广西南宁市兴宁区2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试卷（解析版）

这是一份广西南宁市兴宁区2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．下列图案中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】选项B，C，D三个图案都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原图重合，所以不是中心对称图形；
只有选项A这个图案能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原图重合，所以是中心对称图形；
故选：A.
2.下列方程是一元二次方程的是（ ）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】A、是一元二次方程，符合题意；
B、最高次是3次，不是一元二次方法，不符合题意；
C、最高次是1次，不是一元二次方程，不符合题意；
D、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
故选：A .
3.一元二次方程的根的情况是（ ）
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.没有实数根D.无法确定
【答案】C
【解析】∵，
，
∴，
∴方程没有实数根，
故选：C.
4.二次函数的顶点坐标为（ ）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】抛物线的顶点坐标是，
故选：C.
5.如图，将直角三角板绕顶点A顺时针旋转到，点恰好落在的延长线上，，则为（ ）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】∵，
∴，
∵由旋转可知，
∴，
故选：B.
6.已知抛物线，下列结论错误的是（ ）
A.抛物线开口向上B.抛物线的对称轴为直线
C.抛物线的顶点坐标为D.当时，y随x的增大而增大
【答案】D
【解析】抛物线中，a＞0，抛物线开口向上，因此A选项正确，不符合题意；
由解析式得，对称轴为直线，因此B选项正确，不符合题意；
由解析式得，当时，y取最小值，最小值为1，所以抛物线的顶点坐标为，因此C选项正确，不符合题意；
因为抛物线开口向上，对称轴为直线，因此当时，y随x的增大而减小，因此D选项错误，符合题意；
故选：D.
7.小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】由题意得：第一天揽件200件，第三天揽件242件，
∴可列方程为：，
故选：A.
8.一元二次方程配方后正确的是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】，
移项得，，
同时加上一次项系数的一半的平方得，，
∴，
故选：C .
9.将二次函数的图象向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度所得的图象解析式为（ ）
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】将抛物线向右平移1个单位长度后得到抛物线，再向上平移3个单位长度后得到
故选C
10.在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象大致是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】因为一次函数的图象应该经过原点，故可排除A、B；
因为二次函数的图象的顶点坐标应该为(0,2)，故可排除D；
故选：C.
11.如图，将绕B点顺时针方向旋转一个角α到，点A的对应点D恰好落在上，且.若，则α的度数为（ ）
A.30°B.40°C.45°D.36°
【答案】B
【解析】∵将绕点B顺时针旋转到，，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得，
故选：B.
12.如图，对称轴为直线的抛物线中，以下结论：①；②；③（为任意实数）；④当时，随的增大而增大.其中结论正确的个数为（ ）
A.1B.2C.3D.4
【答案】B
【解析】根据图象可得，，，
∵对称轴为，
∴，
∴，故①错误；
∵函数图象与轴有两个交点，
∴，即，故②正确；
∵，且当时，函数有最小值，即是最小值，
∴对于任意值，都有，
∴，即，故③正确；
∵对称轴为，
∴当时，随的增大而减小，
∵，
∴当时，随的增大而减小，故④错误；
综上所述，正确的有②③，共2个，
故选：B .
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.）
13.在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是 .
【答案】
【解析】点关于原点的对称点的坐标是：，
故答案为：.
14.已知关于的一元二次方程的一个根是2，则的值为 .
【答案】14
【解析】由题意得，解得：；
故答案：.
15.已知、、是抛物线上的三点，则、、的大小关系是 .（用“>”符号连接）
【答案】
【解析】抛物线的对称轴为直线2，
∴关于对称轴的对称点为
∵，
∴时，y随x的增大而增大，
∵，
∴.
故答案为：.
16.如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长50米、宽30米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为800平方米.则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为 .
【答案】
【解析】设小道的宽为米，把白色部分分别移到矩形的上边和左边可得矩形的长为米，宽为米，
根据题意得，，
故答案为：.
17.如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集为 .
【答案】或
【解析】根据函数图象可得直线在抛物线上时，
即的解集为，
故答案为：.
18.如图，为等边三角形内的一点，且到三个顶点，，的距离分别为，，，则的面积为 .
