浙江宁波2025年中考数学一模试卷附答案

这是一份浙江宁波2025年中考数学一模试卷附答案，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，则正方形的边长可能是（ ）
A．1B．C．D．3
2．在网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在的网格中，点、、都在格点上，那么的正切值是（ ）
A．B．C．D．
3．有4根细木棒，它们的长度分别是.从中任取3根饸好能搭成一个三角形的概率是（ ）
A．B．C．D．1
4．已知关于的分式方程有增根，则的值是（ ）
A．-3B．-2C．0D．2
5．如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示-1的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示2025的点与圆周上表示哪个数字的点重合？（ ）
A．0B．1C．2D．3
6．已知，则的值是（ ）
A．13B．11C．9D．8
7．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点在反比例函数的图像上，延长AB交轴于点，且是第二象限一点，且，若的面积是15，则的值为（ ）
A．8B．10C．11.5D．13
8．如图，在中，，点是BC边上的一点，且，点是AC边上一个动点，连接MN，以MN为直角边，点为直角顶点，在MN的左侧作等腰直角三角形MNQ，则CQ的最小值是（ ）
A．B．C．D．
9．在菱形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，连接CE，CF.若，，则BC的长为（ ）
A．B．C．D．6
10．如图，已知内接于，点为BC的中点，连结AM交于点，且为的中点，连结CE，在BC上存在点，使得，若，则AC的长（ ）
A．4B．C．D．
二、填空题（每小题5分，共40分）
11．在矩形ABCD中，，点在线段AD上，且，则点到矩形对角线所在直线的距离是 .
12．若方程组的解是，则方程组的解是 .
13．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；苦改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，则规定时间为 天.
14．小明在研究函数特性时，给出了这样的定义：对于函数图象上的点，若且，则称点为该函数的“轴近点”.已知一次函数（为常数）的图象上存在“轴近点”，则的取值范围 .
15．如图，已知正方形ABCD的边长为3，P是BC中点，点在BD上且满足，延长AF分别交CD于点，交BC的延长线于点，则EM的长为 .
16．如图，为直角三角形，且，以为圆心，OA为半径作圆与OB交于点，过点作于点交圆于点，延长AO交圆于点，连结DE交AC于点，若圆的半径为，则AM的长为 .
17．已知二次函数，其顶点纵坐标为，点在该函数图象上，若在点右侧（不含点）的函数图象上，恰好有三个点到轴的距离为，则的取值范围是 .
18．如图所示，在中，，点为AC上一点，满足，且，过点作于点，连接AP交CB于点，则 （结果用含的代数式表达）
三、解答题（本大题有6小题，共70分）
19．在不透明的袋中有大小、形状和质地等完全相同的小球，它们分别标有数字.从袋中任意摸出一个小球，然后放回，将袋中的小球搅匀后，再从袋中摸出另一小球.
（1）请你用列表或画树状图的方法表示摸出小球上的数字可能出现的所有结果.
（2）将第一次摸出的数字作为点的横坐标，第二次摸出的数字作为点的纵坐标，求点落在双曲线上的概率.
20．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上.
（1）在的边AB上找到一点，连结CD，使得的面积与的面积之比为3：2，请仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，并保留作图迹.
（2）在网格中找到一个格点（点不同于A、B、C），连结AE、BE，使得ACB，请仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，并保留作图痕迹.
21．已知点在二次函数的图象上，且满足.
（1）如图，若二次函数的图象经过点，若，此时二次函数图象的顶点为点，求；
（2）当时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求的取值范围.
22．在平面直角坐标系中，直线文轴于点，交轴于点，点的坐标为.
（1）求直线BC的函数表达式.
（2）点是轴上一动点，连接BD、CD，当的面积是面积的时，求点的坐标.
（3）点坐标为，连接CE，点为直线AB上一点，若，求点坐标.
23．如图，已知AB是的直径，是上一点，CD是的切线，且CD于点D，延长DA交于点，连结CM交AB于点，
（1）如图1，作于点，
①求证
②若，则FM的长.
（2）若，求.
24．
（1）如图1，在中，是BC上一点，交AD于点，则 （用图中已有线段表示）；
（2）如图2，在中，M、N是AB上的两点，且满足，在BC上取一点，过点作分别交CM的延长线、CN于点P、Q，求的值；
（3）如图3，在正方形ABCD中，点是BC上一点，连结AE交BD于点，在AF上取一点，使得，若，求BE的长.
