上海市崇明区2025届高考二模数学试卷（解析版）

这是一份上海市崇明区2025届高考二模数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 不等式的解为__________．
【答案】
【解析】，即，解得，
故所求解集为．
故答案为：．
2. 已知复数（i为虚数单位），则__________．
【答案】
【解析】
故答案为：
3. 已知全集，集合，则__________．
【答案】
【解析】，∴，
故答案为：
4. 求直线与直线的夹角为________.
【答案】
【解析】直线的斜率不存在，倾斜角为，
直线的斜率为，倾斜角为，
故直线与直线的夹角为，
故答案为：．
5. 已知，则__________．
【答案】
【解析】，∴.
故答案为：
6. 函数的最小正周期是，则_______．
【答案】
【解析】因为函数的最小正周期是，则.
故答案为：.
7. 某次数学考试后，随机选取14位学生的成绩，得到如下茎叶图，其中个数部分作为“叶”，百位数和十位数作为“茎”，若该组数据的第25百分位数是87，则x的值为_______．
【答案】7
【解析】，则该组数据从小到大排列后的第四位数是87，即，
故答案为：7.
8. 在中，若，其面积为，则__________．
【答案】
【解析】已知，，代入面积公式可得：
则，可得：.
根据余弦定理为，可得
则.即，
把代入可得：，即.
由于为边长，可得.
故答案为：.
9. 若，则_______.
【答案】
【解析】令，则，即.
故答案为：
10. 已知，若函数有两个极值点，则实数a的取值范围是__________．
【答案】
【解析】∵二次函数开口向下，是极大值，
一次函数，当时，函数时单调函数，没有极值点，
要想函数有两个极值点，则这两个极值点为和，
又∵函数在上单调递减，∴在上递增.
∴，∴.
故答案为：
11. 已知双曲线的左、右焦点为，以O为顶点，为焦点作抛物线交双曲线于P，且，则__________．
【答案】
【解析】由题意可知，，
如图，过点作准线的垂线，垂足为，则，

则，得，
在中由余弦定理可得，
，即，
则由双曲线的定义可得，得，
则
故答案为：
12. 已知集合M中的任一个元素都是整数，当存在整数且时，称M为“间断整数集”．集合的所有子集中，是“间断整数集”的个数为__________．
【答案】968
【解析】由题意，满足“间断整数集”定义的子集至少有2个元素，至多有9个元素，
按子集中元素个数分类，
①当元素个数为2时，不满足定义的子集有：
，共9个；
此时满足定义的子集有个，
②当元素个数为3时，不满足定义的子集有：
，共8个；
此时满足定义的子集有个，
③当元素个数为4时，不满足定义的子集有：
，共7个；
此时满足定义的子集有个，
④当元素个数为5时，不满足定义的子集有：
，共6个；
此时满足定义的子集有个，
⑤当元素个数为6时，不满足定义的子集有：
，共5个；
此时满足定义的子集有个，
⑥当元素个数为7时，不满足定义的子集有：
，共4个；
此时满足定义的子集有个，
⑦当元素个数为8时，不满足定义的子集有：
，共3个；
此时满足定义的子集有个，
⑧当元素个数为9时，不满足定义的子集有：
，共2个；
此时满足定义的子集有个，
综上所述，满足题意的子集共有个.
故答案为：968.
二、选择题
13. 若，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为，，
对于A选项，，A错；
对于B选项，不妨取，，，，则，B错；
对于C选项，取，则，C错；
对于D选项，由题意可知，，由不等式的基本性质可得，D对.
故选：D.
14. 已知一个圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可知，圆锥的母线长和底面圆的直径均为，
所以圆锥的侧面积为.
故选：A.
15. 抛掷一枚质地均匀的硬币n次（其中n为大于等于2的整数），设事件A表示“n次中既有正面朝上又有反面朝上”，事件B表示“n次中至多有一次正面朝上”，若事件A与事件B是独立的，则n的值为（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】C
【解析】抛掷一枚质地均匀的硬币次，所有可能的结果有种.
事件表示“次中既有正面朝上又有反面朝上”，其对立事件为“次都是正面朝上或次都是反面朝上”，包含的情况有种，所以.
根据对立事件概率之和为，可得.
事件表示“次中至多有一次正面朝上”，即“次中没有正面朝上（全是反面朝上）”或“次中有一次正面朝上”.
“次中没有正面朝上”的情况有种；“次中有一次正面朝上”，从次中选次为正面朝上，有种情况.
所以事件包含的情况共有种，则.
事件表示“次中既有正面朝上又有反面朝上且至多有一次正面朝上”，即“次中有一次正面朝上”，有种情况，所以.
因为事件与事件是独立的，所以，即.
可得：.展开得：.即.
当时，，，等式不成立；
当时，，，等式成立；
当时，，，等式不成立.
所以.
故选：C.
16. 数列是等差数列，周期数列满足，若集合，n是正整数中恰有三个元素，则数列的周期T的取值不可能是（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】D
【解析】,
取，则公差，
当，是，此时角度序列为： ，
取，则对应的余弦值为，此时，三个元素合题意；
当，是，此时角度序列为： ，
取，则对应的余弦值为，
又，此时也是三个元素，合题意；
当，是，此时角度序列为： ，
取，则对应的余弦值为，此时也是三个元素，合题意；
当，是，此时角度序列为： ，
由于是质数，角度间隔无法分解为更小的对称单元，余弦值的对称性不足以将个不同角度映射为个不同值，
故选：D.
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分）
17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，且，，点分别为的中点.

