四川省绵阳市安州区2024-2025学年九年级下学期开学 数学试卷（解析版）

这是一份四川省绵阳市安州区2024-2025学年九年级下学期开学 数学试卷（解析版），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．
1. 下列语句不正确的是（ ）
A. 0的平方根是0B. 正数的两个平方根互为相反数
C. －22的平方根是±2D. a是a2的一个平方根
【答案】C
【解析】A.0的平方根是0，此选项不符合题意；
B.正数的两个平方根互为相反数，此选项不符合题意；
B.-22=-4，负数没有平方根，此选项符合题意；
D.a是a2的一个平方根，此选项正确．
故选C.
2. 最新数据显示，截至2024年8月底，全国脱贫人口务工就业总规模达到了约32950000人，这个数字代表了人们的生计改善．请将这个数字用科学记数法表示是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】，
故选：A．
3. 由几个大小相同的小正方体搭建而成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则搭建这个几何体所需要的小正方体的个数可能为（ ）
A. 5个B. 6个C. 5个或6个D. 6个或7个
【答案】C
【解析】结合主视图和俯视图可知，这个几何体共2层，底层有3个小正方体，第2层至少有2个小正方体，最多有3个小正方体，因此需要5个或6个小正方体，
故选：C．
4. 疫情期间，某商店连续7天销售口罩的盒数分别为10，12，14，13，12，12，11．关于这组数据，以下结论错误的是（ ）
A. 众数是12B. 平均数是12
C. 中位数是12D. 方差是
【答案】D
【解析】A.12出现了3次，出现的次数最多，则这组数据的众数是12，故本选项正确，不符合题意；
B.这组数据的平均数：＝12，故本选项正确，不符合题意；
C.把这些数从小到大排列为：10，11，12，12，12，13，14，中位数是12，故本选项正确，不符合题意；
D.方差是：×[（10﹣12）2＋（11﹣12）2＋3×（12﹣12）2＋（13﹣12）2＋（14﹣12）2]＝，故本选项错误，符合题意；
故选：D．
5. 一组同学参加植树活动，如果每人种5棵，还剩下3棵树苗；如果每人种6棵，缺少5棵树苗. 设共有名学生，树苗共有棵. 根据题意可列方程组（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设共有x名学生，树苗共有y棵．
根据题意可列方程组.
故选D.
6. 如图，圆锥的高与母线夹角为，则它的侧面展开图的圆心角的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设半径，圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为，
，
，
根据题意得，
解得，
即它的侧面展开图的圆心角的度数为，
故选：C．
7. 已知，一轮船以16海里时的速度从港口A出发向北偏东方向航行，另一轮船以8海里时的速度同时从港口A出发向南偏东方向航行，则离开港口1小时后，两船相距（ ）
A. 海里B. 海里C. 16海里D. 24海里
【答案】B
【解析】由题意可知，，
