y2=1，点F是该椭圆的右焦点，过点M（m，0）的直线l与椭圆Γ交于不同的A，B两点．
（1）当m＝0且l的斜率为1时，求|AB|；
（2）当m＝﹣1时，求FA→⋅FB→的取值范围；
（3）是否存在实数m（m≠1），使得对于任意的直线l、△ABF都不是直角三角形．若存在，求出所有满足条件的m；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由题意，利用l与椭圆联立得A，B两点坐标，再求|AB|的值，即可求解；
（2）设出直线l方程，与椭圆Γ联立得韦达定理，由FA→⋅FB→=x1x2−(x1+x2)+y1y2，代入x1x2，x1+x2，y1y2，得到关于t的式子，即可求解；
（3）设直线AB的方程为x＝ky+m，联立方程组得到y1+y2，y1y2，结合FA→⋅FB→=0不成立，得出方程﹣k2+3m2﹣4m＝0无解，进而求得实数m的取值范围．
解：（1）由椭圆Γ：x22+y2=1，可得a2＝2，b2＝1，则c=a2−b2=1，所以F（1，0），
当m＝0时，直线l：y＝x，
联立方程组y=xx22+y2=1，解得A(63，63)，B(−63，−63)，则|AB|=433．
（2）当l斜率为0时，由A(−2，0)，B(2，0)，可得FA→⋅FB→=−1，
当l斜率不存在时，由A(−1，22)，B(−1，−22)，可得FA→⋅FB→=72，
当l斜率存在时，设直线方程为y＝k（x+1），
联立方程组y=k(x+1)x22+y2=1，整理得（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则Δ＝（4k2）2﹣4（2k2+1）（2k2﹣2）＞0，
且x1+x2=−4k22k2+1，x1x2=2k2−22k2+1，
由FA→=(x1−1，y1)，FB→=(x2−1，y2)，
则FA→⋅FB→=x1x2−(x1+x2)+y1y2+1=x1x2−(x1+x2)+1+k(x1+1)⋅k(x2+1)
=(k2+1)x1x2+(k2−1)(x1+x2)+k2+1
=(k2+1)⋅2k2−22k2+1−(k2−1)⋅4k22k2+1+k2+1=7k2−12k2+1，
令t＝2k2+1，可得k2=t−12且t≥1，则7k2−12k2+1=72t−92t=72−92t∈[−1，72)，
综上可得，FA→⋅FB→的取值范围为[−1，72]．
（3）设直线AB的方程为x＝ky+m，
联立方程组x=ky+mx22+y2=1，整理得（k2+2）y2+2kmy+m2﹣2＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则Δ＝（2km）2﹣4（k2+2）（m2﹣2）＞0，
且y1+y2=−2kmk2+2，y1y2=m2−2k2+2，
设T=FA→⋅FB→=(x1−1，y1)⋅(x2−1，y2)=x1x2+y1y2−(x1+x2)+1，
因为x1+x2＝k（y1+y2）+2m，x1x2=k2y1y2+mk(y1+y2)+m2，
所以T=(k2+1)y1y2+k(m−1)(y1+y2)+(m−1)2
=(k2+1)m2−2k2+2−k(m−1)⋅2kmk2+2+(m−1)2=−k2+3m2−4mk2+2，
要使得△ABF都不是直角三角形，只需FA→⋅FB→=0不成立，
即方程﹣k2+3m2﹣4m＝0无解，即k2＝3m2﹣4m无解，
所以3m2﹣4m＜0，解得0＜m＜43，
又因为m≠1，所以实数m的取值范围为(0，1)∪(1，43)．
【点评】本题主要考查直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于难题．
21．（18分）在平面直角坐标系中，如果将函数y＝f（x）的图象绕坐标原点逆时针旋转α(0＜α≤π2)后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称f（x）为“α旋转函数”．
（1）判断函数y=3x是否为“π6旋转函数”，并说明理由；
（2）已知函数f（x）＝ln（2x+1）（x＞0）是“α旋转函数”，求tanα的最大值；
（3）若函数g（x）＝m（x﹣1）ex﹣xlnx−x22是“π4旋转函数”，求m的取值范围．
【分析】（1）利用“α旋转函数”的定义判断即可；
（2）由题意可得函数f（x）＝ln（2x+1）（x＞0）与函数y＝kx+b的图象最多有1个交点，且k=tan(π2−α)，等价转化为函数y＝ln（2x+1）﹣kx在（0，+∞）上单调，求导，利用导数及参变量分离法可求解k的范围，从而可得tanα的最大值；
（3）由题意可得函数g（x）与函数y＝x+b的图象最多有1个交点，等价转化为y=m(x−1)ex−xlnx−x22−x在（0，+∞）上单调，分析可得y′≥0恒成立，参变量分离，构造新函数，利用导数求最值，即可求解m的取值范围．
解：（1）函数y=3x不是“π6旋转函数”，理由如下：
y=3x逆时针旋转π6后与y轴重合，
当x＝0时，有无数个y与之对应，与函数的概念矛盾，
因此函数y=3x不是“π6旋转函数”．
（2）由题意可得函数f（x）＝ln（2x+1）（x＞0）与函数y＝kx+b最多有1个交点，且k=tan(π2−α)，
即ln（2x+1）＝kx+b（x＞0）最多有一个根，
⇒ln（2x+1）﹣kx＝b（x＞0），
即函数y＝ln（2x+1）﹣kx（x＞0）与函数y＝b（b∈R）的图象最多有1个交点，
即函数y＝ln（2x+1）﹣kx在（0，+∞）上单调，
y′=22x+1−k，
因为x＞0，22x+1∈(0，2)，所以y′=22x+1−k≤0，k≥22x+1，所以k≥2，
即tan(π2−α)≥2，tanα≤12，即tanα的最大值为12．
（3）由题意可得函数g(x)=m(x−1)ex−xlnx−x22与函数y＝x+b的图象最多有1个交点，
即m(x−1)ex−xlnx−x22=x+b⇒m(x−1)ex−xlnx−x22−x=b，
即函数y=m(x−1)ex−xlnx−x22−x与函数y＝b最多有1个交点，
即函数y=m(x−1)ex−xlnx−x22−x在（0，+∞）上单调，
y'＝mxex﹣lnx﹣x﹣2，当x→0时，y'→+∞，
所以y′≥0⇒m≥(lnx+x+2xex)max，
令φ(x)=lnx+x+2xex，则φ′(x)=(x+1)(−lnx−x−1)x2ex，
因为t＝﹣lnx﹣x﹣1在（0，+∞）上单调递减，且t(14)＞0，t（1）＜0，
所以存在x0∈(14，1)，使t（x0）＝0，即1nx0+x0=−1⇒ln(x0⋅ex0)=−1⇒x0⋅ex0=1e，
所以φ（x）在（0，x0）单调递增，在（x0，+∞）单调递减，
所以φmax(x)=φ(x0)=lnx0+x0+2x0ex0=1x0ex0=e，
即m≥e，所以m的取值范围是[e，+∞）．
【点评】本题主要考查函数的新定义，利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于难题．题号
13
14
15
16
答案
A
D
B
B