福建省莆田市仙游华侨中学2024−2025学年高一下学期3月月考数学试卷（含解析）

这是一份福建省莆田市仙游华侨中学2024−2025学年高一下学期3月月考数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．下列说法正确的是（ ）
A．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C．若，，则
D．向量与向量的长度相等
2．已知向量，，，则（ ）
A．6B．4C．-6D．-4
3．已知向量，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．在中，已知，且，则的形状为（ ）
A．直角三角形B．等腰直角三角形
C．有一个角为的直角三角形D．等边三角形
5．若向量，，则与的夹角等于（ ）
A．B．C．D．
6．在边长为2的正方形中，是的中点，点在线段上运动，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在中，是的中点，是的中点，过点作直线分别交于点，，且，则的最小值为（ ）

A．1B．2C．4D．
8．设向量与的夹角为，定义，已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知向量都是单位向量，，则（ ）
A．=B．=
C．=D．与共线
10．下列结论错误的是（ ）
A．单位向量都相等
B．，能作为平面向量的一组基底
C．在边长为1的等边中，
D．两个非零向量，若，则与共线且反向
11．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A．O为点A，B，C所在直线外一点，且，则
B．已知非零向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
C．已知向量，则在上的投影向量的坐标为
D．若点G为△的外心，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知向量的夹角为，且，则 .
13．已知a、b、c分别为的三个内角A、B、C的对边，，且，则面积的最大值为 ．
14．如图所示，小明在D处观测到A岛屿和B岛屿分别在D处的北偏西15°和北偏东45°方向，再往正东方向行驶20海里至C处，观测到B岛屿在C处的正北方向，A岛屿在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为 海里.

四、解答题（本大题共5小题）
15．已知非零向量，满足，且，.
(1)求的值；
(2)设与的夹角为，求及的值.
16．已知在中，A+B=3C,2sinA-C=sinB．
(1)求；
(2)设，求边上的高．
17．记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，
(1)求B；
(2)若的面积为，求c．
18．在中，，．
（1）求；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长．
条件①：；
条件②：的周长为；
条件③：的面积为；
19．在锐角中，角所对的边分别为，且.
(1)求；
(2)若，求周长的取值范围.
参考答案
1．【答案】D
【详解】单位向量是指模等于的向量.若两个单位向量平行，它们的方向可能相同或相反.当方向相反时，这两个单位向量并不相等.所以A选项错误.
两个有共同起点且长度相等的向量，它们的方向不一定相同.向量由大小和方向共同决定，方向不同时，终点也不同.比如，以原点为起点，长度都为的向量，一个沿轴正方向，一个沿轴正方向，它们的终点显然不同.所以B选项错误.
当时，对于任意向量和，都有且，但与不一定平行.因为零向量与任意向量都平行.所以C选项错误.
向量与向量是方向相反的向量，但它们的长度是相等的，因为向量的长度只与向量的大小有关，与方向无关.所以D选项正确.
故选D.
2．【答案】C
【详解】因为，，，所以，，
则．
故选C.
3．【答案】D
【详解】由，得，解得，
由，得，解得，
所以，
则.
故选D.
4．【答案】D
【详解】由可得，
又，所以，
由和正弦定理可得，即，
所以，所以，所以的形状为等边三角形，
故选D.
5．【答案】C
【详解】因为向量，，所以，，
所以，，，
设与的夹角为，则，又，所以.
故选C
6．【答案】A
【详解】
如图所示建立平面直角坐标系，设，显然，
所以，
由二次函数的单调性知.
故选A.
7．【答案】A
【详解】因为是的中点，且，
所以.
因为三点共线，所以，
即，所以，
当且仅当时，等号成立.
故选A.
8．【答案】D
【详解】，，，
即，则，
故，得，
，，
.
故选D.
9．【答案】AC
【详解】对于A选项，向量、、都是单位向量，，则，
所以，A对；
对于B选项，在等式两边平方可得，
即，则，则，
所以，故，B错；
对于C选项，因为，则，
所以，
所以
，故，C对；
对于D选项，，
若与共线，则存在，使得，
即，可得，即，
这与矛盾，假设不成立，D错.
故选AC.
10．【答案】AC
【详解】对于A，单位向量的方向不一定相同，因此“单位向量都相等”的说法错误，即A错误；
对于B，显然不存在实数满足，即不共线，所以能作为平面向量的一组基底，即B正确；
对于C，在边长为1的等边中，易知，即C错误；
对于D，易知若，可知与共线且反向，即D正确.
故选AC.
11．【答案】ACD
【详解】对于A，由，，三点共线，为点，，所在直线外一点，
有，其中，即，所以，故A正确；
对于B，，因为与的夹角为锐角，
则，解得，
当与共线时，，解得，
所以实数的取值范围是，故B不正确；
对于C，，，
所以在上的投影向量的坐标为，故C正确；
对于D，因为点为的外心，所以，故D正确.
故选ACD.
12．【答案】1
【详解】
，
故.
13．【答案】
【详解】解析：因为，
根据正弦定理可知，即，
由余弦定理可知，又，故，
又因为，所以，
（当且仅当时取等号），即
所以，即面积的最大值为.
14．【答案】10
【详解】由题可知，，
，
在中，，，
在中，，
在中，，
故.
15．【答案】(1)
(2)，.
【详解】（1）因为，所以，故，
又，所以，
（2）因为，所以；
所以，
所以，因为，
又，，，
所以.
16．【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解；
（2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根据等面积法求解即可.
【详解】（1），
，即，
又，
，
，
，
即，所以，
.
（2）由（1）知，，
由=sinAcsC+csAsinC=22(31010+1010)=255，
由正弦定理，，可得，
，
.
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由余弦定理有，对比已知，
可得，
因为，所以，
从而，
又因为，即，
注意到，
所以.
（2）由（1）可得，，，从而，，
而，
由正弦定理有，
从而，
由三角形面积公式可知，的面积可表示为
，
由已知的面积为，可得，
所以.
18．【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析．
【详解】（1），则由正弦定理可得，
，，，，
，解得；
（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得，
与矛盾，故这样的不存在；
若选择②：由（1）可得，
设的外接圆半径为，
则由正弦定理可得，
，
则周长，
解得，则，
由余弦定理可得边上的中线的长度为：
；
若选择③：由（1）可得，即，
则，解得，
则由余弦定理可得边上的中线的长度为：
.
19．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在锐角中，因为，
所以由正弦定理得，故，
得到，化为，
故得，化简得，
即，由余弦定理得，
因为，所以.
（2）因为，由正弦定理得，
所以，且设周长为，
所以，
，
，
因为在锐角中，所以，
所以，解得，
综上可得，所以，
故，则，
得到，即，
故周长的取值范围为.