湖南省衡阳市衡阳县2024-2025学年高一下学期期中考试数学检测试题（附答案）

这是一份湖南省衡阳市衡阳县2024-2025学年高一下学期期中考试数学检测试题（附答案），共12页。试卷主要包含了已知向量＝，＝，则3＋＝，已知复数，以下说法不正确的是，函数f＝lg2的定义域是，已知函数，下列说法正确的有，已知向量，的夹角为，且等内容，欢迎下载使用。
1．已知向量＝(－1，2)，＝(1，1)，则3＋＝( )
A.(-2，7) B.(2，7) C.(－2，－5) D.(2，－5)
2．已知复数，以下说法不正确的是（ ）
A．的实部是5 B．在复平面内对应的点在第一象限C． D．
3．下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）．
A．，B．，
C．，D．，
4．函数f(x)＝lg2(x－1)的定义域是( )
A.(1，＋∞) B.[1，＋∞) C.(－∞，1) D.(－∞，1]
5.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，异面直线A1C1与BC所成的角是( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
6．已知函数（，，）的部分图象如图所示，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
7．若球O被一个平面所截,所得截面的面积为,且球心O到该截面的距离为2,则球O的表面积是( )
A.B.C.D.
8．如图，已知正方体的棱长为3，点分别在棱上，满足，点在正方体的面内，且平面，则线段长度的最小值为（ ）
A． B．3
C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．下列说法正确的有( )
A.“，使得”的否定是“，都有”
B.已知x>0，则x＋16x的最小值为8
C.若，则“”的充要条件是“”
D.若命题“”为假命题，则实数m的取值范围是
10．在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫，于1996年被收入世界文化遗产名录．现测量一个的屋顶，得到圆锥（其中为顶点，为底面圆心），母线的长为10m，底面半径OA长为6m．下面说法正确的是（ ）
A．圆锥SO的高为8m B．圆锥SO的侧面积为
C．圆锥SO的体积为D．圆锥SO外接球的表面积为
11．如图.为内任意一点，角的对边分别为，总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命题的有（ ）
A．若是的重心，则有
B．若成立，则是的内心
C．若，则
D．若是的外心，，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知幂函数f(x)＝xα的图象过点(2，4)，则f(2)＝______.
13.在中，P为线段AB上一点，则，若，，，且与的夹角为，则的值为 .
14．已知函数，则 .
解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．已知向量，的夹角为，且．
(1)求；
(2)若，求的值。
16．已知角终边上的一点.
（1）求的值； （2）求的值.
17.在中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，的面积为S，且.
(1)求角C的大小；
(2)若，且当时，取得最大值b，试求S的值.
18.如图，在三棱锥中，底面ABC，点D，E，F，N分别为棱PA，PC，AB，BC的中点，M是线段AD的中点，，.
（1）求证：平面MNF；
（2）求三棱锥的体积.
19.某动力电池生产企业为提高产能，计划投入7200万元购买一批智能工业机器人，使用该批智能机器人后前年的维护成本为万元，每年电池销售收入为7600万元，设使用该批智能机器人后前x年的总盈利额为y万元
(1)写出y关于x的函数关系式，并求该电池生产企业从第几年开始盈利；
(2)使用若干年后对该批智能机器人处理方案有两种
方案一：当总盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以2000万价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以5200万元的价格处理
问哪种方案更合理？并说明理由。
高一数学答案
1.答案：A 2.【正确答案】B
3．【正确答案】B
【分析】不共线的非零向量可以作为向量的基底.
【详解】因为与不共线，其余选项中、均共线，所以B选项中的两向量可以作为基底．
答案：A
5.答案：B
6．【正确答案】C
【分析】结合三角函数的图象，依次利用最值、周期、点在图象上求得，从而得解.
【详解】依题意，由图象中最值可知，
周期满足，又，则，故，
所以，又点在的图象上，
所以，即，
所以，即，
而，所以，所以.
7．答案：C
解析：因为球的一截面的面积为,所以截面圆的半径为,又因为球心到该截面的距离为2,所以球的半径为,所以球的表面积为.
