重庆市南川区三校联盟2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份重庆市南川区三校联盟2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷（解析版），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 若二次根式有意义，则取值范围为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】二次根式有意义，
，
解得：．
故选：．
2. 已知的三边分别是a、b、c，下列条件中不能判断为直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D. ，，
【答案】D
【解析】A、，，
，
，
为直角三角形，故A不符合题意；
B、，，
，
为直角三角形，故B不符合题意；
C、，
，
为直角三角形，故C不符合题意；
D、，，，
，
不是直角三角形，故D符合题意；
故选：D．
3. 如图，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】A、根据，，可能得出四边形可能是等腰梯形，不一定能推出四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
B、，，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，得出四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
C、∵，，四边形内角和为，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
D、，，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可以判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
故选：A．
4. 下列计算结果，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，符合题意；
C、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：B．
5. 如图，在中，，．将AB边与数轴重合，点A，点B对应的数分别为，2．以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可知，，
∵在中，，，
∴，
∴，
又∵点在点A的左边，点A表示的数为，
∴点表示的数为，
故选：D．
6. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，已知，则的大小是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵矩形的对角线，相交于点，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
7. 估计的值应该在（ ）
A. 6和7之间B. 7和8之间C. 8和9之间D. 9和10之间
【答案】B
【解析】，
，
，
，
，
故选：B．
8. 如图，在中，过对角线的中点作交、分别于、，为中点，若，，则长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】四边形是平行四边形，
，
，
为的中点，
，
在和中，
，
，
，
于点，
，
，
，
为中点，
，
故选：A．
9. 如图，在菱形中，对角线、交于点，、分别为、中点．若，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵菱形，
∴，，，
∵、分别为、中点．，，
∴是的中位线，，
∴，，
∴，，
∴，
∴；
故选：D．
10. 有依次排列的一列式子：小明对前两个式子进行操作时发现：根据操作，小明得出来下面几个结论：
①；
②对第个式子进行操作可得；
③前10个式子之和为；
④如果前个式子之和为，那么．
小明得出的结论中正确的有（ ）
A. ①②③B. ①③④C. ②③④D. ①②③④
【答案】D
【解析】根据规律可知，
，故①②都正确；
前10个式子之和为，故③正确；
如果前个式子之和为
则，故④正确；
故选：D．
二、填空题
11. ______．
【答案】1
【解析】
；
故答案为：1
12. 在平行四边形中，，则______．
【答案】
【解析】四边形是平行四边形，
，，，
又，
，
解得：，
；
故答案为：．
13. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，点在轴上，则点的坐标为______．
【答案】
【解析】连接，
点，，
，
四边形是矩形，
，点的坐标为，
故答案为：．
14. 若最简二次根式与可以合并，则______．
【答案】
【解析】∵最简二次根式与可以合并，
∴．．
故答案为：．
15. 如图，在中，，点是边的中点，，，则的长为______．
【答案】
【解析】∵点是斜边的中点，，
∴．
∵，，
∴，
故答案为：．
16. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，点E是BC的中点，连结DE，且AB＝6，AC＝10，则DE＝__．
【答案】2
【解析】延长BD交AC于F，
在△ADB和△ADF中，
，
∴△ADB≌△ADF（ASA）
∴AF＝AB＝6，BD＝DF，
∴FC＝AC﹣AF＝4，
∵BD＝DF，BE＝EC，
∴DEFC＝2，
故答案为：2．
17. 若实数使得关于的分式方程有正整数解，且二次根式有意义，则符合题意的整数的和是______．
【答案】
【解析】二次根式有意义，
，．
且．
，
去分母，得．
去括号，得．
移项，得．
关于的分式方程有正整数解，
，且是正整数且．
，且．
是整数，
或或．
符合题意的整数的和是．
故答案为：．
18. 对于一个各个数位上的数字均不为的三位自然数，将的各个数位上数字之和记为，若能被整除，则称是的“整和数”，最小的“整和数”为______ ；若三位数A是的“整和数”，、、分别是数A中某个数位上的数字，在、、任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为，最小的两位数记为，若为整数，则满足条件的数A的最大值为______．
【答案】；
【解析】三位自然数的各个数位上的数字均不为0，
最小的“整和数”为：111；
三位数A是15的“整和数”，、、分别是数A中某个数位上的数字，
，且数A的个位数字必为5，
设，则，
令，
，
为整数，
当时，，则；
当时，，不符合题意；
当时，，，则或285；
当时，，不符合题意；
则满足条件最大值为825．
故答案为：111，825．
三、解答题
19. 计算：
（1）；
（2）．
解：（1）原式；
（2）原式．
20. 先化简，再求值：，其中．
解：原式=，
把代入得：原式=．
21. 如图，四边形是矩形，连接交于点O，的平分线交于点E．
（1）尺规作图：作的角平分线交于点F，连接；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：四边形是平行四边形．
证明：∵四边形是矩形，
∴，，
∴ ，
∵平分，平分，
∴，
∴ ，
∵在和中，
，
∴ ，
∴ ，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
（1）解：如图，即为所求；
（2）证明：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
故答案为：；；；．
22. 四边形中，，，且，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求四边形的周长．
（1）证明：，，
，
在和中，
，
，
，，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴平行四边形的周长．
23. 如图，要在河边修一个水泵站，分别向A、B两村送水，已知A、B两村到江边的距离分别为和，且A、B两村相距．
（1）水泵站应修建在何处，可使所用水管最短，请在图中设计出水泵站P的位置；
（2）若铺设水管的费用为每千米4000元，为了使铺设水管费用最节省，请求出最节省铺设水管的费用为多少元？
解：（1）作点A关于河边所在直线的对称点，连接交直线于，则点为水泵站的位置，此时，的长度之和最短，即所铺设水管最短；
（2）过点作直线的垂线，过作直线的平行线，
设这两线交于点，则．过A作于，
依题意：，，
，
（负值已舍去），
由题意得：，
，，
，
（负值已舍去），
，，
（元）．
答：最节约铺设水管的费用为60000元．
24. 如图，平行四边形中，对角线，相交于点O，于点E，于点F，且．
（1）求证：四边形是矩形．
（1）证明：∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵，四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴在直角三角形中，，
∴．
25. 阅读下列材料并解决问题．
当时，比如，则，此时a的绝对值是它本身；
当时，，此时a绝对值是零；
当时，比如，则，此时a的绝对值是它的相反数．由此可知：一个数的绝对值要分三种情况讨论，即：
，
在此分析的过程中，主要渗透了数学分类讨论思想．
问题解决：
（1）请仿照上述分类讨论的方法，分析二次根式的各种可能；
（2）猜想：与的大小关系；
（3）当x满足什么条件时，．
解：（1）当时，；
当时，，
当时，，
即；
（2）由题意及（1）得，
；
（3）有意义，
，
，
，
即，
解得，
即当满足时，．
26. 如图，正方形中，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交、或它们的延长线于点、．
（1）当绕点A旋转到时如图，证明：；
（2）绕点A旋转到时如图，求证：；
（3）当绕点A旋转到如图位置时，线段、和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．
证明：（1）如图，
∵把绕点A顺时针旋转，得到，
≌，
，，
四边形是正方形，
，
，
点、、三点共线．
，
又，
在与中，，
≌，，
，
，
，．
（2）如图，
把绕点A顺时针旋转，得到，
≌，
，，
四边形是正方形，
，
，
点、、三点共线．
，
又，
在与中，
，
≌，
，
，
．
（3）．理由如下：如图，在线段上截取连接，
在与中，
，
≌，
，
．
在和中，
，
≌，
，
．