江西省九师联盟2024-2025学年高一下学期3月联考数学试卷（解析版）

这是一份江西省九师联盟2024-2025学年高一下学期3月联考数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了单项选择题，四象限；则的终边在三，多项选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，所以，所以.
故选：B.
2. 若，且，则是（ ）
A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角
【答案】C
【解析】，则的终边在三、四象限；则的终边在三、一象限，
，，同时满足，则的终边在三象限．
故选：C.
3. 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题知，，解得，.
故选：C.
4. 已知是周期为4的函数，且时，，则（ ）
A. B. 0C. 1D. 3
【答案】A
【解析】因为是周期为4的函数，
且时，，
.
故选：A.
5. 若，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】根据诱导公式，可得.
因为函数在上单调递增，所以.
又在上单调递增，所以，所以.
故选：D.
6. 甲、乙、丙3名射击手组队完成一项任务，需要对同一目标各射击一次，3人命中与否互不影响，若甲命中乙未命中的概率为，乙命中丙未命中的概率为，甲命中丙也命中的概率为，则甲命中乙也命中的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设事件“甲命中”，事件“乙命中”，事件“丙命中”，
由题意解得
故甲命中乙也命中概率为.
故选：D.
7. 由于潮汐，某港口一天的海水水位（单位：）随时间（单位：h，）的变化近似满足关系式，若一天中最高水位为，最低水位为，则该港口一天内水位不小于的时长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题知，解得.
所以.
令，即.
因为，所以，
由正弦函数图象与性质可知，，解得.
所以该港口一天内水位不小于的时长为小时.
故选：C.
8. 已知函数，则（ ）
A. 为偶函数，且在上单调递增
B. 为偶函数，且在上单调递减
C. 为奇函数，且在上单调递增
D. 为奇函数，且在上单调递减
【答案】B
【解析】由题意可得的定义域为，
，
所以为偶函数.
设，则，，
所以，，，
于是，即，
所以在上单调递减.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列各角中，与20°终边相同的角为（ ）
A. B. 200°C. 370°D. 380°
【答案】AD
【解析】与终边相同的角的集合为，
当时，；当时，.
故选：AD.
10. 已知幂函数，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 函数为偶函数
C. 不等式的解集为
D. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为
【答案】BC
【解析】由幂函数的定义，知，故，所以，A错误；
由，得函数为偶函数，B正确；
由，得，解得，C正确；
若函数在上单调递增，必有解得，D错误.
故选：BC.
11. 已知函数（，）的图象关于直线对称，则下列说法正确的是（ ）
A. 若函数的最小正周期为，则
B. 若，则函数的图象关于点对称
C. 若，且的最小值为，则
D. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围为
【答案】ABD
【解析】由函数的图象关于直线对称，知，
解得.
对A选项：若函数最小正周期为，则，.
又，所以，A正确；
对B选项：当时，，
又，所以，所以.
令，解得，令，得，
所以函数的图象关于点对称，B正确；
对C选项：由三角函数的图象和性质，知，解得，
所以.
又，所以，C错误；
对D选项：由函数在区间上单调递增，得，
又，解得.
又时，与矛盾，所以，D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 某扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的半径为______.
【答案】
【解析】若扇形圆心角为，半径为，则弧长为：.
所以扇形的半径为.
13. 函数的最大值为______.
【答案】1
【解析】因为
，
所以（当，即，取“”）.
14. 已知函数，点，分别为函数图象上的最高点和最低点，若线段的长度的最小值为，且，则的值为______.
【答案】
【解析】令，则原函数可化为，
∴，的最小正周期为，
作出在上的函数图象，如图1，
∴在上的函数图象如图2，
由得，，的最小正周期为，故在的图象如图3，
如图，当点为一个周期内的最高点和最低点时，的长度最小，
此时，
∵，
∴，即，解得.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知角终边经过点.
（1）求，，的值；
（2）求的值.
解：（1）由题知，
所以，，.
（2）
.
16. 已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，求的最小值及此时的值.
解：（1）令，，
得，，
令，，
得，，
故函数的单调递增区间为，，
单调递减区间为，.
（2）因为，所以，
所以，
所以，所以的最小值为，
此时，解得，
所以时，的最小值为.
17. 已知函数（且，）的图象过点，.
（1）求的解析式；
（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
解：（1）因为函数的图象过点，，
所以，解得.
故.
（2）因为，，都为增函数，且，
所以函数在上单调递增，
所以不等式恒成立等价于恒成立，
即恒成立.
设，则，，
当且仅当，即时，等号成立，所以，
故实数的取值范围是.
18. 某企业以“庆祝春节，迎接新年”为主题的职工歌手大赛决赛如期举行，满分100分，共有100人参赛，将参赛歌手的成绩分成如下五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）根据频率分布直方图，求的值及参赛歌手的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）根据频率分布直方图，求参赛歌手成绩的分位数；
（3）从参赛成绩在和的歌手中，采用分层随机抽样方法抽取6名歌手，再从抽取的这6名歌手中随机抽取2名歌手，求这2名歌手比赛成绩在和内各1人的概率.
解：（1）第一至第五组对应的频率分别为；；
；；，
所以，解得，
所以参赛歌手的平均成绩为分.
（2）由，，
得参赛歌手成绩的分位数为分.
（3）由，得这6人中参赛成绩在的人数为人，
分别记为，，，；
在的人数为人，分别记为，.
在这6个人中抽取2个人，共，，，，，，，，，，，，，，，15个基本事件，
这2名歌手比赛成绩在和内各1人，共，，，，，，，，8个基本事件，
故这2名歌手比赛成绩在和内各1人的概率为.
19. 若函数满足，且，则称函数为“函数”.已知函数为“函数”.
（1）求函数的解析式；
（2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到的图象关于轴对称，求的最小值；
（3）讨论在上零点的个数.
解：（1）由，得，
所以是周期为6的函数，
由，得，所以是的一条对称轴，
因为函数为“函数”，所以，
是的一条对称轴，所以.
因为，所以，
所以函数的解析式为.
（2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），
得到函数，再将所得图象向左平移个单位长度，
得到，
因为的图象关于轴对称，
所以，解得.
因为，所以时，取最小值，为.
（3）由（1）知，.
令，得，
所以或，解得或.
因为最小正周期，所以时至多有2个零点.
若，则，此时在上零点的个数为2；
若，则，此时在上零点的个数为1；
当时，，此时在上零点的个数为0；
当时，此时，此时在上零点的个数为1.
综上，，则：
当时，在上零点的个数为0；
当或时，在上零点的个数为1；
当时，在上零点的个数为2.