答案
【解析】【解答】解：由题意可设正方形ABCD的面积为S，则其范围为1＜S＜5，
那么其边长范围为1＜a＜，
所以其边长为，
故答案为：B．
【分析】根据算术平方根的定义即可求出答案。
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
则，
设小正方形网格的边长为，
则由勾股定理得：，，
在中，
，
故答案为：D．
【分析】根据所给网格，连接得出与垂直，再结合正切的定义即可求出答案.
【解析】【解答】解：从4根细木棒中随机抽出3根木棒，共有4种等可能的结果， 分别为3、 5、 7；3、 5、 9 ；3、 7、 9； 5、 7、9，其中能够组成三角形的结果有3种，
∴从中任取3根恰好能搭成一个三角形的概率是
故答案为：C.
【分析】利用列举法得到所有4种等可能的结果，再根据三角形的三边关系得到能够组成三角形的结果有3种，然后根据概率公式求解即可.
【解析】【解答】解：∵关于x的分式方程 有增根，
解得：
方程的两边同乘( 得：
解得：
故答案为：D.
【分析】先求解方程的增根，再将分式方程化为整式方程，将方程的增根代入整式方程计算可求解.
【解析】【解答】解：
所以数轴上表示2025的点与圆周上的数字2重合，
故答案为： C.
【分析】根据圆的周长为4个单位长度，先求出此圆在数轴上向右滚动的距离，再除以4，然后根据余数判断与圆周上哪个数字重合.
【解析】【解答】解：令 则原式可化简为
则
解得： 即
故答案为：C.
【分析】观察题干相关条件，采用整体代换的思想，即可求解.
【解析】【解答】解：连接OA， OB， 过A作 轴于H，过B作 轴于G，
∴AH∥BG，
∵A、B两点在反比例函数 的图象上，
∴设
，
∴k=10，
故答案为：B.
【分析】连接OA， OB， 过A作 轴于H，过B作 轴于G，根据平行线分线段成比例定理得到 求得 设 得到 由 ， 得到根据三角形的面积和梯形的面积公式列方程即可得到结论.
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴AB=2AC=2，
∴，
∵，
∴；
延长AC使CE=CN，连接EN，连接EQ、BC交于点F，
∴△CEN和△MNQ是等腰直角三角形，
∴，，∠MNQ=∠CNE=45°，
∴，∠MNC=∠QEN，
∴△MNC∽△QNE，
∴∠QEN=∠MCN=90°，
∴∠QEC=45°，
当CQ⊥EF时，CQ最短，
∴
，
∴
故答案为：B.
【分析】在Rt△ABC中，利用解直角三角形求出AB、BC的长；结合已知条件可求出CN的长；延长AC使CE=CN，连接EN，连接EQ、BC交于点F，利用等腰直角三角形的性质，易证∠MNC=∠QEN，同时可证得，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得△MNC∽△QNE，利用相似三角形的性质可推出∠QEN=∠MCN=90°，∠QEC=45°；当CQ⊥EF时，CQ最短，可求出CE的长，利用解直角三角形求出EF的长，即可得到CQ的长.
【解析】【解答】解：如图，连接AC和BD交于点O，连接EF交AC与点M，过点E作EN⊥CF于点N，
∵ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，∠EAC=∠FAC，AC⊥BD，
又∵E、F是AB、AD的中点，
∴AE=AF，
∴△AEC≌△AFC，
∴CF=CE=10，
又∵，
∴EN=CE×sin∠ECF=6，
∴，
∴FN=CF-CN=10-8=2，
∴，
又∵AE=AF，∠EAC=∠FAC，
∴，
∴，
又∵E、F是AB、AD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF∥BD，
∴AM=MO=，
∴，
∴BC=AB=2AE= ，
故答案为：A.
【分析】连接AC和BD交于点O，连接EF交AC与点M，过点E作EN⊥CF于点N，根据菱形的性质得到△AEC≌△AFC，即可得到CF=CE=10，然后根据正弦的定义和勾股定理求出CN、EF和CM长，再根据三角形的中位线得到EF∥BD，求出AM长，然后利用勾股定理求出AE长解题即可.
