江苏省海安市高级中学、宿迁中学2025届高三（下）4月月考数学试卷（含解析）

这是一份江苏省海安市高级中学、宿迁中学2025届高三（下）4月月考数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|x2≤6}，B={x∈Z|−20.若P(μ−σ0)与C2：y=−2px2+4围成的封闭曲线C，如图所示，设C的左、右顶点分别为A、B，上、下顶点分别为D、O，则下列结论正确的是( )
A. 若C1，C2的焦点重合，则p=116
B. 若AB=OD，则C1与C2的准线之间的距离为5
C. 设C1的焦点为F，|BF|=3，C上一点M的纵坐标yM≥2，则MF的最小值为2 2
D. 若分别作曲线段AO，OB，BD，DA的切线，则存在p≥116，使得四条切线能围成矩形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若Cn2=4(Cn1−Cn0)(n∈N)，则二项式(2x−1x)n展开式中常数项为______.(结果用数字作答)
13.已知函数f(x)=csx( 3sinx−csx)+12，若存在x1，x2∈[−π,2π]，使得f(x1)f(x2)=−1，则x1−x2的最大值为______．
14.已知函数f(x)，若满足以下两个条件：
①当x>0时，f(x)>0；②∀x，y∈(0,+∞)，均有f(x+y)≥f(x)+f(y)，则称f(x)为“优质函数”.若函数ℎ(x)=t(2−x−1)+2x−1是“优质函数”，则函数ℎ(x)在(0,+∞)上的单调性情况是______(填“递增”、“递减”或“无单调性”)；实数t的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=4，2Sn=(n+1)an,n∈N∗．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=an3n，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn0)经过点(4 2,−3)，一条渐近线方程为y=34x．
(1)求双曲线C的方程；
(2)设O为原点，若点A是双曲线C上的动点，点B在直线x=−125，且OA⊥OB．
(i)求△AOB面积S的最小值；
(ii)判断是否存在定圆与直线AB相切，若存在，求出定圆方程；若不存在，说明理由．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=exsinx，g(x)=2ln(x+1)−x．
(1)求函数f(x)的在x=0处的切线方程；
(2)求证：当x∈(0,π2)时，f(x)>exg(x)；
(3)求证：12ln(n+1)t，可得t≤1；
当x，y>0时，均有ℎ(x+y)≥ℎ(x)+ℎ(y)，
即t(2−(x+y)−1)+2x+y−1≥t(2−x−1)+2x−1+t(2−y−1)+2y−1，
整理得t(2−x−1)(1−2−y)≤(2x−1)(2y−1)，
则−t(2x−1)(2y−1)≤(2x−1)(2y−1)⋅2x+y，
因为x，y>0，
则2x−1>0，2y−1>0，
可得−t≤2x+y且x+y>0，
则2x+y>1，
可得−t≤1，即t≥−1，
综上所述：实数t的取值范围是[−1,1]．
故答案为：递增；[−1,1]．
设x=x2，y=x1−x2，令x1>x2，根据题意结合单调性的定义分析判断函数ℎ(x)的单调性；
由①整理可得2x>t，即可得t≤1，由②整理可得−t≤2x+y，即可得t≥−1，进而可得结果．
本题考查了“优质函数”的定义及性质，考查了利用定义法判抽象函数的单调性，考查了指数函数的性质及逻辑推理能力，属于中档题．
15.【答案】an=4n；
证明过程见详解．
【解析】(1)解：当n≥2时，由2Sn=(n+1)an得2Sn−1=nan−1，
两式相减得(n−1)an=nan−1，所以ann=an−1n−1，
则数列{ann}是常数数列，则ann=a11，
因为a1=4，所以an=4n；
(2)证明：bn=an3n=4n(13)n，可得Tn=4×(13)1+8×(13)2+12×(13)3+……+4(n−1)×(13)n−1+4n×(13)n，
所以13Tn=4×(13)2+8×(13)3+12×(13)4+……+4(n−1)×(13)n+4n×(13)n+1，
两式相减行23Tn=4×13+4×(13)2+4×(13)3+……+4×(13)n−4n×(13)n+1
=43[1−(13)n]1−13−4n×(13)n+1=2−2×(13)n−4n×(13)n+1=2−6+4n3n+1，
所以Tn=32(2−6+4n3n+1)=3−3+2n3n，
因为3+2n3n>0，所以Tn10.828，
依据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为该药物与预防该疾病有关；
(2)由于1−P(A|B)=1−P(AB)P(B)=P(B)−P(AB)P(B)=P(A−B)P(B)=P(A−|B)，
所以R2=P(A|B)1−P(A|B)=P(A|B)P(A−|B)，R1=P(A)1−P(A)=P(A)P(A−)，
