重庆市七校联考2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试卷（解析版）

这是一份重庆市七校联考2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. ，，若，则实数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以.
故选：B.
2. 复数，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以.
故选：C．
3. 下列函数中，最小正周期为，且在上单调递减的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】对于A，由，得，
所以函数在上单调递增，故A不符题意；
对于B，函数的周期，故B不符题意；
对于C，由，得，
所以函数在上单调递增，故C不符题意；
对于D，函数的周期，
由，得，
所以函数在上单调递减，故D符合题意.
故选：D.
4. 在中，，则最大角余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】在中，，
，.
，即，
，∴角即为的最大角.
由正弦定理可得，不妨设，，，，
再由余弦定理可得.
故选：A.
5. 向量 、满足：，，，则在上的投影向量的模为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由可得，即，所以，
所以在上的投影向量的模为.
故选：C.
6. 如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测量得米，在点处测得塔顶的仰角分别为，则塔高（ ）
A 米B. 米C. 米D. 米
【答案】A
【解析】设该塔的高度为米，
则．
在中，，
即，由，解得，
即塔高为30米.
故选：A.
7. 如图，在三角形中，已知边上的两条中线分别为，且相交于点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可知，，
∴，
，
，
∴.
故选：A.
8. 水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时6秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，则当时，恰有3个使函数最得大值，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，可得圆周的半径，
又旋转一周用时6秒，所以周期，从而，
所以，又点时，在函数图像上，
所以，且，所以，
所以，
当时，，
由题意知，函数在恰有3个最大值，
所以，解得，即取值范围是.
故选：D.
二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 复数，，的共轭复数为，则下列结论正确的是（ ）
A. 若为纯虚数，则
B. 若在复平面内对应的点位于第四象限，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】BD
【解析】A，若为纯虚数，则且，则，故A错误；
B，由题意可知且，则，故B正确；
C，若，则，，
则，故C错误；
D，若，则，，则，故D正确.
故选：BD.
10. 已知函数，，则（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 函数关于对称
C. 函数的值域为
D. 函数在上是减函数
【答案】ABD
【解析】由已知，
因为，所以函数的最小正周期为，故正确；
因为，正切函数的对称中心为，，
当时，的对称中心为，故正确；
因为，设，所以，，
因为在上单调递增，所以值域为，
所以的值域为，故错误；
，
设，因为，所以，
所以，，
因当时，，所以，
又当时，单调递增，
所以在上单调递减，
即在上是减函数，故正确.
故选：.
11. 在中，，，为边上及内部的一动点，设，则下列说法正确的是（ ）
A. 若为的重心，则
B. 若为的外心，则
C. 若为的内心，，则
D. 若为的垂心，为锐角三角形，则与共线
【答案】ACD
【解析】对于A，取的中点为，由重心可得，
由中线向量可得：，所以有，
又因为，所以，则，故A正确；
对于B，取的中点为，取的中点为，分别作中垂线，交于外心，
由
，故B错误；
对于C，当为的内心，延长交于，
根据角平分线定理有：，
利用等比性质有：，
所以有，又由角平分线定理得：，
则，
所以，
又因为，所以，
即，故C正确；
对于D，由
，
所以，又由为垂心得：，
所以，故D正确.
故选：ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 将函数的图象向左或者向右平移个单位，图象关于原点对称，求的最小值_________.
【答案】
【解析】函数的图象向左平移个单位，
得，
由题意可得，解得，
因为，所以最小值，
函数的图象向右平移个单位，
得，
由题意可得，解得，
因为，所以的最小值，
综上所述，的最小值为.
13. 在中，内角A，B，C所对的边分别为，已知且，则外接圆面积为_________.
【答案】
【解析】在中，由及余弦定理可得：
，∴.
，.
设外接圆半径为，则由正弦定理可知：，即.
∴外接圆面积为.
14. 正方形的边长为3，是线段上靠近的三等分点，是线段（含端点）上的动点，为线段的中点，则的最小值为_________.
【答案】
【解析】如图，，且，即不共线，故其可以作为基底，
设，
由题意可得，由向量的线性运算法则可得
，
，
故
，
这是关于的二次函数，对称轴为，
所以当时，即与重合时，取得最小值.
四、解答题：共5个小题，满分77分.其中15题13分，16，17题分别15分，18，19题分别17分，解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数
（1）求的最小正周期和对称轴；
（2）判断函数在的单调性.
解：（1）最小正周期；
令，得，
所以的对称轴：.
（2），则，
令，解得，则在单调递增；
令，解得，则在单调递减；
综上：在单调递增，在单调递减.
16. 已知向量满足，且.
（1）求，；
（2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
解：（1）因为，所以，即，
又，所以，
因为，所以，所以，
，
所以.
（2），
由题意知且向量与不共线，
所以，且，
解得，且，即实数的取值范围为.
17. 在锐角中，角A，B，C的对边分别是且．
（1）求角的大小；
（2）求的取值范围．
解：（1）因为，
所以由正弦定理可得，
由余弦定理可得，即，
所以.
因为，所以.
（2）因为，所以，所以，
则．
因为是锐角三角形，所以解得，
所以，所以，则，
即的取值范围是．
18. 已知函数的部分图象如图所示．
（1）求的解析式；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，再将函数的图象上各点横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的值域；
（3）若函数在区间上恰好有二个零点，求实数k的取值范围．
解：（1）由题设，所以，则，
故，
由，则，即，
又，当时，则，故.
（2）由题意，
将函数的图象上各点横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数，
所以；，则，
由在上单调递增，对应值域为；
在上单调递减，对应值域为；所以，
所以函数在上的值域：.
（3），则，
由在上单调递增，对应值域为；
在上单调递减，对应值域为；
函数在区间上有且仅有两个零点，
即在上只有两个解，有图可知.
19. 古希腊数学家海伦在其著作《测地术》中给出了由三角形的三边长计算三角形面积的公式：，这个公式常称为海伦公式，其中，．我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中给出了由三角形的三边长计算三角形面积的公式：，这个公式常称为“三斜求积”公式．请你结合阅读材料解答下面的问题：
（1）已知的三条边分别为，分别利用海伦公式和“三斜求积”公式求的面积；
（2）中，，，的对边分别为，，，已知的面积为，其内切圆半径为，，，求，；
（3）在中，，求面积的最大值.
解：（1）依题意，，
所以的面积，
是相等的.
（2）设内切圆半径为，因为，
代入，，，可得，，
又，由海伦公式，
可得，整理可得，
代入可得，，联立，，又因为，
可得，．
（3），，
，
由正弦定理，可得，
由，
由“三斜求积”公式得，，
当且仅当，即时，面积取最大值.