2025年上海市长宁区高考数学二模试卷（含答案）

这是一份2025年上海市长宁区高考数学二模试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知非零实数a>b，则下列命题中成立的是( )
A. a2>b2B. ab>b2C. a2+b2≥2 abD. a3>b3
2.某书店为了分析书籍销量与宣传投入之间的关系，对宣传投入x(千元)和书籍销量y(百本)的情况进行了调研，并统计得到如表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程为y=1.2x+1.6，则下列说法不正确的是( )
A. 变量x、y之间呈正相关
B. 预测当宣传投入2千元时，书籍销量约为400本
C. m=8.8
D. 拟合误差Q=0.48
3.如图，等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，点E是边AC的中点，点D是边BC上一点(不与C重合)，将三角形DCE沿DE逆时针翻折，点C的对应点是C1连接CC1，设θ为二面角C1−DE−C大小，θ∈(0,π).在翻折过程中，下列说法当中不正确的是( )
A. 存在点D和θ，使得DC1⊥AC
B. 存在点D和θ，使得BC1⊥AC
C. 存在点D和θ，使得BC1⊥DE
D. 存在点D和θ，使得CC1⊥DE
4.椭圆具有如下光学性质：如图，F1(−c,0)，F2(c,0)分别是椭圆x2a2+y2b2=1的左、右焦点，从点F1发出的光线在到达椭圆上的点P后，经过到达点的切线反射后经过点F2，有以下两个命题：
①若P是椭圆上除长轴端点外的一点，设法线与x轴的交点为M(t,0)，则t∈(−c2a,c2a)；
②若从F1发出的光线，经椭圆两次反射后，第一次回到F1所经过的路程为8c，则该椭圆的离心率为12，
则以下说法正确的是( )
A. ①是真命题，②是真命题 B. ①是真命题，②是假命题
C. ①是假命题，②是真命题 D. ①是假命题，②是假命题
二、填空题：本题共12小题，共60分。
5.已知集合A=(−2,1)，B=(0,3]，则A∩B= ______．
6.复数z1=2−3i，z2=1−2i，则z1⋅z2−= ______．
7.已知数列{an}是等差数列，且a1=2，a6=17，则其前7项和S7= ______．
8.某水果店的苹果，60%来自A基地，40%来自B基地，A基地苹果的新鲜率为90%，B基地苹果的新鲜率为85%，从该水果店随机选取一个苹果，则选到新鲜苹果的概率是______．
9.为了研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，某疾病预防中心对相关调查数据进行了研究，假设H0：患慢性气管炎与吸烟没有关系，并通过计算得到统计量χ2≈3.468，则可推断______原假设H0.(填“拒绝”或“接受”，规定显著性水平α=0.1，P(χ2≥2.706)≈0.1.)
10.已知随机变量X的分布是−101141412，则其方差D[x]= ______．
11.已知lg189=a，18b=5，用a、b表示lg3645=______．
12.顶角为36°的等腰三角形被称为黄金三角形，其底边和腰之比正好为黄金比φ，用黄金比φ表示cs36°= ______，
13.一项过关游戏的规则规定：在第n关要投掷骰子n次，如果这n次投掷所得的点数之和大于3n，则算过关，问一个人连过第一、二关的概率为______．
14.已知点D、E分别是三角形ABC的边AC、BC的中点，且AE=2，BD=3，则三角形ABC的面积的取值范围是______．
15.现有一块正四面体木料PABC，其边长为3，现需要将木料进行切割，要求切割后底面ABC上任意一点Q到顶点P的距离不大于 7，则切割好后，木料体积的最大值是______.(结果保留π)
16.已知函数y=f(x)和y=g(x)，其中f(x)=lg2x，且y=g(x)是定义在R上的函数，其图像关于原点对称，当x∈(0,1]时，g(x)=x2−mx−m+5，若对任意的x1∈[12,2]，存在x2∈[−1,1]，使得f(x1)=g(x2)，则m的取值范围是______．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
已知向量m=(sinx+csx,2sinx)，n=(sinx−csx, 3csx)，f(x)=m⋅n．
(1)求函数y=f(x)的单调递减区间；
(2)若函数y=f(x)−a在区间(0,π2)上恰有2个零点，求实数a的取值范围．
18.(本小题14分)
如图，在直三棱柱ABC−A′B′C′中，AB⊥AC，AC=AB=2，AA′=2 2，点D是棱AA′的中点．
