河北省衡水市武强中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题（含解析）

这是一份河北省衡水市武强中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分)
1．若，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数，则 （ ）
A．1B．C．D．2
3．在△ABC中，，，所对的边分别为a，b，c，其中，，，则（ ）
A． B．C． D．
4．要得到的图象，需要将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
5．在△ABC中，点D在线段BC上，且，E是线段AB的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
6．在△ABC中，角所对的边分别是，已知，则△ABC的形状为（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形
C．锐角三角形D．钝角三角形
7．已知，向量，且，则（ ）
A．B．C． D．
8．在△ABC中，，是的中点，与交于点，若，则（ ）
A．B．C．D．1
二、多选题(本题共3小题,每小题6分,共18分,全部选对得6分,部分选对得部分分,有选错得0分)
9． 中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
10．下列命题中的真命题是（ ）
A．若为非零向量，则与同向
B．若，则与的夹角为钝角
C．若，，则
D．的充要条件是且
11．三角形的三边所对的角为，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若△ABC面积为，则△ABC周长的最小值为12
C．当，时，
D．若，，则△ABC面积为
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12．已知单位向量，的夹角为，则 .
13．已知，则的值为 ．
14．若复数是纯虚数，则实数 ．
四、解答题(本题共5小题,共77分)
15．(本小题13分)
已知，，且与夹角为求：
(1)；
(2)与的夹角．
16．(本小题15分)
在△ABC中，内角所对的边分别为，，，已知已知.
(1)求角的大小；
(2)若，，求的值；
(3)若，判断的形状．
17．(本小题15分)
已知向量.
(1)当时，求实数的值；
(2)当时，求向量与的夹角的余弦值.
18．(本小题17分)
在△ABC中，．
(1)求及的值；
(2)若，求．
19．(本小题17分)
已知函数的最小值为1．
(1)求的值和的最小正周期；
(2)求在上的单调递增区间；
(3)若成立，求的取值范围．
《2025年3月25日高中数学作业》参考答案
1．B
【分析】利用两角差的正切公式可求得的值.
【详解】因为，则.
故选：B.
2．B
【分析】利用复数模的计算公式即可得到结果.
【详解】，
.
故选：B.
3．B
【分析】直接利用正弦定理可求解.
【详解】，，
，
由正弦定理得，
.
故选：B.
4．D
【分析】利用三角函数图象变换可得出结论.
【详解】因为，
为了得到的图象，需要将函数的图象向右平移个单位.
故选：D.
5．A
【分析】根据平面向量基本定理及线性运算求解即可.
【详解】因为，所以，
则.
故选：A.
6．A
【分析】由余弦定理代入整理得，进而得答案.
【详解】解:由余弦定理,
故代入边角互化得: ,整理得:
所以,故三角形为等腰三角形.
故选：A
【点睛】本题考查利用边角互化判断三角形形状，考查化归转化思想，是基础题.解题的关键在于边角互化.
7．C
【分析】利用二倍角公式结合向量平行求解即可.
【详解】法1：根据题意得，则有，变形可得，解得或．又，则必有．故选：C．
法2：选项验证法！
观察选项，当时，，不符合题意；
当时，，，不符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意．
故选:C．
8．A
【分析】利用向量的线性运算及三点共线求得，由此求得的值，即可得到结果.
【详解】
∵，∴，
∴.
∵A，P，D三点共线，∴.
∵，∴.
∵E是边AB的中点，∴.
∵E，P，F三点共线，∴，
∴，解得，，
∴，即，，故.
故选：A.
9．ABD
【解析】选项A，根据已知得到，再根据正弦定理即可得到三角形只有一解，故符合题意.选项，根据正弦定理得到，因为，所以只有一解.选项C，根据正弦定理得到，无解，不符合题意.选项D，根据正弦定理得到，，符合题意.
【详解】选项A，，，，又，
由正弦定理得：，只有一种情况，
此时三角形只有一解，故A符合题意.
选项B，，，，
由正弦定理：得：，
又，，只有一解，故B符合题意.
