山西省运城市九校2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试卷（解析版）

这是一份山西省运城市九校2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 如图是某幼儿园附近道路对汽车的限速标志，表示汽车在该路段行驶的速度不得超过．用表示汽车的速度，v与30应满足的关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据题意v与30应满足的不等关系为，
故选：A．
2. 已知，则一定有，“☐”中应填的符号是（ ）
A. ≤B. ≥C.
【答案】A
【解析】∵，，
∴，
故选：A．
3. 等腰三角形一边等于5，另一边等于8，则其周长是（ ）
A. 18B. 21C. 18或21D. 13或18
【答案】C
【解析】由于三角形任意两边之和大于第三边，由等腰三角形一边等于5，另一边等于8．
当8为腰时，此三角形的周长=8+8+5=21．
当5为腰时，此三角形的周长=8+5+5=18．
故选：C．
4. 如图，在我国海军某次海上编队演习中，两艘航母护卫舰从同一港口同时出发，号舰沿南偏东方向以节（节海里/小时）的速度航行，号舰以节的速度航行，离开港口小时后它们分别到达两点且相距海里，则号舰的航行方向是（ ）
A. 北偏西B. 南偏西C. 南偏东D. 南偏西
【答案】D
【解析】由题意得，海里，海里，
∵海里，
∴，
∴是直角三角形，且，
∵，
∴，
∴号舰的航行方向是南偏西，
故选：．
5. 如图①所示的是中国古代的一种打击乐器编钟．小颖绘制编钟的正面示意图如图②所示，她发现绘制的编钟的正面示意图是个轴对称图形．下列说法不一定正确的是（ ）
A. B. 垂直平分
C. D.
【答案】C
【解析】A、因为编钟是关于对称的轴对称图形，和为对应线段，所以，该选项不符合题意；
B、，为对应点，所以直线垂直平分线段，该选项不符合题意；
C、和是对应角，只能得到，无法判断的度数，该选项符合题意；
D、因为和是对应角，所以，该选项不符合题意；
6. 某镇准备在两两相交的三条公路围成的三角形空地上建一个物流园，使其到三条公路的距离相等，请问物流园所建位置应是（ ）
A. 三角形三条角平分线的交点B. 三角形三边垂直平分线的交点
C. 三角形三条中线的交点D. 三角形三条高的交点
【答案】A
【解析】∵角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴物流园需建在三条公路所围成三角形的角平分线的交点上．
故选：A．
7. 已知点在第二象限，且，为整数，则点P的个数是（ ）
A. 3B. 6C. D. 无数个
【答案】B
【解析】∵点在第二象限，
∴，
∴，
解得，，
∴当时，，此时点P为，，
当时，，此时点P为，，，，
综上所述，点P的个数是6个，
故选：B．
8. 如果，那么，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可得：，；
，，的大小关系为；
故选：C．
9. 如图，这是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯的平面示意图．其中，分别表示一楼、二楼地面的水平线．若，，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】过作于，
则，，
，
，
，
故选：C．
10. 如图，D为的外角平分线上一点并且满足，过D作于E，交的延长线于F，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】如图所示，
∵平分，，，
∴，
在和中，
，
∴，故①正确；
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
又∵，
∴，故③正确；
∵是的一个外角，
∴，故④错误；
故选：C．
二、填空题
11. 写出一个解集为的一元一次不等式：_____________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】将两边同乘以2可得一元一次不等式，
故答案为：．
12. 如图，，要使，若根据“HL”判定，还需要添加的条件是_____．
【答案】
【解析】，
理由是：在和中，
，
∴；
故答案为：．
13. 等腰三角形中，一个内角比另一个内角的3倍还多，则该等腰三角形中最小的内角的度数是__________．
【答案】或
【解析】在中，设，分情况讨论：
当为底角时，，解得，
则；
所以，三个分别为；．
当为底角时，，解得，
所以，三个分别为；．
当时，，此种情况不存在，
所以，该等腰三角形中最小的内角的度数是或．
故答案为：或．
14. 如图，每个小方格都是边长为1的正方形，的三个顶点都在格点上，则的度数为_____．
【答案】
【解析】如图：连接，，
由题意得：，，，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
由图知：，
，
，
故答案为：．
15. 如图，在中，，点D在的外部，且平分，过点D作，交的延长线于点E，，交于点F，连接．若，，则的度数为________．
【答案】
【解析】如图，连接，过点作，交的延长线于点，
，，，平分，
平分，，，
，，平分，
，
，
，
故答案为：．
三、解答题
16. 运用不等式的性质，将下列不等式化为x＞a或x＜a的形式．
（1）x-1＜5；
（2）x＜3x-12．
