江苏省淮安市七校联盟2024-2025学年高一下学期3月学情调查测试数学试卷（解析版）

这是一份江苏省淮安市七校联盟2024-2025学年高一下学期3月学情调查测试数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】将两边平方可得，
即，可得.
故选：C.
2. 已知角的终边上一点P的坐标为，则（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】C
【解析】由题意，得，则.
故选：C.
3. 已知是边长为2的等边三角形，则（ ）
A. 4B. C. 2D.
【答案】D
【解析】依题意可知和的夹角为，
所以.
故选：D.
4. 若向量，向量在方向上的投影向量为，则m值可能为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】C
【解析】向量在方向上的投影向量为，
所以，解得或.
故选：C.
5. 已知则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】.
故选：A.
6. 已知在中，M是BC中点，，，则（ ）
A. 3B. 4C. 6D. 12
【答案】C
【解析】因为M是BC中点，所以，，
则，，
则，
因为，，
则，解得，
则，即
故选：C.
7. 已知，则（ ）
A. 4B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
.
故选：C.
8. 已知，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，则，
因为，则，可得，
因，则，，
所以，，，
所以，
，
所以，.
故选：A.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列等式正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 若，则
【答案】ACD
【解析】，故A正确；
，故B错误；
，故C正确；
，故，故D正确.
故选：ACD.
10. 已知,,其中，则以下结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则或
C. 若，则
D. 若，则
【答案】BCD
【解析】对于A，若，则，则，
因为，所以，
则，或，或，故A不正确；
对于B，若，则，则，
因为，所以，所以或，
所以或，故B正确；
对于C，，则
，故C正确；
对于D，若，则，则，则，
即，所以，故D正确.
故选：BCD.
11. 下列命题正确的是（ ）
A. 若，则存在唯一实数使得
B. 已知非零向量、和实数k，则“”是“”的必要而不充分条件
C. 若且，则三角形为等腰直角三角形
D. 若平面向量，，两两夹角相等，且，，，则
【答案】BC
【解析】对于A、若，时，不存在实数使得，所以选项A错误；
对于B、因为非零向量、，若，则与方向相反，则，
若，取，则，而，
故“”是“”的必要而不充分条件，故B正确；
对于C、因为，
对等式两边同时平方可得，
化简整理可得，所以，即
又因为，和分别是和方向上的单位向量，
设，，
则以，为邻边的平行四边形是菱形，是菱形的对角线，
，说明的平分线垂直于BC，所以，
综上，三角形为等腰直角三角形，选项 C正确；
对于D、平面向量，，两两夹角相等，则夹角可能为或，
当夹角为时，，选项D错误.
故选：BC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若向量，则与方向相反的单位向量为____________________.
【答案】
【解析】向量，则，故与方向相反的单位向量是
13. 长江流域内某地南北两岸平行，已知游船在静水中的航行速度的大小，水流的速度的大小为，如图，设和所成的角为，若游船从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则等于____________________.
【答案】
【解析】设船的实际速度为，
因为与所成的角为，北岸的点B在A的正北方向，
所以游船正好到达B处，则，
所以
14. 如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为已知在仿射坐标系下，，则__________.
【答案】
【解析】由题意，在仿射坐标系下，，
可得，，
所以，
，
.
则.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 设是不共线的两个非零向量.
（1）若与共线，求实数k的值.
（2）已知向量满足求.
解：（1）由与共线，则存在实数，
使得，即，
又是不共线的两个非零向量，
因此，解得，或，实数k的值是.
（2）因为，
所以，
所以，
所以.
16. 已知都是锐角，且，.
（1）求的值；
（2）求的值.
解：（1）因为，所以，
又因为，所以.
利用同角三角函数的基本关系可得，且，
解得.
（2）由（1）可得，.
因为为锐角，，所以.
所以
.
17. 如图，在边长为2的正方形中，分别是的中点.
（1）若，则的值；
（2）若交于点，求线段的长.
解：（1）以点为坐标原点，分别以，方向为轴正方向建立平面直角坐标系，
则，，，，，
则，，，
由可得：，
所以，
解得，因此.
（2）设，因为三点共线，所以，
则存在唯一实数，使得，
则，可得，，
即，
又三点共线，且，，则，
所以，解得，
则，所以，
所以，
所以线段的长.
18. 已知直角坐标系中，，，.
（1）若与平行，求的值；
（2）设点P的坐标为且点P在单位圆上运动，若，求的最大值．
解：（1），，
若与平行，则，即，
.
（2）由得，
，，，
由点P在单位圆上运动可设，，，
则，
其中，所以当，取得最大值为.
19. 已知函数，在中，
（1）若，
①求的最大值
②如图，，，，，为边上的中线，线段交于G，求的值．
（2）若，且，求
解：（1）由，
可得，
由得，
故或，，解得或，，
又A为的内角，故.
①，
因为，所以，，
则，
故当时，取最大值，最大值为
②设，
因E，G，F共线，所以，解得，所以，
又因为，
所以
.
（2），，
由得，
由，得，
，
.