河北省邯郸市2024-2025学年高一下学期3月月考（一调）数学试卷（解析版）

这是一份河北省邯郸市2024-2025学年高一下学期3月月考（一调）数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 化简（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】.
故选：A.
2. 已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】由题意知，
所以，所以复数在复平面内对应的点为，位于第四象限.
故选：D.
3. 已知为虚数单位，则复数（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】．
故选：A．
4. 已知的内角的对边分别是，则“是钝角三角形”是 “” 的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若△ABC中B为钝角，则C为锐角，，即有，故充分性不成立；
若，由余弦定理得即C为钝角，故必要性成立.
故选：B.
5. 若单位向量，满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为，为单位向量，两边平方，得，
所以，则．
故选：D．
6. 已知向量，若与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】依题可得，且不共线，即，解得且.
故选：C.
7. 如图，小明想测量自己家所在楼对面的电视塔的高度，他在自己家阳台M处，M到楼地面底部点N的距离为，假设电视塔底部为E点，塔顶为F点，在自己家所在的楼与电视塔之间选一点P，且E，N，P三点共处同一水平线，在P处测得阳台M处、电视塔顶处的仰角分别是和，在阳台M处测得电视塔顶F处的仰角，假设，和点P在同一平面内，则小明测得的电视塔的高为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】在中，，
在中，，，
则，
由正弦定理，
可得，
在中，(m).
故选：A.
8. 在等腰中，为上一点，且，记的外心为，若，则（ ）
A. 9B. 12C. D. 27
【答案】C
【解析】因为，所以在上，
又因为等腰的外心为，，所以在的中垂线上，
又的中垂线和的角平分线重合，所以平分，即，
因为，所以，所以，
在与中，由正弦定理可得①，
②，
因为，所以，
又，
两式相除可得，由，所以，
设，则，
在与中，
由余弦定理可得，
即，解得（负值舍去），
则，
在中，
所以.
故选：C
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若两个非零向量共线，则必在同一直线上
B. 若向量与平行，与平行，则，方向相同或相反
C. 若非零向量与是共线向量，则它们的夹角是0°或180°
D. 平行向量就是共线向量，共线向量就是平行向量
【答案】CD
【解析】对选项A，若两个非零向量 共线，则与平行或在一条直线上，故A错误.
对选项B，若，与不平行，则满足向量与平行，与平行，故B错误.
对选项C，若非零向量与 是共线向量，则它们的夹角是0°或180°，故C正确.
对选项D，平行向量就是共线向量，共线向量就是平行向量，故D正确.
故选：CD.
10. 若复数在复平面内对应的点为，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则在第二象限
B. 若为纯虚数，则在虚轴上
C. 若，则点的集合所构成的图形的面积为
D. 若，则为实数
【答案】BD
【解析】对于A，，故，点在实轴上，故A错误；
对于B，若为纯虚数，则在虚轴上，故B正确；
对于C，，则点的集合所构成的图形是半径为3的圆，面积为，故C错误；
对于D，设，则，
则，故D正确.
故选：BD.
11. 如图，已知正八边形的边长为1，是它的中心，是它边上任意一点，则（ ）
A. 与不能构成一组基底
B.
C. 在上的投影向量的模为
D. 的取值范围为
【答案】AD
【解析】对于A：连接，，，
，，
，
以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
则
，
，
与平行，不能构成一组基底，故A正确；
对于B：，，
，
，
，故B错误；
对于C：，，，
，，
在向量上的投影向量的模长为，故C错误；
对于D：取的中点，则，，
，，
两式相减得：，
当点与点或重合时，最大，最大值为，
的最大值为，
当点与点重合时，最小为，的最小值为，
的取值范围为，故D正确.
故选：AD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，，若，则__________．
【答案】
【解析】，，且，
∴，解得，
∴，可得．
13. 在中，是上一点，若，则__________.
【答案】
【解析】在中，，
则，
又，且不共线，
则，所以.
14. 已知锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】因为，由余弦定理得，
则，所以，
又，所以，解得或，
因为为锐角三角形，所以，，
所以，
其中，
由正弦定理得
，
因为为锐角三角形，
所以，即，所以，
所以，所以，
所以，，
故.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在平面直角坐标系中，点，，记，．
（1）设在上的投影向量为（是与同向的单位向量），求的值；
（2）若四边形为平行四边形，求点C的坐标．
解：（1）设与的夹角为，
则．
（2）设点，因为四边形为平行四边形，所以．
又，，
所以，解得．
故．
16. 已知复数满足.
（1）求复数和；
（2）若复数是关于的方程的一个根，求实数a，b的值.
解：（1）因为复数满足，
所以，
所以.
所以.
（2）因为复数是关于的方程的一个根，
由（1）知，所以
，
所以，
解得，.
17. 如图，在中，，点满足边上的中线与交于点．设．
（1）用向量表示；
（2）求的大小．
解：（1）由可知，，
则，
所以；
又为边上中线，所以．
（2）由得，
又，所以向量与的夹角为，则，
由图形可知，的大小等于向量与的夹角，
又，
，
，
所以，
又，所以．
18. 在锐角△中，角的对边分别为，且．
（1）求角的大小；
（2）若，求的取值范围．
解：（1），
由余弦定理可得，
整理得，
∴，
∵，∴，∴，∴．
（2）由正弦定理可知△的外接圆半径为，
∴，∴，
∴
．
∵△为锐角三角形，∴即∴，
∴，∴，∴，
即的取值范围为．
19. 若A，B，C是平面内不共线的三点，且同时满足以下两个条件：①；②存在异于点A的点G使得：与同向且，则称点A，B，C为可交换点组．已知点A，B，C是可交换点组．
（1）求∠BAC；
（2）若，，，求C的坐标；
（3）记a，b，c中的最小值为，若，，点P满足，求的取值范围．
解：（1）因为与同向，设，
则，
，
又∠GAB，．
因为，所以，
所以，
由，得，
又，所以，．
（2）由（1）知，．
所以，
因为，，，
所以，，，
则，解得
所以C的坐标为．
（3）设BC的中点为D，则，又，
所以，即G为的重心，又是正三角形，点G是的中心，
所以，，，
由对称性，不妨设与的夹角为，，如图所示，
，
，
由图可知，与，与的夹角分别为，，
所以，的值分别为，，
当时，，
所以，其取值范围是．
所以的取值范围是．