安徽省马鞍山市2025届高三第二次教学质量监测数学试卷（含答案）

这是一份安徽省马鞍山市2025届高三第二次教学质量监测数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A=x||2x+1|≤2，B=−2,−1,0,1，则A∩B=( )
A. −1,0B. −2,−1,0C. −1,0,1D. −2,−1,0,1
2.已知复数z= 3+i，则|z|z=( )
A. 32+12iB. 32−12iC. − 33+12iD. − 32−12i
3.已知平面向量a，b满足a=1,− 3，b=(2,x)，若a//b，则x=( )
A. − 3B. −2 3C. 3D. 2 3
4.已知随机变量X∼N2,σ2，且P(X≤4)=0.64，则P(0≤X≤2)=( )
A. 0.14B. 0.22C. 0.28D. 0.36
5.在三棱柱ABC−A1B1C1中，截去三棱锥C1−ABC后，剩余的部分是( )
A. 五棱锥B. 四棱锥C. 三棱柱D. 三棱台
6.数列an满足a1=3，an+1= an，则lg3a1a2a3a4=( )
A. 78B. 1516C. 158D. 458
7.已知函数f(x)=sin(2x+α),x0是定义在(−∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数，则α，β的值可能是( )
A. α=π3，β=π6B. α=π4，β=3π4
C. α=2π3，β=π6D. α=3π4，β=3π4
8.已知抛物线C:y2=x的焦点为F，准线与x轴交于点P，直线l过焦点F且与C交于A，B两点，若直线AP的斜率为12，则|AB|=( )
A. 1B. 2C. 4D. 8
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知二项式 x2−1xn的展开式中各项系数之和为164，则( )
A. 展开式中共有6项B. 展开式中二项式系数的和为64
C. 展开式中常数项为1516D. 展开式中系数最大的项是第2项
10.点P是半径为2的圆O内一定点，且|OP|=1，过点P作圆O的两条互相垂直的弦AB，CD，则( )
A. PA⋅PB为定值B. OA⋅OB的取值范围是[−4,−2]
C. AC⋅BD为定值D. 四边形ACBD面积的最大值为4 3
11.已知在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AC=1，BC=1，且∠ACB+2∠ACA1=π，记∠ACB=α，则( )
A. 存在α，使得BC⊥A1B
B. 三棱柱的侧面积随α的增大而减小
C. 三棱柱的体积随α的增大而减小
D. 三棱锥A1−ABC外接球表面积的最小值为3π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.马鞍山市某月连续四天的最低气温如下表所示：
由最小二乘法得到经验回归方程y=−0.2x+a，则a的值为 ．
13.如图，一个圆环分成A，B，C，D四个区域，用3种颜色(全部用完)对这四个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同涂色的方法种数为 .(用数字作答)
14.在▵ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，且CD⊥BE，BC=1，则▵ABC面积的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
两个箱子里面各有除颜色外完全相同的黑球和白球若干个，现设计一个抽球游戏，规则如下：先从第一个箱子中随机抽一个小球，抽后放回，记抽中黑球得4分，抽中白球得1分，且抽中黑球的概率为13；再从第二个箱子中随机抽一个小球，抽后放回，记抽中黑球得1分，抽中白球得3分，且抽中黑球的概率为34.记一次游戏后，得分总和为X分.
(1)求X的分布列和数学期望；
(2)若有3人玩该游戏各一次，求恰有2人游戏得分不低于4分的概率．
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB=1，BC= 3，PA=2 2，侧棱PC与底面ABCD所成的角为45∘，且AB⊥BC，PC⊥BC．
(1)求PD；
(2)求平面APC与平面BPC夹角的余弦值．
17.(本小题15分)
在平面直角坐标系xOy中，点12, 3和 32,1是中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的椭圆E上的两点．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若P为椭圆E上任意一点，以点P为圆心，|OP|为半径的圆与圆C:x2+y+ 32=5的公共弦为MN.证明：▵CMN的面积为定值，并求出该定值．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=2ae2x+2(a−1)ex−x．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围．
19.(本小题17分)
将数列an中不同的两项ai与aj交换位置，其余项不变得到的数列称为an的“(i,j)对换数列”，若iaj，则称ai,aj为an一个逆序对，例如：数列2，3，1的逆序对有：(2,1)，(3,1).将数列an中逆序对的个数称为an的逆序数，记为Nan，记sgnan=(−1)Nan．
(1)写出数列1，5，2，4，3，6的所有逆序对；
(2)求数列1,2,3,⋯,n的所有“(i,j)对换数列”的逆序数之和f(n)；
(3)定义：将数列1,2,3,⋯,n的所有项重新排列后得到的数列称为1,2,3,⋯,n的一个“重排数列”.若an是数列1,2,3,⋯,n的一个“重排数列”，bn是数列1,2,3,⋯,n的一个“(i,j)对换数列”，证明：sgnabn=sgnan⋅sgnbn．
(注：12+22+32+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)6.)
参考答案
1.A
2.B
3.B
4.A
5.B
6.C
7.D
8.C
9.BC
10.ABC
11.BCD
12.15.5
13.12
14.34/0.75
15.(1)由题知，X可能取的值为2，4，5，7.
P(X=2)=1−13×34=12，P(X=4)=1−13×1−34=16，
P(X=5)=13×34=14，P(X=7)=13×1−34=112，
X的分布列为：
故E(X)=2×12+4×16+5×14+7×112=72．
(2)由(1)知，得分不低于4分和低于4分的概率均为12
故3人玩该游戏各一次恰有2人游戏得分不低于4分的概率为C3212212=38．

