福建省厦门松柏中学2024−2025学年高一下学期3月月考数学试题（含解析）

这是一份福建省厦门松柏中学2024−2025学年高一下学期3月月考数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．若向量，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知向量满足，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则
A．3B．C．D．12
4．已知在矩形中，，线段交于点，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知单位向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
6．在中，内角的对边分别为，为BC边上一点，且，则的面积为（）
A．B．C．D．
7．在中，角的对边分别为，若，则的形状为（ ）
A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰或直角三角形
8．如图所示，半圆的直径，为圆心，是半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值是（ ）
A．B．C．0D．2
二、多选题（本大题共3小题）
9．的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，．则b可以为（ ）
A．7B．8C．9D．10
10．如图，点是线段的三等分点，则下列结论正确的有（ ）

A．B．
C．D．
11．在中，，周长为10，面积为，则（ ）
A．为钝角三角形B．
C．D．边上的高为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知，，，则 ．
13．如图，作用于同一点的三个力，，处于平衡状态，已知，，与的夹角为，则的大小为 .
14．已知在中，角所对的边分别为，，是的中点，若，则的最大值为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知，，是同一平面内的三个向量，其中.
(1)若，且，求的坐标；
(2)若，且与垂直，求与的夹角.
16．已知在中，角所对的边分别为，且.
（1）若，求的值；
（2）若的面积为3，求的值.
17．某市发生水灾.国家抗震救灾指挥部紧急从处调飞机去某地运救灾物资到受灾的处.现有以下两个方案供选择:
方案一：飞到位于处正东方向上的市调运救灾物资，再飞到处；
方案二：飞到位于处正南方向上的市调运救灾物资，再飞到处.
已知数据如图所示：, , .
问：选择哪种方案，能使得飞行距离最短？（参考数据：）
18．如图，圆的半径为3，其中为圆上两点．
(1)若，当为何值时，与垂直？
(2)若为的重心，直线过点交边于点，交边于点，且，，求最小值．
19．在中，角所对边分别为．
(1)已知，，．
①求；
②若的平分线交于点，求线段的长；
(2)若是锐角三角形，为（1）中所求，为的垂心，且，求的取值范围；
参考答案
1．【答案】C
【详解】本题考查向量的坐标运算．
解答：选项A、．
选项B、
选项C、，正确．
选项D、因为所以两向量不平行．
2．【答案】A
【详解】由，得，两边平方得，而，
所以.
故选A
3．【答案】C
【详解】因为，所以由正弦定理得,
因此，选C.
4．【答案】D
【详解】依题意得，结合图形有：.
故选D
5．【答案】B
【详解】由已知，
因为，所以.
所以在方向上的投影向量为.
故选B．
6．【答案】D
【详解】因为在中，，又为边上一点，且，
所以，
又，
所以，
所以，解得，
所以.
故选:D.
7．【答案】D
【详解】由正弦定理，得，
所以，故，
所以或，即或，
故为直角三角形或等腰三角形．
选：D．
8．【答案】B
【详解】由平行四边形法则得，故，，且，方向相反，
设，则．
因为，所以当时，取得最小值，最小值为．
故选B．
9．【答案】AB
【详解】在△ABC中，，，
由正弦定理可得，即，所以，
因为，所以，
所以b可以为7，8，
故选AB.
10．【答案】AD
【详解】由题知，点是线段的三等分点，
所以，，，
对于A：且方向相同，所以，A选项正确；
对于B：，所以，B选项错误；
对于C：，所以，C选项错误；
对于D：且方向相同，所以，D选项正确；
故选AD.
11．【答案】BCD
【详解】设的内角的对边分别为，则，①
，即，②
再根据余弦定理，得，③
由①②③解得，故C正确；
，故B正确；
设边上的高为，则，得，故D正确；
由，得或，
可知4为最长边，最长边所对的角最大，设为，，
所以，则为锐角，
所以为锐角三角形，故A错误．
故选BCD．
12．【答案】/0.8
【详解】因，，
则，解得，则，
故．
13．【答案】
【详解】因为，，三个力处于平衡状态，所以，则，
所以.
14．【答案】
【详解】由，
根据正弦定理得，，
即，所以．
又因为，，
所以，所以．
在中，，①
在中，，②
因为，所以，
①②可得，又因为，所以，
即，所以，
令，则，即，解得，
又因为，所以，当且仅当时，等号成立，
则的最大值为．
15．【答案】(1)，或
(2)
【详解】（1）∵；
∴设，且，；
∴；
∴；
∴，或；
（2）∵与垂直，
∴，即，
又，，
∴，
∴，
又，
∴与的夹角.
16．【答案】（1）；（2）.
【详解】解：（1）因为，B 为内角，所以，
由正弦定理得，即，解得；
（2）由的面积得：，得
由余弦定理得，得，
即，
所以即，所以.
17．【答案】见解析
【详解】方案一：在中, 依题意得,
由 ， 且为等腰三角形
所以．
（利用等腰三角形的性质，几何法求解的长亦可）．
方案二：在中, ．

即，所以．
因为．
故选择方案一,能使飞行距离最短.
18．【答案】(1)
(2)2
【详解】（1）因为，，
所以由余弦定理得，即，所以．
若与垂直，则，
所以，所以，
解得，即时，与垂直；
（2）因为为的重心，所以，
又因为，，所以，
由于三点共线，所以存在实数使得，所以
化简为，所以，所以．
显然，，则，
当且仅当时，即时，取最值．
则的最小值为2．
19．【答案】(1)①；②
(2)
【详解】（1）①因为，，
所以，
由正弦定理，得，即，
由余弦定理，得，
因为，所以；
②又因为，，所以，
即，解得，设边上的角平分线长为，
则，
即，
即，解得，即边上的角平分线长为；
（2）延长交于，延长交于，
设，，所以，
在中，，
在中，，，所以，
在中，，
同理可得在中，，
所以
，
因为，所以，所以，
所以，即的取值范围为．