选项，，，，
由正弦定理得：，
无解，不符合题意.
选项D，，，；
由正弦定理：得，
此时 三角形只有一解，故D符合题意.
故选：.
【点睛】本题主要考查正弦定理中三角形解的个数问题，属于中档题.
10．AC
【分析】对于A，由共线向量的概念和单位向量的求法即可判断；对于B，考虑特殊情况与的夹角为即可判断；对于C，由相等向量的概念即可判断；对于D，由相等向量和共线向量的概念即可判断.
【详解】对于A，因为是个正数，所以与是同方向的单位向量，故A正确；
对于B，当与的夹角为时，，，故B错误；
对于C，由，得，的长度相等且方向相同；由，得，的长度相等且方向相同，
所以，的长度相等且方向相同，即，故C正确；
对于D，当且方向相反时，不成立，所以且不是的充要条件，故D 错误.
故选：AC.
11．ABD
【分析】由题意可得，选项A：利用正弦定理边角互化结合余弦定理即可求角的大小；选项B：由三角形面积和角可得，利用均值不等式求周长最小值即可；选项C：利用边角互化后得到的解即可；选项D：利用正弦定理求，然后后面积公式求解即可.
【详解】因为，
由题意可得，
整理得，
由正弦定理边角互化得，
又由余弦定理得，所以，A正确；
当时，，所以，当且仅当时等号成立，
所以，即，
所以，B正确；
由当，时，，解得，C错误；
由，得，由正弦定理得解得，
又因为，
所以，D正确；
故选：ABD.
12．
【分析】根据给定条件，利用数量积的定义及运算律计算即得.
【详解】由单位向量，的夹角为，得，
所以.
故答案为：
13．
【分析】根据，结合诱导公式可得结果.
【详解】∵，
∴.
故答案为：.
14．2
【分析】根据纯虚数实部为0虚部不为0，计算即可.
【详解】 由题意得解得．
故答案为：2.
15．(1)12；
(2).
【分析】（1）根据平面向量数量积的定义和运算性质进行求解即可；
（2）根据平面向量夹角公式，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可.
【详解】（1），，且与夹角为，
，，
，
；
（2），
，
，
设与的夹角为，
，
又，
所以，即与的夹角为．
16．(1)；
(2)；
(3)正三角形．
【分析】（1）利用余弦定理求出的大小作答.
（2）代入给定等式计算作答.
（3）根据已知条件可得，再结合（1）确定三角形的形状作答.
【详解】（1）在中，由及余弦定理得，而，
所以.
（2）由，及，得，
所以.
（3）由及，得，则，由（1）知，
所以为正三角形.
17．(1)1
(2)
【分析】（1）由垂直关系的向量坐标表示可解；
（2）由向量平行的坐标表示求出，再代入向量夹角公式可得.
【详解】（1）由题意可得，
因为，所以.
（2），
因为，所以，
所以，
所以，
即向量与的夹角的余弦值为.
18．(1)，
(2)
【分析】（1）利用三角形的内角范围与同角三角函数的平方关系，二倍角公式，结合两角和的正弦、余弦公式即可求解；
（2）利用三角形的内角之间关系及范围与同角三角函数的平方关系，两角和的余弦公式即可求解.
【详解】（1）在中，因为，又，
则，，
，
所以，
.
（2）在中，因为，则是锐角，
又，则，
因为，，则是锐角，
所以，
在中，，
所以
.
19．(1)，最小正周期
(2)
(3)
【分析】（1）利用二倍角公式与辅助角公式化简函数解析式，再根据最值待定的值与最小正周期；
（2）利用整体角代换求解函数单调区间即可；
（3）将有解问题转化为函数最值问题求解参数范围.
【详解】（1），
由题意，解得，的最小正周期．
（2）令，则．
因为的单调递增区间是，
由，得；
，得；
所以，在的单调递增区间是．
（3）由题意知，，即，
当时，，
所以当，即．
所以，即．
所以的取值范围是．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
B
D
A
A
C
A
ABD
AC
题号
11









答案
ABD