河南省新乡市长垣市2024-2025学年高一下学期期中数学检测试题（附答案）

这是一份河南省新乡市长垣市2024-2025学年高一下学期期中数学检测试题（附答案），共10页。试卷主要包含了复数在复平面内对应的点位于，已知，复数，则，在中，，则，中，角所对的边分别为，若，则，已知向量，且，则，若，且，则的值为，已知复数，则下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.已知，复数，则（ ）
A. B.1 C.0 D.2
3.在中，，则（ ）
A. B.3 C. D.
4.如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是（ ）
A. B.1 C. D.
5.中，角所对的边分别为，若，则（ ）
A. B. C. D.或
6.已知向量，且，则（ ）
A.18 B.2 C. D.
7.若，且，则的值为（ ）
A.1 B. C.或0 D.或1
8.已知两个单位向量满足，则的夹角为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A.的虚部是 B.的共轭复数是
C. D.
10.在中，角的对边分别为，则下列结论正确的是（ ）
A.若，则有两解
B.若，则是钝角三角形
C.若为锐角三角形，则
D.若，则的最小值为6
11.如图，在正方体中，分别是棱的中点，则（ ）
A.平面 B.平面
C.点在平面内 D.点在平面内
二､填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.
12.已知平面向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为__________.
13.若复数是纯虚数，则__________.
14.某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图所示，该几何体为上、下底面周长分别为的正四棱台，若棱台的高为，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为__________.
三､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知与的夹角.
（1）求；
（2）若与共线，求的值.
16.（15分）若复数满足，其中为虚数单位，其共轭复数为.
（1）求复数和；
（2）若，求实数的值.
17.（15分）已知的内角的对边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若的面积为，求的周长和外接圆的面积；
18.（17分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，分别是棱的中点
（1）证明：；
（2）证明：平面.
19.（17分）如图所示，在直三棱柱中，，且.
（1）求证：平面平面；
（2）若是的中点，求三棱锥的体积.
数学答案
1.【正确答案】B 【详解】因为，所以在复平面内对应的点位于第二象限.故选：B.
2.【正确答案】D 【详解】：因为，所以，即.故选D.
3.【正确答案】C 【详解】因为，所以故选：C.
4.【正确答案】A 【详解】利用斜二测画法的定义，画出原图形，
由是等腰直角三角形，，
斜边，得，
因此，
所以原平面图形的面积是.故选：A
5.【正确答案】A 【详解】由题意，在中，则，所以，因为，所以或，又，所以.故选：A
6.【正确答案】D 【详解】.故选D.
7.【正确答案】C 【详解】由题设，由题，得，解得或.故选：C.
8.【正确答案】B 【详解】，两边同平方有，即，解得，则，又因为，所以.
9.【正确答案】BD 【详解】复数的虚部为1，故A错误；的共轭复数是，故B正确；，故C错误；因为，所以，故D正确；故选：BD
10.【正确答案】ABC
11.【正确答案】BD 【详解】连接，
在正方体中，且，
所以四边形是平行四边形，所以，
因为平面平面，
所以平面，故B正确.
因为分别为中点，所以，所以，
所以四点共面，即点在平面内，故D正确；
再连接，显然不在平面内，所以与平面不平行，故A错误；
由平面，可知点不在平面内，故C错误.
故选：BD.
12.
13.【正确答案】 【详解】，
因为是纯虚数，所以，解得.故
14.【正确答案】193
【详解】由题意可知，该四棱台的上，下底面边长分别为，故该香料收纳罐的容积为.故193.
15.【详解】（1），
（2）与共线，
存在唯一实数，使得
即，
又与不共线，，解得
16.【正确答案】（1）；（2）.
【详解】（1）由，得.
（2）由（1）知，，则，
由，得，所以.
17.【详解】（1）由，由正弦定理得，
从而有，则，
由；
（2）因为，所以，
由余弦定理得：，
即，解得，
所以周长为，
设外接圆半径为，由，得，
所以外接圆面积.
18.【正确答案】解：（1）连接交于点，因为四边形是菱形，所以，
因为平面平面，所以，
因为平面，
所以平面，又平面，
所以.
（2）连接，因为四边形是菱形，所以点为中点，
又分别是棱的中点，
所以，
因为平面平面，
所以平面，同理可得平面，
因为平面，且，
所以平面平面，又平面，
所以平面.
19.【正确答案】解：（1）证明：因为三棱柱是直三棱柱，
所以平面，
因为平面，
所以，
因为平面，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面.
（2）由（1）知，平面，
所以是三棱锥的底面上的高，
因为，
所以，
因为是的中点，
所以，
因为三棱锥的体积等于三棱锥的体积，
所以三棱锥的体积.