浙江省浙南名校联盟2024-2025学年高一下学期2月返校考试数学试卷（解析版）

这是一份浙江省浙南名校联盟2024-2025学年高一下学期2月返校考试数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以.
故选：B.
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】解不等式得或，
因为是或的真子集，
所以，是或充分不必要条件，
即“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3. 若函数则的值为（ ）
A. B. C. 3eD.
【答案】D
【解析】令得则.
故选：D.
4. 终边上一点坐标为则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由三角函数的定义可知
则
故选：C.
5. 若函数对任意的有恒成立，则函数可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为函数对任意的
有恒成立，
即对任意的有恒成立，
故在为向下凹的函数，
对于A、的图像为：
不满足题意，故A错误；
对于B、的图像为：
不满足题意，故B错误；
对于C、的图像为：
不满足题意，故C错误；
对于D、的图像为：
满足题意，故D正确.
故选：D.
6. 已知函数在上是减函数，则a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据题意，函数在上是减函数，
则有，解可得，即a的取值范围为.
故选：B.
7. 已知，则的最小值为（ ）
A. B. 5C. D.
【答案】C
【解析】由题意得且所以
所以
当且仅当即时取等号，
所以的最小值为
故选：C.
8. 设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以，
因为在单调递增，且，
所以，所以，
因为，所以，所以；
因为，所以，则，
所以，则，
所以.
故选：
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 为了得到函数的图象，只需将函数图象上的点（ ）
A. 向右平移个单位长度B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度D. 向左平移个单位长度
【答案】BD
【解析】因为，
对于A：将函数图象上的点向右平移个单位长度，
得故A错误；
对于B：将函数图象上点向右平移个单位长度，
得
故B正确；
对于C：将函数图象上的点向左平移个单位长度，
得故C错误；
对于D：将函数图象上的点向向左平移个单位长度，
得故D正确.
故选：BD.
10. 已知则下列说法正确的有（ ）
A. 当时在上单调递增
B. 当时，方程有两个不同的实数根且
C. 若在时，有恒成立，则a的取值范围为
D. 存在实数t，使为偶函数
【答案】ACD
【解析】对A选项，当时
在上单调递增，且
又上单调递增，
根据复合函数的单调性可得在上单调递增选项正确；
对B选项，当时
令可得，，
，，
，B选项错误；
对C选项，当时，令
因为恒成立，
若则在恒成立，即在恒成立，
因为所以恒成立，满足条件，
若，则在恒成立，
即在恒成立，当时
不满足恒成立，所以a的取值范围是C选项正确；
对D选项又为偶函数，
存在使为偶函数D选项正确.
故选：ACD.
11. 对于平面内的一个有限点集由有限个点组成的集合若该点集内的每个点都恰有三个与之距离最近的点这三个点也在点集内则称这样的点集为“对称集”，记作其中n表示该点集内点的个数.如集合不存在；集合存在，该集合内16个点的一种分布方式为如图所示，则使存在的n还可以为（ ）
A. 20B. 24C. 4D. 5
【答案】AB
【解析】根据题目定义，对称集要求每个点有三个最近的邻点，且这些邻点均在点集内.
结合图论中的正则图每个顶点度数为需满足边数为整数，
故 n必须为偶数.题目中已给出存在的例子，而不存在.几何构造分析表明，
在平面中满足每个点有三个等距邻点的有限点集需要高度对称的结构，
如蜂窝状或特殊网格排列，但此类构造仅对特定偶数可行.
最终答案所有可能的n值为偶数且
所以或者.
故选：AB.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若扇形的弧长为，面积为，则扇形的圆心角为________弧度．
【答案】
【解析】设扇形半径为R，圆心角为，则，
则，解得
13. 已知函数，且为偶函数，则的值为________.
【答案】1
【解析】因为为偶函数，
则为偶函数，
而是偶函数，故是偶函数，
所以，所以，
将代入函数，得，
因此，所以的值为1.
14. 已知，若，则的取值范围是________.
【答案】
【解析】因为，
，
所以，
于是由已知得：，即，
因为，若，即，
则，
这时，不符合条件；
若，即，
则，
这时，也不符合条件；
因此，一定有，
所以，
因为，所以，
，，
即
当时，，
当时，
因此，.
四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知集合.
（1）求；
（2）若的解集为C求实数m取值范围.
解：（1），
；
所以.
（2）记
因为，
故，所以
即实数m取值范围为
16. 已知函数
（1）判断在定义域上的单调性，并用定义证明；
（2）若存在使方程有解，求实数k的取值范围.
解：（1）在定义域上单调递增，
证明如下：任取且
，
又则，
所以即
即在定义域上单调递增.
（2）令，
又上单调递增，则，
即方程在在上有解.
①当时，此时不成立；
②当即时
当时，，当，，
所以
所以
17. 如图为一个摩天轮的示意图，该摩天轮半径为5m，圆上最低点与地面距离为1m，300秒转动一圈.图中OA与地面垂直，摩天轮上的某车厢开始位于最低点A处，以OA为始边，逆时针转动角到OB，设B点与地面距离是
（1）求h与间的函数关系式；
（2）设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函数关系式，并求该车厢第2次到达最高点时用时是多少.
解：（1）以圆心原点，建立如图所示的坐标系，
则以为始边，为终边的角为
故点B坐标为，
（2）秒转动一圈，所以该摩天轮转动的周期
所以其转动的角速度是
故ts转过的弧度数为
令得所以
得令得
该车厢第2次到达最高点时，用的时间为
18. 已知函数为奇函数.
（1）求a的值；
（2）若求不等式的解集.
解：（1）由为奇函数，
得
即整理得对定义域内的x都成立，
可得，则，
令，解得，经检验符合题意.
（2）由（1）可得
令由在上单调递减在上单调递减，
所以在上单调递增，又在上也单调递增，
所以在上单调递增，由的定义域为得，
所以的定义域为，易知函数在上单调递增，
由，可得，则
则可转化为
因为在上单调递增，所以，解得，
即不等式的解集为
19. 在人教A版必修第一册P160页中，出现了这两个函数.其实这两个函数在数学中被定义为双曲函数：双曲正弦函数双曲余弦函数.(是自然对数的底数，)双曲函数是与三角函数相类似的函数.比如为R上的奇函数为R上的偶函数.
（1）类比两角和余弦公式，写出两角和的双曲正弦公式：_________，并加以证明；
（2）证明：，在上有且仅有一个零点；
（3）已知，记函数，.函数的零点为；函数的零点为，且满足，若恒成立，求a的取值范围.
解：（1）由于，
，
则，
所以.
（2）证明：因为函数，
所以易知函数在上单调递增，
因为，，，
所以由零点存在定理，函数在上有且仅有1个零点.
（3）因为函数是偶函数，所以，则，易知，
由，当且仅当时，等号成立，则，所以，
令，整理可得，
因为存在两个零点，所以，，，
同理，整理可得，
由于，所以，又由于为偶函数，
所以，关于单调递增；
由，则，
当c趋向1时，趋向最大的取值5，趋向最小的取值，
所以要使不等式恒成立，则，
令，关于单调递减，且，所以