离开港口1小时后，两艘船分别行驶了16海里和8海里，
即，，
由勾股定理得：，
故两船相距海里，
故选B．
8. 如图，△ABD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，C为弧AD的中点，CH⊥AB于点E，交AD于点P，交⊙O于点H，连接DH，连接BC交AD于点F．下列结论中：①DH⊥CB；②CP＝PF；③CH＝AD；④AP•AD＝CF•CB；⑤若⊙O的半径为5，AF＝，则CH＝．正确的有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】C
【解析】∵C为弧AD的中点，
∴
∴∠H＝∠ABC，
∵CH⊥AB，
∴∠C+∠ABC＝90°，
∴∠H+∠C＝90°，
∴DH⊥BC，故①正确；
∵，
∴∠CBD＝∠ABC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BFD+∠DBF＝90°，
∴∠C＝∠BFD，
∵∠CFP＝∠DFB，
∴∠C＝∠CFP，
∴CP＝PF，故②正确；
∵AB为⊙O的直径，C为弧AD的中点，CH⊥AB，
∴，
∴，
∴CH＝AD；故③正确；
连接AC，BH，
则∠ACH＝∠CAD，
∴AP＝CP，
∵CH⊥AB，
∴，
∴BC＝BH，
∴∠BCH＝∠BHC，
∴∠CFP＝∠BHC，
∵∠PCF＝∠BCH，
∴△CPF∽△CBH，
∴，
∴PC•CH＝CF•CB，
∵PC＝AP，CH＝AD，
∴AP•AD＝CF•CB，故④正确；
∵∠CAF＝∠ABC，
又∵∠ACF＝∠BCA，
∴△CAF∽△CBA，
∴，
又∵AB＝10，
∴AC＝6，BC＝8．
根据直角三角形的面积公式，得：AC•BC＝AB•CE，
∴6×8＝10CE．
∴CE＝
又∵CH＝HE，
∴CH＝2CE＝．故⑤错误，
故选：C．
9. 求二次函数的最小值（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】C
【解析】，
，抛物线开口向上，
当时，的值最小为，
故选：C．
10. 如图，在正方形网格中，如果把三角形的顶点C先向右平移3格，再向上平移1格到达点，连接，则线段与线段的关系是（ ）
A. 垂直B. 相等C. 平分D. 平分且垂直
【答案】D
【解析】由平移可得把三角形先向右平移3格，再向上平移1格，
∴线段与线段的关系是平分且垂直，
故选：D
11. 如果关于x的不等式组至少有3个整数解，且关于y的分式方程的解是非负数，则符合条件的所有整数a的和是（ ）
A 20B. 18C. 16D. 14
【答案】C
【解析】解不等式，
得：，
∴原不等式组的解集为：，
∵原不等式组至少有3个整数解，
∴，
解分式方程，
得：，
∵，
∴，
解得：，
∵原分式方程的解是非负数，
∴，
解得：，
综上分析，a的范围是：且，
∴满足条件的整数a的和为：2+3+5+6=16，
故选：C．
12. 如图1，四边形中，，，．动点Ｐ从点Ｂ出发沿折线方向以单位秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，的面积与运动时间（秒）的函数图象如图所示，则等于（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】当时，点到达处，即；
过点作交于点，如图所示：

