湖南省长沙市雅礼中学2025届高三4月综合自主测试数学试卷（提升卷）（含答案）

这是一份湖南省长沙市雅礼中学2025届高三4月综合自主测试数学试卷（提升卷）（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知空间向量a= 13,b=5，且a与b夹角的余弦值为−9 1365，则a在b上的投影向量为( )
A. −9 1313bB. 9 1313bC. 925bD. −925b
2.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，f(x)的图象如图所示，则( )
A. f′x1>f′x2>f′x3B. f′x2>f′x3>f′x1
C. f′x3>f′x2>f′x1D. f′x1>f′x3>f′x2
3.圆C1:x2+y2+2x+2y−2=0与圆C2:x2+y2−4x−6y+12=0的公切线有且仅有( )
A. 4条B. 3条C. 2条D. 1条
4.语文老师要从10篇课文中随抽3篇不同的课文让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某位同学只能背诵其中的6篇，则他能及格的概率是( )
A. 16B. 13C. 12D. 23
5.如图，在三棱锥A−BCD中，▵ABC和▵BCD均为边长为 3的等边三角形，若二面角A−BC−D的大小为90∘，则三棱锥A−BCD外接球的表面积为( )
A. 5πB. 8πC. 6πD. 9π
6.设等差数列an的前n项和为Sn，且an>0,4Sn=an+12−2an+1+1，将数列an与数列n2−1的公共项从小到大排列得到新数列cn，则i=1202ci=( )
A. 4041B. 8041C. 2021D. 4021
7.当x⩾1时，关于x的不等式eax+lna−eax−lnx−lnx> −1恒成立，则a的取值范围是( )
A. e,+∞B. (1,+∞)C. e,+∞D. 1e,+∞
8.密铺，即平面图形的镶嵌，用形状、大小完全相同的几种或几十种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌．皇冠图形(图1)是一个密铺图形，它由四个完全相同的平面凹四边形组成．在平面凹四边形ABCD(图2)中，测得AD=1,AB=CD=2,BC=3，凹四边形ABCD的面积为 3，则∠ADC−∠ABC的余弦值为( )
A. 12B. 24C. 23D. 32
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量η和ξ满足：η=3ξ+1，且E(ξ)=2，若ξ的分布列如下表，则下列说法正确的是( )
A. a=13B. b=14C. E(η)=7D. D(η)=92
10.【多选】如图，飘带函数f(x)=x−1x的图象类似于飘带，已知图象上两个点A，C关于原点对称(点A的横坐标x0>0)，过点A，C分别作两坐标轴的垂线得到矩形ABCD，矩形与坐标轴的交点分别记为A1，A2，C1，C2.将图象沿x轴折叠，得到一个60°的二面角A−A1C1−C，此时|AC|2的最小值记作mx；将图象沿y轴折叠，得到一个60°的二面角A−A2C2−C，此时|AC|2的最小值记作my.则下列结论正确的是( )
A. mx=2 5+2
B. 若x0= 2，当图象沿x轴折叠时，|AC|2=172
C. my=4 5−8
D. 若x0= 2，当图象沿y轴折叠时，|AC|2=4
11.若图G的关联结点(加黑的粗点)构成的点集记为V，V可划分为两个子集V1和V2，V1∩V2=⌀，V1∪V2=V，且图中每一条边的一个关联结点在V1中，另一个关联结点必在V2中，则将图G称为偶图.下列四个图为偶图的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知3+i是关于x的方程ax2+2x+b=0(a,b∈R)的一个根，则a+b= ．
13.已知在平面直角坐标系xOy中，M(−1,0),N(1,0)，动点P满足|PM|⋅|PN|=4，则|OP|的取值范围是 ．
14.数列an满足a1=π4，csan=1tanan+1n∈N∗，an∈0,π2，若不等式sina1⋅sina2⋯sinam≥15恒成立，则正整数m的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=ax2−2x−lnx在点1,f(1)处的切线与x轴平行．
(1)求a；
(2)求f(x)的单调区间和极值．
16.(本小题15分)
已知抛物线C:y2=2px经过点A(1,2)．
(1)求p的值和抛物线C的准线方程；
(2)已知直线y=2x−2与抛物线C交于M,N两点，求|MN|．
17.(本小题15分)
在▵ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若acsC+ 3asinC−b−c=0．
(1)求A；
(2)若b−c= 33a，证明：▵ABC是直角三角形．
(3)若▵ABC是锐角三角形，c=4，求▵ABC面积的取值范围．
18.(本小题17分)
在平面直角坐标系xOy中，点Px1,y1，Qx2,y2，若以x轴为折痕，将直角坐标平面折叠成互相垂直的两个半平面(如图所示)，则称此时点P，Q在空间中的距离为“点P，Q关于x轴的折叠空间距离”，记为Z(PQ)．

(1)若点A，B，C在平面直角坐标系xOy中的坐标分别为A(1,2)，B(−2,3)，C(3,−4)，求Z(AB)，Z(AC)的值；
(2)若点D，P在平面直角坐标系xOy中的坐标分别为D(0,−1)，P(x,y)，已知点P满足Z(DP)= 2，求点P在平面直角坐标系xOy中的轨迹方程；
(3)若在平面直角坐标系xOy中，点E(−1,3)是椭圆y212+x24=1上的点，过点E的两条直线EM，EN分别交椭圆于M，N两点，其斜率满足kEM+kEN=0．
证明：当1