江西省新余市2025届高三下学期第二次模拟考试（新余二模）数学试卷及参考答案

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本试卷共 6 页，共 150 分.考试时长 120 分钟.
考生注意；
1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的
条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与本人准考证号、姓名是否一致.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷
上无效.
3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回.
一、选择题；本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 设复数 z 满足 （其中 i 为虚数单位），则 z 在复平面上对应的点位于（ ）
A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限
3. 已知直线 与直线 平行，则 m 的值为（ ）
A 3 B. C. 3 或 D. 3 或 4
4. 设等比数列 的各项均为正数，其 前项和为 ，则“ ”是“数列 是递增数列”的
（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知抛物线 恰好经过圆 圆心，则抛物线 C 的焦点坐标为
（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数 ，则关于 的不等式 的解集是
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A. B. C. D.
7. 已知球与圆台的上下底面和侧面都相切．若圆台的侧面积为 ；上、下底面的面积之比为 ，则球
的表面积为（ ）．
A. B. C. D.
8. 若对任意的 ，不等式 恒成立，则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题；本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 某农科院研制出了一种防治玉米病虫害的新药．为了解该药的防治效果，科研人员选用了 100 粒玉米种
子（其中一部分用该药做了处理）进行试验，从中任选 1 粒，发现此粒种子抗病虫害的概率为 0.8．未填写
完整的 列联表如下，则（ ）
抗病虫害 不抗病虫害 合计
种子经过该药处理 60
种子未经过该药处理 14
合计 100
附： ．
0.1 0.01 0.005 0.001
2.706 6.635 7.879 10.828
A. 这 100 粒玉米种子中经过该药处理且不抗病虫害的有 6 粒
B. 这 100 粒玉米种子中抗病虫害 有 84 粒
C. 的观测值约为 13.428
D. 根据小概率值 的独立性检验，可以认为该新药有效
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10. 已知递增数列 的各项均为正整数，且其前 项和为 ，则（ ）
A. 存在公差为 1 的等差数列 ，使得
B. 存在公比为 2 的等比数列 ，使得
C 若 ，则
D. 若 ，则
11. 已知 ， ， ， ， ， ，记 ．当 ， ， ，
，中含 个 6 时，所有 不同值的个数记为 ．下列说法正确的有（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 对于任意奇数
D. 对于任意整数
三、填空题；本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知点 是椭圆 ： 上的动点，若 ，则 的最小值为_____.
13. 函数 = 的最小值为_________．
14. 已知正四面体 的棱长为 ，动点 P 满足 ，用所有这样的点 P 构成
的平面截正四面体，则所得截面的面积为________.
四、解答题；本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人，它能够通过学习和理解人类 语言来进行对话．聊
天机器人的开发主要采用 （人类反馈强化学习）技术，在测试它时，如果输入的问题没有语法错误，
则它的回答被采纳的概率为 80%，当出现语法错误时，它的回答被采纳的概率为 40%．
（1）在某次测试中输入了 8 个问题，聊天机器人的回答有 5 个被采纳，现从这 8 个问题中抽取 4 个，以 X
表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求 X 的分布列和数学期望；
（2）设输入的问题出现语法错误的概率为 p，若聊天机器人的回答被采纳的概率为 70%，求 p 的值．
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16. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架 ， 的边长都是 1，且它们所在平面互相垂直，
活动弹子 分别在正方形对角线 和 上移动，且 和 的长度保持相等，记
，活动弹子 在 上移动.
（1）求证：直线 平面 ；
（2） 为 上的点，求 与平面 所成角的正弦值的最大值.
17. 已知点 分别为双曲线 的左､右焦点，过 的直线 交双曲线
于 两点，当直线 的斜率不存在时， .
（1）求双曲线 的离心率；
（2）过双曲线的右焦点向该双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为 ，若 的面积为 ，求该双曲线
的方程；
（3）在（2）的条件下，若点 分别为双曲线 的左､右顶点，直线 与直线 相交于点 ，证明：
点 在一条定直线上.
18. 已知函数 .
（1）若 ，求 在 处的切线方程；
（2）设函数 ，讨论 在区间 上的单调性；
（3）若 存在两个极值点 ， ，且 ，证明： .
19. 如图，已知给定线段 长为 2，以 为底边作顶角为 的等腰三角形 ，取
的腰 的三等分点 ， （ 靠近 ），以 为底边向 外部作顶角为 的等腰
三角形 ……依次类推，取 的腰 的三等分点 ， （ 靠近 ），以
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为底边向 外部作顶角为 的等腰三角形 ，得到三角形列 .
（1）用 表示出 的外接圆半径；
（2）当 时，证明： 各顶点均在 外接圆上或其内部；
（3）若 各顶点均在 外接圆上或其内部，求 的取值范围.
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