四川省成都市第十二中学（四川大学附属中学）2024−2025学年高一下学期第一次月考考试（3月） 数学试题（含解析）

这是一份四川省成都市第十二中学（四川大学附属中学）2024−2025学年高一下学期第一次月考考试（3月） 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．与角终边相同的角的集合是（ ）
A．B．
C．D．
2．计算的值等于（ ）
A．1B．C．D．
3．已知是第二象限角且，，则的值为（ ）
A．1B．－1C．－2D．
4．已知点在角的终边上，若，则（ ）
A．B．为第二象限的角
C．D．
5．在斜三角形ABC中，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．分别以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径，在另外两个顶点之间画一段劣弧，由这样的三段圆弧组成的曲边三角形被称为勒洛三角形，如图所示.已知某勒洛三角形的周长是，则该勒洛三角形的面积是（ ）
A．B．
C．D．
7．如图所示，两动点在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上从点处同时出发做匀速圆周运动．已知点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度，且两点在第2秒末第一次相遇于点处，则它们从出发后到第2次相遇时，点走过的总路程为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，若方程在的解为，且，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列各式中，值为的是（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．在上单调递增
B．关于的方程在上有2个相异实根
C．的图象关于点对称
D．将的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数
11．如图，角，的始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于A，B两点，M为线段AB的中点．N为的中点，则下列说法中正确的是（ ）
A．N点的坐标为
B．
C．
D．若的终边与单位圆交于点C，分别过A，B，C作x轴的垂线，垂足为R，S，T，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知，则 ．
13．已知，且，则 ．
14．正割（secant）及余割（csecant）这两个概念是由伊朗数学家、天文学家阿布尔·威发首先引入．这两个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行．在三角中，定义正割，余割．已知为正实数，且对任意的实数均成立，则的最小值为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．在平面直角坐标系中，角和角的顶点均与坐标原点重合，始边均为轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于两点，且两点关于轴对称.
(1)若点的纵坐标为，求的值；
(2)若，求的最小值.
16．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般早潮叫潮，晚潮叫汐，潮汐具有周期现象.某海滨浴场内水位（单位：）是时间，单位：的函数，记作，下面是某天水深的数据：
经长期观察，的曲线可近似的满足函数.
(1)根据表中数据，作出函数简图，并求出函数一个近似表达式；
(2)一般情况下，水深超过1.25米该海滨浴场方可开放，另外，当水深超过1.75米时，由于安全原因，会被关闭，那么该海滨浴场在一天内的上午7：00到晚上19：00，有多长时间可以开放？
17．已知函数最小正周期为.
(1)求的值和函数图象的对称中心；
(2)将函数的图象上的各点向左平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半；得到函数的图象，当时，方程有两个解，求实数的取值范围.
18．近年来，某市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向.为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域OMN内修建矩形水池ABCD，矩形一边AB在OM上，点在圆弧MN上，点在边ON上，且，米，设.
(1)求扇形OMN的面积；
(2)若，求矩形ABCD的面积；
(3)若矩形ABCD的面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值.
19．已知函数．
(1)求方程在上的解集；
(2)设函数．
①求在区间上的零点个数；
②记函数的零点为，证明：．
参考答案
1．【答案】C
【详解】因，
故与角终边相同的角的集合可表示为，C项正确，
而A，B，D项中的角都与终边不同.
故选C.
2．【答案】A
【详解】
.
故选A．
3．【答案】C
【分析】依题意，求出，再根据求出，再利用两角差的正切公式求得答案.
【详解】因为是第二象限角且，所以 ，
则因为,所以，
所以，
故选C.
4．【答案】D
【详解】由题设，可得，A错；
所以，则为第三象限的角，B错；
，C错；
，D对.
故选D．
5．【答案】D
【详解】解：三角形中，若A为锐角，B为钝角，则，此时，，
故“”不能推出“”；
当A为钝角，B为锐角时有，此时，故不能推出“”.
综上，三角形ABC中，“”是的既不充分也不必要条件.
故选D．
6．【答案】A
【详解】设等边的边长为，的长度为，解得，
以为圆心，所得的扇形的面积为，
等边的面积为，
勒洛三角形的面积为.
故选A.
7．【答案】C
【详解】根据题意，设经过秒，第二次相遇.
点对应的圆心角为，则有，
则.
则由，解可得，
所以第二次相遇时，走过的总路程为．
故选C．
8．【答案】D
【详解】因为，所以，
所以当时，解得即为在的一条对称轴,
当时，解得或，
即或为在与轴的两个交点，
又因为是方程在的解，
所以由图像的对称性可知，，
且，所以，
所以.
又因为，，
所以.
故选D.
9．【答案】ABD
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选ABD.
10．【答案】AB
【详解】由的图象得，，解得，
所以，又，所以，
解得，又，所以，所以，
由，解得，
即的单调递增区间为，
令得，又，
所以在上单调递增，故A正确；
当，则，
令，即，所以在上单调递增，
且，所以；
令，即，所以在上单调递减，且；
所以当时，在上有两个不相等的实根，故B正确；
因为，所以的图象关于直线对称，故C错误；
将的图象向左平移个单位长度，得的图象，
显然为奇函数，故D错误．
故选AB.
11．【答案】BCD
【详解】由N为的中点，则，可得，
由三角函数定义可得N点的坐标为，故A错误；
由，可得，故B正确；
易知，
又因为，，M为线段AB的中点，
则，
所以，故C正确；
由易知线段，，
则，
所以，故D正确，
故选BCD．
12．【答案】/0.5
【详解】由诱导公式，.
13．【答案】/
【详解】由两边取平方，①
再由两边取平方，②
由①+②，可得，即得.
14．【答案】4
【详解】依题意知，，，
所以
，当且仅当时等号成立，即的最小值为，故，解得，
所以的最小值为4.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为点的纵坐标为，
所以.又.
因为，
所以
（2）因为，所以.所以.
所以.
所以当时，取最小值为.
16．【答案】(1)图象见解析，;
(2).
【分析】（1）根据表中数据可得最值，进而可求解周期以及，根据最值点即可求解，
（2）利用余弦函数的性质，解不等式即可求解.
【详解】（1）函数简图如下：
，
过点，
则，
的一个解析式可以为
（2）由题意得：即，
，
或
解得或
又，解得.
又
故开放时间共.
17．【答案】(1)，对称中心为
(2)
【详解】（1），
由的最小正周期为，得，故，所以，
令，得，故函数的对称中心为；
（2）
令，由，得，
在递减，在递增，所以，
又，所以有两个解时，.
18．【答案】(1)平方米.
(2)平方米.
(3)，最大值为.
【详解】（1）由题意，，扇形半径即米，
则扇形OMN的面积为平方米.
（2）因为，在中，，，
在中，，则，
所以.
则矩形ABCD的面积.
所以当时，矩形ABCD的面积平方米.
（3）在中，，，
在中，，则，
所以.
则矩形ABCD的面积
，
所以，其中.
由于，
则当时，即时，.
所以当时，取得最大值，最大值为.
19．【答案】(1)
(2)①1个零点，理由见解析；②证明见解析
【详解】（1）由结合题意，，
即，则或.
当时，显然，可得，因，故或；
当时，，由，可得，
则或，解得或.
综上，方程在上的解集为.
（2）①由，
当时，，此时在上单调递增，
在上单调递增，故在上单调递增，
又，故在区间上有且只有1个零点；
②由题意，，且，则，
则，
设，因，则，故，
又，故，
故，
因，此时是增函数，故可得.
0
3
6
9
12
15
18
21
24
2
1.5
1
1.5
2
1.5
1
1.5
2