09 三角形中的重要模型之垂美四边形与378、578模型-2025年中考数学几何模型归纳训练试题含答案

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TOC \ "1-4" \h \z \u \l "_Tc25359" PAGEREF _Tc25359 \h 2
\l "_Tc14085" 模型1.垂美四边形模型 PAGEREF _Tc14085 \h 2
\l "_Tc8451" 模型2.378和578模型 PAGEREF _Tc8451 \h 33
\l "_Tc32027" PAGEREF _Tc32027 \h 42
模型1.垂美四边形模型
垂美四边形的定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形。

图1 图2 图3 图4
条件：如图1，已知四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD；
结论：①AB2+CD2＝AD2+BC2；②“垂美”四边形的面积等于对角线乘积的一半，即S四边形ABCD=AC∙BD。
证明：∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，，，
∴；∵AC⊥BD，∴S△ABC=AC∙BO ，S△ADC=AC∙DO
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=AC∙BO+AC∙DO=AC∙BD。
条件：如图2，在矩形ABCD中，P为CD边上有一点，连接AP、BP； 结论：DP2+BP2=AP2+PC2
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADP＝∠BCP＝90°，AD=BC，
由勾股定理得，，，∴，∴。
条件：如图3（或图4），在矩形ABCD中，P为矩形内部（外部）任意一点，连接AP、BP，CP，DP；
结论：AP2+PC2=DP2+BP2
证明：过点作的垂线，交于点，交于点，则四边形和为矩形，
，由勾股定理得：则
，，
，．（图4的证明和图3证明相同）
用处：①对角线垂直的四边形对边的平方和相等；②已知三边求一边的四边形，可以联想到垂美四边形。
例1．（23-24八年级上·河北保定·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（ ）

A．B．C．D．
例2．（23-24九年级上·天津·期末）如图，四边形两条对角线互相垂直，且．设，
(1)用含的式子表示：_____________；(2)当四边形的面积为时，求的长；
例3．（2023·江苏盐城·一模）如图，四边形的对角线和互相垂直，，则四边形面积最大值为 ．