【解析】【解答】解：连接BE，过点H作FH∥AE，交BE于点F，
∴∠EHF=∠AEH，，
∵，
∴∠AEB=∠ACB，
∵，
∴，
∴HE平分∠AEB，
∴∠EHF=∠AEH=∠HEF
∴HF=EF，∠HFB=2∠HEF=∠BCA，
∴，
∵点C为弧AE的中点，
∴，
∴∠CAM=∠AEC=∠CBA=∠CBE，
∵∠ACM=∠ACB，
∴△ACB∽△MAC，
∴，
∵点M为BC的中点，
∴BC=2MC，
∴
∴，
∵∠HFB=∠BCA，∠CAM=∠CBE，
∴△BFH∽△ACM，
∴即
∴
∴
∴∴，
∴
∴
故答案为：C.
【分析】连接BE，过点H作FH∥AE，交BE于点F，利用平行线分线段成比例定理可证得∠EHF=∠AEH，，再利用同弧所对的圆周角相等及已知条件可推出∠EHF=∠AEH=∠HEF，即可得到HF=EF，∠HFB=2∠HEF=∠BCA，由此可证得，再利用圆周角定理去证明∠CAM=∠AEC=∠CBA=∠CBE，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ACB∽△MAC，由此可得到；再证明△BFH∽△ACM，利用相似三角形的性质可求出MH的长，即可得到MC的长，然后求出AC的长.
【解析】【解答】解：作FH⊥AC于点H， FE⊥BD于点E， 则∠AHF =∠DEF =90°，
∵四边形ABCD是矩形， AB=5， BC=10，
∴CD=AB=5，AD= BC = 10，∠ADC=∠DAB=90°

∵点F在线段AD上， 且AF =3，
∴DF=AD﹣AF=10﹣3= 7，
∴点F到矩形对角线所在直线的距离是 或
故答案为： 或
【分析】作FH⊥AC于点H， FE⊥BD于点E， 由矩形的性质，利用勾股定理求出 由AF =3， 得DF =7， 由 代入数值即可解题.
【解析】【解答】解：解：
方程组 可化为方程组
∵的解是
解得
故答案为：
【分析】把原方程组变形后得到，，然后解题即可.
【解析】【解答】解：设规定时间为x天，则快马所需的时间为
天，慢马所需的时间为 天，
由题意得：
解得：
经检验， 是原方程的解，且符合题意.
故答案为： 11.
【分析】设规定时间为x天，则快马所需的时间为 天，慢马所需的时间为 天，由快马的速度是慢马的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论.
【解析】【解答】解：
∴函数恒过点(3，0)，
∵一次函数 (k为常数)的图象上存在“轴近点”，
∴当 时，
即
解得
当 时，
即
解得
故答案为： 且.
【分析】先得到直线过点(3，0)，图象上存在“轴近点”，然后根据x取最大和最小值时得到k的取值范围即可.
【解析】【解答】解：
连接FC， 过点F作FK⊥AB于点K， FN⊥BC于点N，如图所示：
∴∠FKB=∠FKA =∠FNB=90°，
∵四边形ABCD是正方形，且边长为3，
∴AB=CB=CD=AD=3，AD∥BC，AB∥CD，BD平分ABC， ∠ABC =∠BCD=90°，
∴∠FKB=∠FNB=∠ABC = 90°，
∴四边形FKBN是矩形，
∵BD平分ABC， FK⊥AB， FN⊥BC，
∴FK=FN，
∴矩形FKBN是正方形，
∴∠KFN=90°， FN = BN = BK = FK，
∴∠KFP+∠PFN=90°，∵AF⊥PF，
∴∠AFK+∠KFP=90°，
∴∠AFK=∠PFN，
在△AFK和△PFN中，
∴△AFK≌△PFN(AAS)，
∴FA=FP，
∵BD平分ABC，
∴∠ABF =∠CBF，
在△ABF和△CBF中，
∴△ABF≌△CBF(SAS)，
∴FA=FC，
∴FP=FC，
∵FN⊥BC，
∵点P是BC的中点，
在 中， 由勾股定理得：
在 中，
由勾股定理得：
∵AB∥CD，

在 中， 由勾股定理得：
∵AB∥CD，
∴EM的长为
故答案为：
【分析】连接FC， 过点F作FK⊥AB于K， FN⊥BC于点N，先证明四边形FKBN是正方形，进而可证明△AFK和△PFN全等得FA=FP， 再证明△ABF和△CBF全等得FA=FC = FP， 则 根据点P是BC的中点得 则 进而得 再由勾股定理分别求出，则 证明△FDM和△FBA相似，利用相似三角形的性质求出DM=1， 则 然后证明△ADM和△ECM相似，利用相似三角形的性质即可求出EM的长.