解：（1），
，
，
．
（2），
，
，
．
17. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的端点在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法（保留作图痕迹）．
（1）在图①中以为边画一个面积为3的等腰三角形；
（2）在图②中以为边画一个面积为3的钝角三角形；
（3）在图③中以为边画一个面积为4的．
解：（1）如图①，
要使等腰三角形面积为3，即画一个底为2，高为3的等腰三角形；
（2）如图②，
要使钝角三角形面积为3，即画一个底为2，高为3的钝角三角形；
（3）如图③，
图③左图中，，
图③右图中，，
以上两种情况即为所作出的面积为4的．
18. 如图，在一条河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B．其中．因建设新农村需要，由C到B的道路另作他用，不再通行．该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点P（A，P，B在一条直线上），并新修建一条道路，建成后经测量得到相关数据，，．某校数学项目式小组尝试解决以下问题，请你与他们一起完成任务：
（1）任务一：在每千米道路造价相同的前提下，试说明道路设计方案的成本最低；
（2）任务二：求修建后的路线比原来的路线缩短了多少千米．
解：（1）∵，，，
∴，，
∴，
∴，即，
根据垂线段最短知：道路设计方案的成本最低；
（2）设，则，
在中，，
∴，
解得，
，
∴修建后路线比原来的路线缩短了．
19. “风筝飞满天，笑语乐无边”，由喜闻乐见的风筝可以抽象得到一种特殊的四边形—筝形．如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．
（1）初步认识筝形后，数学活动小组的同学通过观察、测量、折纸等方法猜想筝形有什么性质，请你试着写出图中筝形的两条性质（定义除外）：① ；② ；
（2）选择（1）题中你写的其中一条筝形的性质进行证明；
（3）如图，若，，求筝形的面积．
（1）解：观察可知：垂直平分，；
故答案为：垂直平分，；
（2）证明：性质1：∵，，
∴点均在线段的中垂线上，∴垂直平分；
性质2：∵，∴；
（3）解：∵垂直平分，
∴
．
20. 阅读感悟：
代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性，如下例题：
例：已知实数m、n满足，证明：．
证明：因为且m，n均为正，
所以___________，___________．（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变）
所以．（不等式的传递性）
解决问题：
（1）请将上面的证明过程填写完整；
（2）尝试证明：若，则．
证明：（1）因为且m，n均为正，
所以，（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变），
所以．（不等式的传递性）
故答案为：，；
（2）∵，
∴（不等式的两边都加上同一个式子，不等号的方向不变），
∴，
∴（不等式的两边都除以同一个正数，不等号的方向不变）．
21. 教材呈现：如图是人教版八年级上册数学教材第50页的部分内容．
（1）定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的判定定理”完整的证明过程．
已知：
求证：
证明过程：
（2）定理应用：如图②，，E是的中点，平分．求证：是的平分线．
（1）解：已知：，，垂足分别D、E，且．
求证：平分(或者是的平分线)
证明过程：
，．
，
在和中，
，
．
，
是的平分线．
（2）证明：如图：过点E作于F，
平分，，
，
是的中点，
，
．
又，，
，
是的平分线．
22. 某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务.图1是某品牌共享单车停放在水平地面的实物图，图2是其简易示意图，其中，都与地面平行，、、在同一直线上．
（1）已知，平分．求证：；
（2）测得，点到地面的距离为．求点到地面的距离．（结果保留根号）
证明：（1），，
，
，
平分，
，
，
；
（2）解：，
是等边三角形，
过点作于，
则，
．
地面，点到地面的距离为，
点到地面的距离为．
23. 如图1，在平面直角坐标系中，，，与轴正半轴交于点，且．
（1）点的坐标是__________；
（2）如图2，点从点出发，沿射线方向运动，同时点在边上从点向点运动，在运动过程中：
①若点的速度为每秒2个单位长度，点的速度为每秒1个单位长度，运动时间为秒，当是直角三角形时，求的值；
②若点、的运动路程分别是，，当是等腰三角形时，求出与满足的数量关系．
解：（1）∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）①由题意，得，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴只有和两种情况，此时点P只能在线段上，
则；
当时，
∵，
∴，
∴，即，
解得：；
当时，
∵，
∴，
∴，即，
解得：；
综上所述，当或时，是直角三角形；
②如图：当时，
∵，，∴，
∵是等腰三角形，，
∴是等边三角形，
∴，即；
如图3：当时，
∵，，
∴，
∵是等腰三角形，，
∴，即，
∴，
综上所述：当是等腰三角形时，a与b满足的数量关系为：或．