【答案】
【解析】是等边三角形
可将绕点B逆时针旋转的，连接EP，过点A作，交BP延长线于点F，如图所示：
由旋转的性质得：
是等边三角形
在中，
是直角三角形，
在中，
则等边的面积为
故答案为：.
三、解答题（本大题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19.解方程：.
解：
或
解得：.
20.参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛.共要比赛90场.共有多少个队参加比赛？
解：设共有x个队参加比赛，
根据题意得：2×x（x﹣1）＝90，
整理得：x2﹣x﹣90＝0，
解得：x＝10或x＝﹣9（舍去）.
故共有10个队参加比赛.
21.如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，.（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）
(1)将先向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度得到，画出平移后的；
(2)将绕着坐标原点顺时针旋转，得到，画出旋转后的；
(3)求的面积.
解：（1）根据平移的性质作图如下，
（2）根据旋转作图如下，
（3），
∴的面积为.
22.如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转到△ABF的位置，接EF.
（1）求证：△AEF是等腰直角三角形；
（2）若四边形AECF的面积为25，DE=2，求AE的长.

（1）证明：∵把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，
∴△ADE≌△ABF，∠EAF=90°，
∴AE=AF，
∴△AEF是等腰直角三角形；
（2）解：∵△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置.
∴四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于25，
∴AD=DC=5，
∵DE=2，
∴Rt△ADE中，AE=.
23.阅读材料：
材料1：关于的一元二次方程的两个实数根，和系数，
有如下关系：，.
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，求的值.
，是一元二次方程的两个实数根，
，.
则.
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)应用：一元二次方程的两个实数根为，，则___________，___________.
(2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为，且，求的值；
(3)提升：已知实数满足，，求的值.
解：（1）一元二次方程的两个实数根为，，，
∴，
故答案为：；
（2）一元二次方程的两个实数根为，且，，
∴，
∵，
∴原式；
（3）实数满足，，
∴实数是一元二次方程的两个实数根，
∴，
∵，
∴原式.
24.10月国庆长假期间，某商场销售一批商品，经市场调研：该商品进价为每个10元，当售价为每个12元时，每天销售量为180个，若售价每提高1元，每天销售量就会减少10个，请回答以下问题：
(1)当商品售价为每个15元时，每天销售量为多少个？
(2)用函数解析式表示该商品销售量y（个）与售价x（元）之间的函数关系；
(3)当售价定为多少时，商场每天获得利润最大？每天的最大利润是多少？
解：（1）当售价为每个12元时，每天销售量为180个，若售价每提高1元，每天销售量就会减少10个，
∴当商品售价为每个15元时，每题的销售量为（个）；
（2）根据题意，由（1）的计算方法可得，，
∴销售量y（个）与售价x（元）之间的函数关系为；
（3）设商场每天获得利润最大为元，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为元，
∴当售价定为元时，商场每天获得利润最大，每天的最大利润是元.
25.一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的A处射门，已知球门高为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为.现以O为原点，平面直角坐标系如图所示.
(1)求二次函数的表达式；
(2)通过计算判断球能否射进球门；
(3)为了进球，运动员带球向点A的正后方移动了米射门，若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，结果恰好在点O正上方处进球，求n的值.
解：（1），
抛物线的顶点坐标为，
设抛物线表示的二次函数的表达式为，
把点代入，得，
解得，
抛物线表示的二次函数的表达式为；
（2）当时，，
球不能射进球门；
（3）由题意，移动后的抛物线为，
把点代入，得，
解得（舍去），，
的值为.
26.如图，在中，，，将绕点按逆时针方向旋转得到（旋转角为），直线分别与直线，交于点，.
(1)线段与线段的数量关系为__________；
(2)如图1，当时，请猜想线段与的数量关系并证明结论；
(3)如图2，当为任意角度时（），（2）中的结论是否依然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
解：（1）∵将绕点按逆时针方向旋转得到
∴，
∴，
故答案为：.
（2）在中，，，
∴
∵，
∴，，
当时，
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
∴
∴是等边三角形，
∴，
又∵
∴
∴
∴；
（3）成立，证明如下，如图所示过点作
∵，
∴
又∵
∴，
∵
∴
∴
∴，
又∵
∴，
在中，
∴
∴.