【解析】【解答】解：连接AE，如图所示：
∵点O是⊙O的圆心，⊙O的半径为5，AO的延长线交⊙O于点D，
∴AB是⊙O直径，(
在 中，
设
由勾股定理得：
解得：
在 中，
在 中，
∴AM的长为7.5.
故答案为： 7.5.
【分析】连接AE， 依题意得OA=OD=OE=5，AD=10， 进而得∠AED=90°， ∠D=∠OED， 在Rt△ADE中， 根据 设AE=3k， DE=4k， 则AD=5k， 由此得k=2， 则AE=6， DE = 8， 证明∠MAE =∠OED =∠D， 在Rt△MAE中，在Rt△ADE中， 则 由此可得AM的长.
【解析】【解答】解：如图：
∴抛物线的顶点为
∵顶点纵坐标为
令 则 解得 或
令 则 解得
或
∵抛物线在点Q右侧的部分 (不含点Q)上，恰好有三个点到x轴的距离为
∴Q在点K和R之间的抛物线上 (包含K，不包含R)
故答案为：
【分析】根据顶点纵坐标为 求得 ，即可求得抛物线为 然后令 解方程求得 或 令 解方程求得 或 根据抛物线在点Q右侧的部分 (不含点Q)上，恰好有三个点到x轴的距离为 即可得
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥CP交CP的延长线于点E，
∵CP⊥BD，
∴∠E=∠BCD=∠BPC=90°，
∴∠BCP+∠ACP=∠CBD+∠BCP=90°，
∴∠ACP=∠BCP，
∴△CEA∽△BCD，
∴，
∵，
设CD=3x，BC=4x，则BD=，
∵，
∴AD=nCD=3nx，
∴AC=AD+CD=3nx+3x=3(n+1)x，
∴，
解得：，，
又∵∠DCP=∠CBD，∠CPD=∠BCD=90°，
∴△CPD∽△BCD，
∴，即，
解得，
∴EP=CE-CP=，
∵∠CDQ=∠APE，
∴tan∠CPQ=tan∠APE=，
故答案为：.
【分析】过点A作AE⊥CP交CP的延长线于点E，则可得到△CEA∽△BCD，即可得到，
然后设CD=3x，BC=4x，求出AC、CE和AE长，然后证明△CPD∽△BCD，得到PC长，然后根据tan∠CPQ=tan∠APE解答即可.
【解析】【分析】(1)根据已知条件画出树状图即可；
(2)根据反比例函数图象上点的坐标特征判断出点落在双曲线上的种类，进而得出答案.
【解析】【分析】(1)取格点E， F， 连接EF交AB于点D， 连接CD，点D即为所求；
(2)作出的外心E， 连接AE， BE即可.
【解析】【分析】(1)把点(1，0)代入解析式中， 计算a值即可，根据 得到点 是对称点，得到 结合 确定点 )的坐标分别求得PQ，MQ，MN，进而根据三角形的面积公式，即可求解
(2)根据二次函数 得到顶点P(3，2)，判定函数最大值为2，结合最大值与最小值的差为1，确定函数的最小值为1根据函数的增减性分类计算即可.
【解析】【分析】（1）运用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）先求出△OAB的面积，然后根据倍数关系求出△BCD的面积，即可得到CD长解题即可；
（3）分为两种情况，过点C作CF⊥CE交EP于点F，过F作FG⊥x轴于点G，证明△COE≌△FGC，求出点F的坐标，即可得到直线EF的解析式，然后联立方程组求出交点P的坐标即可.
【解析】【分析】(1)①利用AAS证明三角形全等；
②如图1中，连接OM，证明( 利用平行线分线段成比例定理求解即可；
(2)如图2中， 过点O作 于点H.由CO∥DM， 推出 设则 用 k表示出CD， DM即可.
【解析】【解答】解： (1) ∵EF∥BC，
，
故答案为：；
【分析】(1) 证明△AEG∽△ABD， △AGF∽△ADC， 可得 从而可得答案；
(2) 如图， 过N作EF∥PD交CP于E， 交BC于F， 结合 (1) 得： 证明△ENM≌△CAM， 可得EN = AC， 证明△BNF∽△BAC， 可得 从而可得答案；
(3) 如图， 过P作MN∥BD交AB于M， 交AD于N， 证明△BMP∽△PND， 可得 设 ， 则BM =2x， 求解 证明△BFE∽△DFA， 可得 结合 再进一步解方程即可.