河南省商丘市睢县睢县多乡镇联考2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试卷（解析版）

这是一份河南省商丘市睢县睢县多乡镇联考2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 下列式子一定是二次根式（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵的值可以是正数、负数、零，故选项A不一定是二次根式，不符合题意；
∵可以是正数、负数、零，故选项B不一定是二次根式，不符合题意；
∵，∴选项C一定是二次根式，符合题意；
∵值可以是正数、负数、零，故选项D不一定是二次根式，不符合题意；
故选：C．
2. 已知的三边长分别为a，b，c，则下列条件中，能判断是直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A、∵，∴，本选项不符合题意；
B、∵，满足，本选项符合题意；
C、∵，而，∴，本选项不符合题意；
D、∵，，
∴，本选项不符合题意．
故选：B．
3. 在根式，，，，中，最简二次根式有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】A
【解析】是最简二次根式；
，不是最简二次根式；
，不是最简二次根式；
，不是最简二次根式；
不是最简二次根式；
故选：A．
4. 如图，在数轴上作一个的正方形网格，以原点O为圆心，阴影正方形的边长为半径画弧，交数轴正半轴于点B，则点B在数轴上表示的数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由勾股定理得，，
∵以原点O为圆心，阴影正方形边长为半径的圆弧交数轴正半轴于点B，
∴，
∴点B在数轴上表示的数为，
故选：D．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：B．
6. 如图，一棵大树的一段被风吹断，顶端着地与地面成，顶端着地处与大树底端相距4米，则原来大树有（ ）
A. B. 米C. 米D. 米
【答案】C
【解析】在中，米，，
设，则，
根据勾股定理列出方程，
解得：（负值舍去），
原来大树是米．
故选：．
7. 估计的值应在（ ）
A. 7和8之间B. 8和9之间C. 9和10之间D. 10和11之间
【答案】D
【解析】，
，
，
即．
故选：D．
8. 如图，海天号、顺艺号两艘轮船同时从港口O出发，海天号轮船以20海里/时的速度向南偏东方向航行，顺艺号轮船向南偏西方向航行，已知它们离开港口O两小时后，两艘轮船相距50海里，则顺艺号轮船平均每小时航行（ ）
A. 15海里B. 16海里C. 17海里D. 18海里
【答案】A
【解析】由题意得：，
∴，
∴顺艺号轮船平每小时航行：（海里），
故选：A．
9. 已知n是正整数，是整数，则n的最小值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【解析】∵是整数，n是正整数，
∴n的最小值为5，
故选：D．
10. 如图，在中，，，若，则的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，过点作于，交于，过点作于，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，4，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴△ABC的面积．
故选：A．
二、填空题
11. 请写出一个比小的正整数______．
【答案】1或2．
【解析】∵，
∴，
∴比小的正整数有1，2，
故答案为：1或2．
12. 如图是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为3，2，2，5，则正方形G的面积为_____．
【答案】12
【解析】正方形A，B，C，D的面积分别为3，2，2，5，
，
，
，
故答案为：12．
13. 计算：____．
【答案】
【解析】，
，
，
，．
故答案为：．
14. 如图，一个无盖的长方体盒子的长、宽、高分别为，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，则它爬行的最短路程是______．
【答案】25
【解析】分两种情况：
①如图，展开后连接，则就是在表面上从A到B的最短距离，
在中，由勾股定理得：；
②如图，展开后连接，则就是在表面上从A到B的最短距离，
在中，由勾股定理得：
；
，
爬行的最短路程是，
故答案为：25．
15. 已知Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，∠ACB＝90°，以AC为一边在Rt△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为_____．
【答案】7或或
【解析】（1）如图1中，以点C所在顶点为直角时．
∵AC=CD=4，BC=3，∴BD=CD+BC=7；
（2）如图2中，以点D所在顶点为直角时，作DE⊥BC与E，连接BD．
在Rt△BDE中，DE=2，BE=5，∴BD；