所以R2R1=P(A|B)P(A−|B)P(A)P(A−)=P(A|B)P(A−)P(A−|B)P(A)=P(AB)P(B)P(A−)P(A−B)P(B)P(A)=P(AB)P(A)P(A−B)P(A−)=P(B|A)P(B|A−)，
由列联表中的数据可得P(B|A)=1035=27，P(B|A−)=3045=23，
所以R2R1=37；
(3)由题可知，抽取的45只没发病的动物中使用该药物和没使用该药物的动物分别为30人和15人，
所以从没发病的动物中随机抽取1只，抽取的是使用了该药物的概率为3030+15=23，
则由题意可知，X=0，1，2，3，且X～B(3,23)，
所以P(X=0)=C30(13)3=127，P(X=1)=C31×(23)1×(13)2=29，P(X=2)=C32×(23)2×13=49，P(X=3)=(23)3=827，
所以随机变量X的分布列为：
所以E(X)=3×23=2．
(1)计算χ2的值，再与临界值比较即可；
(2)利用条件概率公式证明；
(3)题意可知，X=0，1，2，3，且X～B(3,23)，利用二项分布的概率公式求出相应的概率，进而得到X的分布列和期望．
本题主要考查了独立性检验的应用，考查了条件概率公式，以及离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
18.【答案】x216−y29=1； (i)16；(ii)存在定圆x2+y2=16．
【解析】解：(1)双曲线C：x2a2−y2b2=1(a,b>0)经过点(4 2,−3)，
且一条渐近线方程为y=34x，
所以32a2−9b2=1ba=34，
解得a2=16b2=9，
所以C的标准方程为x216−y29=1；
(2)设A(x0,y0)，B(−125,t)，
(i)由点A双曲线C上的动点，则x0216−y029=1，
由于OA⊥OB，则−125x0+ty0=0，
显然y0≠0，可得t=12x05y0，
且OA2=x02+y02，OB2=14425+t2，
所以S2=14(14425+t2)(x02+y02)=14(14425+144x0225y02)(x02+y02)
=3625×(x02+y02)2y02=3625×(16+25y029)2y02=3625×(16|y0|+25|y0|9)2
≥3625×(2 16|y0|×25|y0|9)2=3625×4×16×259=162，
则当且仅当y0=±125时，等号成立，Smin=16；
(ii)由对称性可知，若存在定圆，则定圆圆心在x轴上，
当点A趋于顶点时，点B趋于无穷远处，此时切线的极限位置为x=±4，
由此猜想定圆为x2+y2=16，
下面进行证明：
显然x0≠−125，直线AB：y−t=y0−1x0+125(x+125)，
即(y0−t)x−(x0+125)y+tx0+125y0=0，
点O到直线AB的距离为d=|tx0+125y0| (y0−t)2+(x0+125)2=12(x02+y02)5|y0| (y0−12x05y0)2+(x0+125)2=12(x02+y02)5|y0| x02+y02+14425(x02y02+1)=12(x02+y02)5|y0| (x02+y02)×144+25y0225y02=12(x02+y02) 912(x02+y02)2=4，
所以存在定圆x2+y2=16与直线AB相切．
(1)根据题意可得32a2−9b2=1ba=34，求解即可得解；
(2)(i)设A(x0,y0)，B(−125,t)，由OA⊥OB，得t=12x05y0，表示出△AOB面积S，结合基本不等式求最值；
(ii)由对称性可知，若存在定圆，则定圆圆心在x轴上，当点A趋于顶点时，点B趋于无穷远处，此时切线的极限位置为x=±4，由此猜想定圆为x2+y2=16，进行证明即可．
本题考查双曲线方程与性质的应用，考查直线与圆方程的应用，属于难题．
19.【答案】y=x；
证明详见解析；
证明详见解析．
【解析】解：(1)因为f′(x)=exsinx+excsx
=ex(sinx+csx)= 2exsin(x+π4)，
所以切线斜率k=f′(0)=1，又因为f(0)=0，则切点为(0,0)，所以切线方程为y=x；
(2)证明：即证明μ(x)=sinx+x−2ln(x+1)>0，
则μ′(x)=csx+1−2x+1，且μ(0)=0，μ′(0)=0，
当x∈(0,π2)时，μ′(x)=−sinx+2(x+1)2，
因为函数y=−sinx、y=2(x+1)2在(0,π2)上均为减函数，
则μ′′(x)在(0,π2)内单调递减，
又因为μ′(0)=2>0，μ″(π2)=−1+2(π2+1)20，n′(π2)=−1+1(π2+1)20，所以ln2n+12n>ln2n+22n+1，
所以2(sin12+sin14+⋯+sin12n)>2(ln32+ln54+⋯+ln2n+12n) >ln32+ln43+ln54+ln65+⋯+ln2n+12n+ln2n+22n+1
=ln3−ln2+ln4−ln3+...+ln(2n+2)−ln(2n+1)=ln(n+1)，所以sin12+sin14+⋯+sin12n>12ln(n+1)得证，
设p(x)=sinx−x(0