，，
，
，
则四边形为长方形，
，
，
，
，
，
当时，点到达点处，则，
则，
由勾股定理得，故B正确．
故选：B．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
13. 在实数范围因式分解：___________．
【答案】
【解析】
．
14. 若，，则=___________．
【答案】90
【解析】=，
故答案是：90．
15. 已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围为_________．
【答案】且
【解析】原式去分母，得，
去括号，得，
解得，
根据题意得，即且，
解得且．
故答案为：且．
16. 如图，，，，，，则这个图形的面积为______．
【答案】24
【解析】连接，在中，，
，
在中，
，
为直角三角形；
图形面积为：
故答案为：．
17. 如图，点A在x轴的正半轴上，函数的图像经过的顶点B和边AB上的点C，且，点B的横坐标为2，则点C的坐标是_____．

【答案】
【解析】分别过B，C作，，垂足为D，E，则，
∵点B在图象上，横坐标为2，
∴纵坐标为，即，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
则，即，代入，得，
解得：，即，
∴，
故答案为：．
18. 如图，在中，若，若，则的长为______．

【答案】
【解析】作角平分线，作

设，则
∵
∴，
∵
∴
∴
∵平分，
∴
∵
∴
∴，即
∴
∵
∴
∵
∴
解得：（舍去）
∴
故答案为：
三、计算题：本大题共1小题，共12分．
19. 某水果商店计划采购甲、乙两种水果，从批发市场了解得知，购进甲种水果2箱和乙种水果3箱共需270元；购进甲种水果3箱和乙种水果2箱共需230元．
（1）求甲、乙两种水果每箱的进价分别是多少元？
（2）据市场行情预测：甲种水果能以每箱40元出售，乙种水果能以每箱90元出售．为保证供应，需购进甲、乙两种水果共100箱，且甲种水果的数量不少于乙种水果数量的4倍，请你帮助店主求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．
解：（1）设甲种水果每箱的进价是x元，乙种水果每箱的进价是y元，
根据题意得：
，解得：，
答：甲、乙两种水果每箱的进价分别是30元、70元；
（2）设购进甲种水果m箱，则购进乙种水果（100-m）箱，
则利润为（40-30）m+（90-70）（100-m）=-10m+2000，
∵甲种水果的数量不少于乙种水果数量的4倍，
∴m≥4（100-m），解得m≥80，
当m=80时，-10m+2000取得最大值，即为-10×80+2000=1200，
∴100-m=20，
故当购进甲种水果80箱，乙种水果20箱时，获得最大利润，最大利润是1200元．
四、解答题：本题共6小题，共78分．
20. （1）
（2），再选一个合适的的值代入求值，其中且为整数．
解：（1）原式
；
（2）原式，
要是分式有意义，则，
，原式．
21. 为了提高学生的交通安全意识，某校九年级准备举行一次交通安全知识竞赛．比赛规则为：每班参赛选手男、女生各1名，最后以总分高低决定名次．九（1）班先进行选拔测试，然后分别取男、女生前5名的成绩（单位：分）进行对比分析，绘制成如下统计表：
（1）求的值；
（2）若从该班成绩不低于90分的学生中随机抽取2名参赛，求恰好抽到男、女生各1名的概率．
解：（1），
故m的值为90．
（2）从九（1）班成绩不低于90分（3男2女）的学生中随机抽取2名参赛，
画树状图：
共有20种等可能结果数，其中抽到男、女生各1名的结果数为12，
所以抽到男、女生各1名的概率＝＝．
22. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作，，垂足分别为E，F．AC平分．
（1）若，求的度数；
（2）求证：．
（1）解：，
，
，
，
平分，
，
四边形是平行四边形，
，
，
（2）证明：四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
．
23. 如图，已知反比例函数的图象经过点轴于点，点为轴正半轴上一点，连接．

（1）求反比例函数的表达式；
（2）请用无刻度的直尺和圆规，在轴正半轴上找一点，使得（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用铅笔作图）；
（3）在（2）的条件下，求证：．
（1）解：∵反比例函数的图象经过点，即，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：如图，点即为所求；

（3）证明：∵，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴．
24. （1）如图①，是的弦，直线l上有两点M、N，点P在上，则、、的大小关系为__________＜__________＜__________；
（2）如图②，已知点A、B的坐标分别是、，点C为x轴正半轴上一动点，当最大时，求出点C的坐标；
（3）如图③，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点D、C．点M为直线上一点且，为x轴上一条可移动的线段，，连接，点P为直线l上任意一点，连接．求当最小时，的最大值及此时点P的坐标．
解：（1）如图1，
设交于C，的延长线交于D，连接，
∵，
∴，
∵是的外角，
∴，
同理可得：，
∴，
故答案为：；
（2）如图2，
当过A、B两点的圆I与x轴相切时，最大，
∴，
连接，作于D，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，
由题意得：，
在y轴上取点，将其向右移动20个单位至，连接，交x轴于B，将点B向左移动20个单位得A，
则最小，
∵，
∴点，
设直线的解析式为，
把，代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为：，
由得，
∴点，
过A、B的圆I与相切于P时，最大，，
作于H，交于G，连接，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则
在中，由勾股定理得，，
∴，
∴（舍去），
∴，
∴，
∵，，
∴．
25. 如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，连接．

（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）设线段上的一个动点P的横坐标为t，过点P作直线轴，交抛物线于点N．是否存在点P，使得以三点为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点P的横坐标t；若不存在，请说明理由．
解：（1）把，，，代入得，
，
解得，
所以解析式为，
抛物线的顶点坐标为；
（2）存在，理由：
由题意可得，，，，
在线段上，
，，
①若，则，
由P的横坐标为t得，
解得：（舍），
②若，则，
得：，
解得：，
综上，当点P的横坐标或，以三点为顶点的三角形与相似．性别
前5名成绩
平均分
女
95
92
89
87
87
90
男
95
93
90
87
85