8．【正确答案】D
【分析】在上取点，使得，证得平面平面，得到点的轨迹为线段，在等腰三角形中，求得底边上的高，即可求解.
【详解】在上取点，使得，
分别连结，
因为，可得，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
由且，可得，
又由且，所以，
在正方体中，可得，所以
因为平面，且平面，所以平面，
同理可证平面，
又因为，且平面，所以平面平面，
因此点的轨迹为线段，
在等腰三角形中，，
可得底边上的高为，此即为长度的最小值.
故选：D.
9．答案：ABD
解析：对于A，“，使得”的否定是“，都有”，故A正确；对于B，，当且仅当，即时等号成立，故B正确.
对于C，若，则由不能推出，故“”不是“”的充要条件，故C错误；
对于D，若命题“”为假命题，则无实根，
则，得，则实数m的取值范围是，故D正确；
10．【正确答案】ABD
【详解】对A,母线的长为10m，底面半径OA长为6m，圆锥SO的高为，A选项正确；
对B,圆锥SO的侧面积，B选项正确；
对CD,设圆锥SO的外接球半径为，则，解得，
所以圆锥SO外接球的表面积为，D选项正确，
11．【正确答案】AB
【分析】对于A：利用重心的性质，代入即可；
对于B：利用三角形的面积公式结合与可知点到的距离相等.
对于C：利用将表示出来，代入，化简即可表示出的关系式，用将表示出来即可得处其比值.
对于D：利用三角形的圆心角为圆周角的两倍，再将两边平方，化简可得，结合的取值范围可得出答案.
【详解】对于A：如图所示：因为分别为的中点，
所以，，
同理可得、，所以，
又因为，所以.正确；
对于B：记点到的距离分别为，，
因为，
则，
即，
又因为，所以，所以点是的内心，正确；
对于C：因为，
所以，所以，
所以，
所以，
化简得：，
又因为不共线，
所以，所以，
所以，错误；
对于D：因为是的外心，，所以,，
所以，
因为，则，
化简得：，由题意知同时为负，
记，，则，
因为，所以，
所以，
所以，错误.
故AB.
12.答案：2
解析：幂函数f(x)＝xα的图象过点(2，4)，则2α＝4，解得α＝2，所以f(x)＝x2，所以f(2)＝(2)2＝2.
13.【正确答案】-3
【分析】利用向量线性运算及平面向量基本定理，用表示与，然后利用数量积的运算律求解即可
【详解】因为，所以，
所以
，
即，
14．【正确答案】42
【分析】计算为定值即可发现规律并求解.
【详解】，
15．【正确答案】(1)； (2)或3.
【详解】（1）由向量，的夹角为，且，得.
（2）由（1）知，，由，得，即，
整理得，解得或，
所以的值是或3.
16．【正确答案】（1）（2）
（1）先求，把所求式子化简，转化为含有的式子求解；
（2）构造齐次分式，同除，转化为含有的式子求解.
【详解】（1）
原式.
法一：原式
法二：原式=
本题主要考查同角基本关系及诱导公式，已知正切值求解时，注意齐次式的处理方法，侧重考查数学运算的核心素养.
17.答案：(1) (2)
解析：(1)由已知得，
即，又因为，所以.
(2).
当（），即（）时，.
又因为，所以，，
故，，，所以.
18.解析：（1）D，E分别是PA，PC中点，，
同理，，
又平面MNF，平面MNF，平面MNF；
（2）底面ABC，平面ABC，
，，，PA，平面PAB，
平面PAB，
由（1）知FN//AC，平面PAB，点N到平面PAB的距离为，
，三棱锥的体积为.
19.答案：(1)该企业从第2年开始盈利；理由见解析
(2)方案二更合理；理由见解析
解析：(1)由题意可得

由得且. 该企业从第2年开始盈利
(2)方案二更合理，理由如下：
方案一： 当时y取到最大值12800，
若此时处理掉智能机器人，总利润为万元
方案二：年平均盈利额万元
当且仅当时，年平均盈利额最大
若此时处理掉智能机器人，总利润为万元
综上，两种方案总利润都是14800万元，但方案二仅需三年即可，故方案二更合理.