（3）如图3中，以点A所在顶点为直角时，作DE⊥BC于E，
在Rt△BDE中，DE=4．BE=7，∴BD．
故答案为：7或或．
三、解答题
16. 计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
解：（1）原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式．
17. 先化简，再求值：，其中a是的小数部分．
解：
，
∵，
∴，
∴的整数部分为3，则的小数部分为，
当时，
原式．
18. 数学课上，老师拿了一张如图所示的等腰三角形纸片．已知底边，为上一点，且，．
（1）试判断的形状，并说明理由；
（2）求的长．
（1）证明：直角三角形，理由如下：
，，，
，
，
故是直角三角形；
（2）解：设，
，
等腰三角形纸片，
，
是直角三角形，
，
是直角三角形，
，
，
解得，
故．
19. 有一块长方形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加（即），宽增加（即），得到一个面积为的正方形．
（1）求长方形木板的面积；
（2）木工乙想从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，则是否可以裁出所求的长方形木料？
解：（1）∵长增加（即），宽增加（即），得到一个面积为的正方形．
∴正方形的边长为：，
∴，，
∴矩形木板的面积为；
（2）可以裁出，理由如下：
∵从长方形木板中裁出一个面积为，宽为，
∴裁出长为：，
由（1）得长方形的长为，宽为，
，，，
∴，，
∴可以裁出所求的长方形木料．
20. 与危险相伴，与烈火为伍，致敬和平年代的英雄，最美的逆行者——中国消防员．云梯消防车是常见的消防器械，云梯最多能伸长到30米，消防车高3米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为24米．
（1）求处与地面的距离．
（2）完成处的救援后，消防员发现在处的上方6米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米?
解：（1）在中，
米，米，
米，
米．
答：处与地面的距离是米；
（2）在中，
米，米，
米，
米．
答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米．
21. 如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．点A，B均在格点上．请在图中画出满足如下条件的图形（不写作法），并按要求写出证明．
（1）在图1中画出一个平行四边形，使点C，D也在格点上，且这个平行四边形的面积是4；
（2）在图2中画出一个正方形，使点C，D也在格点上，并简要证明是直角．
解：（1）如图，四边形即为所作；
（2）如图，四边形即为所作；
如图，则，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
22. 综合与实践
【问题情境】我们知道两个数的和为2，这两个数的平均数为1，按照这样简单的数学知识，我们给出一个新的数学概念，请仔细阅读理解，并且解答一些问题，若，则与的平均数是1，我们称与是关于1的平衡数．例如，3与是关于1的平衡数．
【思考尝试】
（1）4与_____是关于1的平衡数；与_____是关于1的平衡数．
【实践探究】
（2）与是关于1的平衡数，同时，与也是关于1的平衡数，求与的值．
【拓展延伸】
（3）若，试判断与是否是关于1的平衡数，并说明理由．
解：（1）由题意得，，，
与是关于1的平衡数，与是关于1的平衡数，
故答案为：；
（2）与是关于1的平衡数，与也是关于1的平衡数，
，
解得，
（3）不，理由如下，
，，
，
，
即，
，
，
与不是关于1的平衡数．
23. 如图，△ABC中，，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；
（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；
（3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．
解：（1）如图，∵∴
设存在点P，使得PA=PB，
此时PA=PB=2t，PC=4-2t，
在Rt△PCB中，，
即：，解得：，
∴当时，PA=PB；
（2）当点P在∠BAC的平分线上时，如图，
过点P作PE⊥AB于点E，，
此时
∵
∴
在Rt△BEP中，，
即：，解得：，
∴当时，P在△ABC的角平分线上，
当点P运动到点A时，也符合题意，此时t=6，
综上所述，满足条件的t的值为或6．
（3）在Rt△ABC中，∵AB=5cm，BC=3cm，
∴AC=4cm，根据题意得：AP=2t，
当P在AC上时，△BCP为等腰三角形，
∴PC=BC，即，∴，
当P在AB上时，△BCP为等腰三角形，
①CP=PB，点P在BC的垂直平分线上，如图，
过P作PE⊥BC于E，
∴
∴
∴
∴
即，解得：，
②PB=BC，即，
解得：t=5，
③PC=BC，如图，过C作CF⊥AB于F，
∴，
∵，
∴解得：
∴
∴
∴
∴，
∴当，5，或时，△BCP为等腰三角形．