(1)求证：平面CDB′⊥平面CBB′C′；
(2)求点C′到平面CDB′的距离以及三棱锥C′−CDB′的体积．
19.(本小题14分)
为响应国家促进消费的政策，某大型商场举办了“消费满减乐翻天”的优惠活动，顾客消费满800元(含800元)可抽奖一次，抽奖方案有两种(顾客只能选择其中的一种)．
方案1：从装有5个红球，3个蓝球(形状、大小完全相同)的抽奖盒中，有放回地依次摸出3个球.每摸出1次红球，立减150元，若3次都摸到红球，则额外再减200元(即总共减650元)；
方案2：从装有5个红球，3个蓝球(形状、大小完全相同)的抽奖盒中，不放回地依次摸出3个球.中奖规则为：若摸出3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则打5折；其余情况无优惠．
(1)顾客A选择抽奖方案2，已知他第一次摸出红球，求他能够享受优惠的概率；
(2)顾客B恰好消费了800元，
①若他选择抽奖方案1，求他实付金额的分布列和期望(结果精确到0.01)；
②试从实付金额的期望值分析顾客B选择何种抽奖方案更合理．
20.(本小题14分)
已知双曲线Γ：x2a2−y2b2=1的左、右焦点分别为F1，F2，点A是其左顶点，点P是双曲线上一点，且位于第一象限，若双曲线Γ的离心率e=2，b=2 3．
(1)求双曲线Γ的方程；
(2)若三角形APF2是等腰三角形，求点P的坐标；
(3)直线PF2不垂直于x轴，且与双曲线的另一个交点为Q，若∠PF1Q是锐角，求直线PF2的斜率的取值范围．
21.(本小题14分)
已知函数y=f(x)的定义域D⊆R，对任意实数a，定义集合Qf(a)={x|f(x)≤a,x∈D)}．
(1)已知f(x)=1+x1−x，求Qf(2)；
(2)已知f(x)=ex−ax，若集合Qf(a)只有一个元素，求a的值；
(3)已知f(x)=−a4x2+a+22x−lnx+12，其中a∈R且a>0，求证：集合Qf(a)是一个区间．
参考答案
1.D
2.C
3.B
4.A
5.(0,1)
6.8+i
7.77

9.拒绝
10.1116
11.b+a2−a
12.1−φ22
13.724
14.(0,4]
15.3 24+ 6π6
16.[3,5]
17.解：(1)f(x)=sin2x−cs2x+2 3sinxcsx= 3sin2x−cs2x=2sin(2x−π6)，
令2kπ+π2≤2x−π6≤2kπ+3π2(k∈Z)，则kπ+π3≤x≤kπ+5π6(k∈Z)，
故函数y=f(x)的单调递减区间为[kπ+π3,kπ+5π6](k∈Z)；
(2)由题意，得a=f(x)=2sin(2x−π6)在区间(0,π2)上恰有2个不同的零点，
而2x−π6∈(−π6,5π6)，令t=2x−π6，
故a2=sint在(−π6,5π6)上有2个不同的零点，即y=a2与s(t)=sint的图象在(−π6,5π6)上有2个不同的交点，
而s(t)=sint在(−π6,π2]上为增函数，在[π2,5π6)上为减函数，又s(−π6)=−12，s(π2)=1，s(5π6)=12，
故120，
所以(x1+4)(x2+4)+k2(x1−4)(x2−4)>0，
整理得到(1+k2)x1x2+(4−4k2)(x1+x2)+16+16k2>0，
由y=k(x−4)3x2−y2=12，可得(3−k2)x2+8k2x−16k2−12=0，
故3−k2≠0−k2≠0，且Δ=64k4+4(3−k2)(16k2+12)=144k2+144>0，
且x1+x2=−8k23−k2，x1x2=−16k2−123−k2，所以k≠± 3，
又(1+k2)×−16k2−123−k2+(4−4k2)×−8k23−k2+16+16k2>0，
整理得：9−7k23−k2g(0)=1−a>0，g(x)=0无解，故不成立；
(ii)当a>0时，令g′(x)=0，解得x=lna，当x>lna时，g(x)>0，g(x)单调递增，
当x0)的解集，
令ℎ(x)=−a4x2+a+22x−lnx+12−a，
则ℎ′(x)=−a2x+a+22−1x=(ax−2)(x−1)2x=−a(x−2a)(x−1)2x，
①当a=2时，ℎ(x)≤0恒成立，ℎ(x)单调递增，当x→+∞，ℎ(x)→+∞，所以ℎ(x)≤0的解集，即集合Qf(a)必是一个区间；
②当a>2时，令ℎ(x)>0，解得x∈(2a,1)，所以ℎ(x)在(2a,1)上单调递增，在(0,2a)和(1,+∞)单调递减，且ℎ(1)=32−3a40，
所以ℎ(x)≤0的解集，即集合Qf(a)必是一个区间．
x
3
4
5
6
y
5
6.2
7.4
m
X
800
650
500
150
P
27512
135512
225512
125512