16.(1)因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD
所以PD⊥BC，
又PC⊥BC，PD∩PC=P，PD,PC⊂平面PDC，
所以BC⊥平面PDC，又DC⊂平面PDC，
所以BC⊥DC，
因为PD⊥平面ABCD，所以PC在平面ABCD上的射影为DC，
所以∠PCD为直线PC与底面ABCD所成的角，
因为PC与底面ABCD所成的角为45°，所以∠PCD=45°，又∠PDC=90∘，
所以PD=CD，设PD=t，
因为AB⊥BC，AB=1，BC= 3，
所以AC=2，∠ACB=30∘，又BC⊥DC，故∠ACD=60∘，
则DA2=t2+22−2×t×2×cs60∘=t2−2t+4，
因为因为PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD
所以PD⊥AD，所以PD2+DA2=PA2，
所以t2+t2−2t+4=2 22，
解得t=2或t=−1(舍去)，
故PD=2．
(2)以C为坐标原点，CD、CB分别为x、y轴的正方向，过C作垂直于平面ABCD的直线为z轴，如图建立空间直角坐标系，
则C(0,0,0)，P(2,0,2)，A1, 3,0，B0, 3,0，
则CP=(2,0,2)，CA=1, 3,0，CB=0, 3,0
设平面APC的法向量为m=x1,y1,z1，
m⋅CP=2x1+2z1=0m⋅CA=x1+ 3y1=0,
令x1= 3，得y1=−1，z1=− 3，
则m= 3,−1,− 3为平面APC的一个法向量，
设平面BPC的法向量为n=x2,y2,z2，
n⋅CP=2x2+2z2=0m⋅CB= 3y2=0,
令x2=1，可得y2=0，z2=−1，
得n=(1,0,−1)为平面BPC的一个法向量，
设平面APC与平面BPC的夹角为θ，
则csθ=m⋅nmn=2 3 7× 2= 427．
所以平面APC与平面BPC夹角的余弦值为 427．

17.(1)设椭圆E的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)，
由题意知：m⋅122+n⋅ 32=1，m⋅ 322+n=1，解得m=1，n=14
所以椭圆E的方程为x2+y24=1．
(2)设Px0,y0，则x02+y024=1，且圆P的方程为x−x02+y−y02=x02+y02，
即圆P的方程为x2+y2−2x0x−2y0y=0.
因为圆C的方程为x2+y+ 32=5，
将圆P的方程与圆C的方程作差得x0x+ 3+y0y−1=0，

所以MN的方程为x0x+ 3+y0y−1=0，
点C0,− 3到直线MN的距离d=− 3 3+y0−1 x02+ 3+y02=4+ 3y0 x02+y02+3+2 3y0
= 3y0+4 1−y024+y02+2 3y0+3= 3y0+4 3y024+2 3y0+4= 3y0+4 32y0+2=2，
又因为|MN|=2 5−d2=2，所以▵CMN的面积为S▵CMN=12|MN|⋅d=12×2×2=2为定值．
18.(1)f(x)的定义域为(−∞,+∞)，f′(x)=4ae2x+2(a−1)ex−1=2aex−1⋅2ex+1
若a≤0，则f′(x)0，则由f′(x)=0得x=−ln2a.
当x∈−∞,−ln2a时，f′(x)0，
所以f(x)在−∞,−ln2a上单调递减，在−ln2a,+∞上单调递增．
综上，当a≤0时，f(x)在(−∞,+∞)单调递减；
当a>0时，f(x)在−∞,−ln2a上单调递减，在−ln2a,+∞上单调递增．
(2)若a≤0，由(1)知，f(x)至多有一个零点.
若a>0，由(1)知，当x=−ln2a时，f(x)取得最小值，最小值为f−ln2a=1−12a+ln2a．
①当a=12时，由于f−ln2a=0，故f(x)只有一个零点；
②当a∈12,+∞时，因为1−12a单调递增，ln2a单调递增，所以1−12a+ln2a单调递增，
所以1−12a+ln2a>1−12×12+ln2×12=0，f−ln2a>0，故f(x)没有零点；
③当a∈0,12时，由于1−12a+ln2a0，
故f(x)在−∞,−ln2a有一个零点.
设正整数n0满足n0>ln32a−1，则fn0=en02aen0+2a−2−n0>en0−n0>0，
故f(x)在−ln2a,+∞有一个零点.
综上，a的取值范围为0,12．
19.(1)(5,2)，(5,4)，(5,3)，(4,3)；
(2)因为交换i与j后共产生2(j−i−1)+1=2(j−i)−1个逆序数，1≤i