例4．（2024·陕西·一模）已知矩形ABCD中有一点P，满足PA＝1，PB＝2，PC＝3，则PD＝ ．
例5．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形．
了解性质：如图1：已知四边形中，．垂足为，则有：；
性质应用：（1）如图1，四边形是垂美四边形，若，，，则 ；
性质变式：（2）如图2，图3，P是矩形所在平面内任意一点，则有以下重要结论：．请以图3为例将重要结论证明出来．
应用变式：（3）①如图4，在矩形中，O为对角线交点，P为中点，则；（写出证明过程）；②如图5，在中，，，D是内一点，且，，则的最小值是 ．
例6．（23-24八年级下·江西赣州·期末）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．经探究发现垂美四边形ABCD的两组对边AB2，CD2和AD2，BC2有一定的数量关系，请你猜想有何种数量关系？并证明．
（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．
例7．（2024·山东德州·一模）我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，是的中线，，垂足为．则称为“中垂三角形”．设．
(1)①如图1，当，时，______．______．
②如图2，当时，求和的值．
(2)请猜想、和三者之间的数量关系，并结合图3写出证明过程．
(3)如图4，在边长为3的菱形中，为对角线、的交点，分别为线段的中点，连接并延长交于点分别交于点，求的值．
模型2.378和578模型
378和578模型：边长为3、7、8或5、7、8的三角形（如图1）。
当我们遇到两个三角形的三边长分别为 3，7，8 和 5，7，8 的时候，通常不会对它们进行处理，实际是因为我们对于这两组数字不敏感，但如果将这两个三角形拼在一起，你将惊喜地发现这是一个边长为 8的等边三角形。
图1 图2 图3 图4
条件：当两个三角形的边长分别为3，7，8和5，7，8时；
结论：①这两个三角形的面积分别为、；②3、8与5、8夹角都是60°；③将两个三角形长为7的边拼在一起，恰好组成一个边长为8的等边三角形。
证明：如图2，过点C作CM⊥AB于点M，设BM=x 则AM=3+x，∴∠CMB=90°，
在Rt∆ACM中：CM2 =AC2 - AM2，在Rt∆BCM中：CM2 =BC2 - BM2，
∴AC2 - AM2 = BC2 - BM2，即82 -（3+x）2 = 72 - x2，解得x=1，∴CM =4，∴CM =，
∴S∆ABC=AB•CM =12 •3•=，∵CM =4，AC=8，∠ACM=30°，∠CAM=60°。
如图3，过点F作FN⊥DE于点N，设DN=x 则NE=5-x，∴∠FND=90°，
在Rt∆DNF中：NF2 =DF2 - DN2， 在Rt∆ENF中：NF2 =EF2 - NE2，
∴DF2-DN2 =EF2-NE2，即72-x2 =82 -（5-x）2 ，解得x=1，NE=4，∴NF = ，
∴S∆DEF=•DE•NF = •5•=，∵NE =4，EF=8，∠EFN=30°，∠FEN=60°。
∴CM =NF = ，∠CMB=∠FND=90°，∵CB =DF=7，∴Rt∆BCM ≌Rt∆DNF，∴∠CBM=∠FDN，
∵∠CBM+∠ABC=180°，∴∠FDN+∠ABC=180°，∵AC =EF =8。
∴将两个三角形长为7的边拼在一起，恰好组成一个边长为8的等边三角形（如图4）。
例1．（2023·浙江温州·九年级校考期末）边长为5，7，8的三角形的最大角和最小角的和是（ ）．
A．90°B．150°C．135°D．120°
例2．（2023·江苏·八年级专题练习）已知在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，则∠B＝（ ）．
A．45°B．37°C．60°D．90°
例3．（2023·绵阳市·八年级专题练习）如图，△ABC的边AB＝8，BC＝5，AC＝7．求BC边上的高．
例4．（2023八年级上·江苏·专题练习）已知在中，，，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
例5．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，，，，则的长为 ．
1．（2023·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，四边形的两条对角线互相垂直，AC、BD是方程的两个解，则四边形的面积是（ ）
A．60B．30C．16D．32
2．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）点P是矩形内一点，且满足，，，则的值为（ ）
A．3B．5C．D．
3．（2024·天津和平·二模）如图，四边形的两条对角线，BD相交于点，点在线段上，且，若．有下列结论：①的取值范围是；②的长有两个不同的值满足四边形的面积为12；③四边形面积最大值为．其中，正确结论的个数有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
4．（2023·山东八年级课时练习）已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，则∠C＝（ ）．
A．45°B．37°C．60°D．90°
5．（2024·四川广元·二模）如图，在四边形中，，对角线 AC，BD互相垂直，，，则 的值是
6．（2022·山东枣庄·模拟预测）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD=3，BC=5，则 ．
7．（23-24九年级上·广东梅州·期中）四边形的对角线互相垂直且长分别为8和12，则面积为 ．
8．（23-24八年级·浙江·期末）当两个三角形的边长分别为3，7，8和5，7，8时，则这两个三角形的面积之和是 ．
9．（23-24八年级下·河北石家庄·阶段练习）已知对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．
（1）若，，，则 ；（2）若，，则 ；
（3）若，，，，则m，n，c，d之间的数量关系是 ．
10．（23-24八年级下·广东广州·期末）已知三角形一边上的中线，与三角形三边有如下数量关系：三角形两边的平方和等于第三边一半的平方与第三边中线平方之和的2倍．即：如图，在中，是边上的中线，则有．请运用上述结论，解答下面问题．如图，点为矩形外部一点，已知，若，则的取值范围为 ．
11．（2022·湖北·一模）如图，P是矩形ABCD外一点，有以下结论：①S△PAB+S△PCD=S矩形ABCD②S△PBC=S△PAC+S△PCD③PA2+PC2=PB2+PD2；④若PD⊥PB，则P、A、B、C、D在同一个圆上其中正确的序号是
12．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，四边形的两条对角线互相垂直，且，则四边形面积的最大值为 ．
13．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）若一个四边形的两条对角线互相垂直且相等，则称这个四边形为奇妙四边形．如图1，四边形中，若，，则称四边形为奇妙四边形．根据奇妙四边形对角线互相垂直的特征可得奇妙四边形的一个重要性质：奇妙四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．根据以上信息回答：
(1)矩形________奇妙四边形（填“是”或“不是”）；(2)如图2，已知的内接四边形是奇妙四边形，若的半径为8，．求奇妙四边形的面积；(3)如图3，已知的内接四边形是奇妙四边形．请猜测和的位置关系，并证明你的结论．
14．（23-24九年级上·广东东莞·期中）如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”