（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离.
（1）证明：由底面为正方形，得，又平面，
于平面，而平面，则，同理，
又平面，
所以平面.
（2）解：由（1）得，点为的中点，在中，，点为的中点，同理，
在中，，因此，
在直角中，，
由（1）知平面，则平面，于是点到平面的距离为
设点到平面的距离为，由，得，解得，
所以点到平面的距离为.
18. 已知．
（1）是否存在实数a，使得函数是偶函数？若存在，求实数a的值，若不存在，请说明理由；
（2）若且，解关于x的不等式．
解：（1）存在实数，使得函数是偶函数.
要使函数有意义，须满足，即，
显然，即，函数的定义域.
当时，函数定义域不关于原点对称，此时必然存在且，此时函数不是偶函数.
当时，，
函数的定义域为，对于任意的，都有，
并且
因此函数是一个偶函数
综上所述，存在实数，使得函数是偶函数
（2）由，得
所以且①．
由①得，.
因为且，
所以当时，，
当时，.
综上可得：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.
19. 某区2025年3月31日至4月13日的天气预报如图所示．
（1）从3月31日至4月13日某天开始，连续统计三天，求这三天中至少有两天是阵雨的概率；
（2）根据天气预报，该区4月14日的最低气温是9，温差是指一段时间内最高温度与最低温度之间的差值，例如3月31日的最高温度为17，最低温度为9，当天的温差为8记4月1日至4日这4天温差的方差为，4月11日至14日这4天温差的方差为，若，求4月14日天气预报的最高气温；
（3）从3月31日至4月13日中随机抽取两天，用X表示一天温差不高于9的天数，求X的分布列及期望．
解：（1）设“从3月31日至4月13日某天开始，连续统计三天，这三天中至少有两天是阵雨”为事件A，连续统计三天共有12个样本点，事件A共有4个样本点，所以
（2）4月1日至4日这4天温差分别为9、8、9、9，
因此，设4月14日的温差为x，
则4月11日至14日这4天温差分别为8、9°C、8、x，
因此，
解得，因此，4月11日这天最高气温是18．
（3）从3月31日至4月13日，一天温差不超过9的共有11天，高于9的共有3天
X可能取值0，1，2.
，，
随机变量X的分布列为：
随机变量X的期望.
20. 已知抛物线，过点的直线与抛物线交于点、，与轴交于点．

（1）若点位于第一象限，且点到抛物线的焦点的距离等于，求点的坐标；
（2）若点坐标为，且点恰为线段的中点，求原点到直线的距离；
（3）若抛物线上存在定点使得满足题意的点、都有，求、满足的关系式．
解：（1）设，因为点在抛物线上，
所以点到抛物线的焦点的距离等于它到抛物线的准线的距离，
所以，则，所以，故点的坐标是.
（2）设，则，由题意，所以，
所以点的坐标为，则，
所以，直线的方程为，即直线的方程为，
所以原点到直线的距离为.
（3）设，若直线的斜率不存在时，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，
所以，直线斜率必然存在，设其方程为，
代入中，得，
设、，则，，
因为，且，
所以，
显然，，则，
所以
故，即．
由题意，得，因此.
21. 已知函数，P为坐标平面上一点．若函数的图像上存在与P不同的一点Q，使得直线PQ是函数在点Q处的切线，则称点P具有性质．
（1）若，判断点是否具有性质，并说明理由；
（2）若，证明：线段上的所有点均具有性质；
（3）若，证明：“点具有性质”的充要条件是“”．
（1）解：点具有性质，理由如下：
设，因为，
所以曲线在点Q处的切线方程为：，
将点坐标代入，得：，所以或2
即函数的图像上存在与P不同的一点，
使得直线PQ是函数图像在点Q处的切线，故点具有性质；
（2）证明：
设
函数的图像在Q处的切线方程为：①
当时，点P在函数的图像上，
将代入①式，得：②
令，则
所以关于q的方程②必有实数解，且
故函数的图像上存在与P不同的一点Q，使得直线PQ是函数图像在点Q处的切线，即点具有性质；
当时，点P不在函数的图像上，
将代入①式，得：③
令，则
所以当时，关于q的方程③必有解，
故函数的图像上存在与P不同的一点Q，使得直线PQ是函数图像在点Q处的切线，即点具有性质，
综上所述，线段上的所有点均具有性质；
（3）证明：设，
函数的图像在Q处的切线方程为：
必要性：若点具有性质，则点应满足方程
令，则由，得：，
当时，，当时，，
故函数在时取得最小值
因为P与Q是不相同的点，所以点P的横坐标，因此，
即.
充分性：当时，令
对于函数，当q趋向时，趋向，
又，故关于q的方程必然有解，
即存在点使得直线PQ是函数的图像的切线，
所以点具有性质
综上所述，“点具有性质”的充要条件是“”.X
0
1
2
P