(1)试猜想筝形的对角线有什么位置关系，然后用全等三角形的知识证明你的猜想；
(2)已知筝形的对角线的长度为整数值，且满足．设的长为x，四边形的面积为S，试求x为多少时，S有最大值，最大值是多少？
15．（2024·山西晋城·三模）请阅读列材料，并完成相应的任务：
三角形中线定理
三角形中线定理又称阿波罗尼奥斯定理，是一种平面几何的定理之一，指三角形三边和中线长度关系．
阿波罗尼奥斯（约公元前262-190年），古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德合称为古希腊亚历山大前期的三大数学家．
中线定理：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍．如图1，在中，点D为BC的中点，根据“阿波罗尼奥斯”，可得．下面是该定理的证明过程（部分）：
证明：过点A作于点E，如图2，在中，，
同理可得：，，
证明的方便，不妨设，，
…
任务：(1)按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；
(2)如图3，在中，点为的中点，，，，则AD的长为______；
(3)如图4，已知平行四边形中，和BD相交于点，设，，请直接用含，的代数式表示的值；(4)如图5，已知平行四边形内接于，点为内一点，若，，，，请直接写出的长．
16．（24-25九年级上·广东深圳·月考）垂美四边形定义如下：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
(1)如图1，四边形是“垂美四边形”，猜想与之间的数量关系：______，并说明理由．
(2)如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，若，求的长．
(3)如图3，在中，，点P是外一点，连接，，已知，若以A、B、C、P为顶点的四边形为垂美四边形，请直接写出的长．
17．（2024·山东德州·一模）我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，，是的中线，，垂足为．则称为“中垂三角形”．设，，．

(1)①如图1，当，时，____________．
②如图2，当，时，求和的值．
(2)请猜想、和三者之间的数量关系，并结合图3写出证明过程．
(3)如图4，在边长为3的菱形中，为对角线，的交点，分别为线段，的中点，连接，并延长交于点，，分别交于点，求的值．
18．（2023·山东青岛·二模）如果一个三角形有两条互相垂直的中线，我们就把这样的三角形称为“中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，，是的中线，，垂足为P，称这样的三角形为“中垂三角形”，设，，．

(1)如图1，当，时，______，______；
如图2，当，时，______，．
归纳证明
(2)请你观察（1）中的计算结果，用等式表示对，，三者之间关系的猜想，并利用图3证明，，三者之间的关系．
19．（2024·浙江·模拟预测）定义：若一个四边形的对角线互相垂直，且较长对角线的长度是较短对角线长度的2倍，则称这个四边形为“倍垂四边形”．
（1）如图①，在菱形中，对角线与相交于点O，，试判断菱形是否为“倍垂四边形”，并说明理由；

（2）如图②，在中，，作于点O，问在射线上是否存在着一点D，使得四边形是“倍垂四边形”．若存在，请求出此时线段的长；若不存在，请说明理由；
（3）如图③，在中，，且，分别以的斜边和直角边为边向外作和，且，连接，当四边形是“倍垂四边形”时，求的长．
20．（23-24九年级上·浙江金华·期中）【概念认识】定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．
（1）如图1，已知在垂等四边形中，对角线与交于点，若，，，求的长度．
【数学理解】（2）在探究如何画“圆内接垂等四边形”的活动中，小李与同学讨论出了如下方法：如图2，在中，已知是的弦，只需作、，分别交于点和点，即可得到垂等四边形，请你写出证明过程．
【问题解决】（3）如图3，已知A是上一定点，为上一动点，以为一边作出的内接垂等四边形（A、不重合且A、、三点不共线），对角线与交于点，的半径为，当点到的距离为时，求弦的长度．