安徽省皖北县中联盟2024-2025学年高二下学期3月联考数学试题（A卷）（原卷版+解析版）

这是一份安徽省皖北县中联盟2024-2025学年高二下学期3月联考数学试题（A卷）（原卷版+解析版），共21页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围， 已知点是抛物线， 如图为我国数学家赵爽等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册，选择性必修第三册第六章.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在全球高铁技术竞争中，中国站到了前沿.全国政协委员、中国铁道科学研究院集团有限公司首席研究员赵红卫近日透露，全球最快的高铁列车CR450正在加紧试验，预计将在一年后投入商业运营.小张需要乘坐G302次高铁从合肥到北京，已知此次高铁列车车票还剩下二等座4张，一等座10张，商务座5张，则小张的购票方案种数为（ ）
A. 19B. 20C. 90D. 200
2. 已知等差数列前项和为，若，则（ ）
A. B. 10C. 19D. 38
3. 有3名男生和3名女生去影院观影，他们买了同一排相连的6个座位，若3名女生必须相邻，则不同的坐法有（ ）
A. 24种B. 48种C. 96种D. 144种
4. 已知，则（ ）
A. 364B. 365C. 728D. 730
5. 已知点是抛物线：上任意一点，若点到抛物线的准线的距离为，到直线：的距离为，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
6. 在平面直角坐标系中，，，点满足，则面积的最大值是（ ）
A 2B. C. D.
7. 已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在用7种颜色给5个小区域（，，，，）涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有（ ）

A. 2520种B. 3360种C. 3570种D. 4410种
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列关于二项展开式，说法正确的是（ ）
A. 展开式共有10项B. 展开式的二项式系数之和为1024
C. 展开式的常数项为8064D. 展开式的第6项的二项式系数最大
10. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的图象在的切线的斜率为0
B. 函数在上单调递减
C. 是函数的极小值点
D. 是函数的极大值
11. 将个数排成行列的一个数阵，如：
该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列（其中）.已知，，记这个数的和为，则下列说法正确的有（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数图象在处的切线方程是______.
13. 已知数列的前项和为，若，，则______.
14. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支和左支分别交于点，，若的面积为，且的面积是面积的2倍，则双曲线的离心率为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 高二（3）班的3个男生，2个女生（含学生甲、乙）在寒假期间参加社会实践活动.（用数字作答下列问题）
（1）社会实践活动有5项不同的工作，要求每个人只能做一项工作，每项工作都有人去做，求不同的分配方案的种数；
（2）活动后5人排成一排拍照，求甲不在中间，乙不在排头的排法种数.
16. 已知数列满足，.
（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）求数列前项和.
17. 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，求证：对且，都有.
18. 已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴与轴，且经过点，.
（1）求的标准方程；
（2）若是的右焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于两点，直线与交于，两点.求四边形面积的取值范围.
19. 在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用（其中，）表示，给定一个点和一个方向，我们可以确定一条直线，例如：已知点在直线上，是直线的一个方向向量，则直线上任意一点满足，化简得直线的方程为.而在空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都可以表示成（其中，且），类似的，在空间中，给定一个点和一个平面的法向量也可以确定一个平面.
（1）若点，，，求平面的方程；
（2）求证：是平面的一个法向量；
（3）已知某平行六面体，平面的方程为，平面经过点，，，平面的方程为，求平面与平面夹角的余弦值.
2024~2025学年度第二学期高二3月联考
数学（A卷）
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册，选择性必修第三册第六章.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在全球高铁技术竞争中，中国站到了前沿.全国政协委员、中国铁道科学研究院集团有限公司首席研究员赵红卫近日透露，全球最快的高铁列车CR450正在加紧试验，预计将在一年后投入商业运营.小张需要乘坐G302次高铁从合肥到北京，已知此次高铁列车车票还剩下二等座4张，一等座10张，商务座5张，则小张的购票方案种数为（ ）
A. 19B. 20C. 90D. 200
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意用分类加法计数原理相加即可.
【详解】因此次高铁列车车票还剩下二等座4张，一等座10张，商务座5张，
按照分类加法计数原理可得小张的购票方案种数为.
故选：A.
2. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A. B. 10C. 19D. 38
【答案】C
【解析】
【分析】利用等差数列的性质与求和公式即可求解
【详解】因为数列是等差数列，所以.
故选：C.
3. 有3名男生和3名女生去影院观影，他们买了同一排相连的6个座位，若3名女生必须相邻，则不同的坐法有（ ）
A. 24种B. 48种C. 96种D. 144种
【答案】D
【解析】
【分析】先利用捆绑法将3名女生看成一个整体，再将女生整体和3名男生一起排列.
【详解】先把3名女生看成一个整体，有种排法，
再把这个整体与另外3名男生排列，有种排法，
则不同的坐法有种坐法.
故选：D.
4. 已知，则（ ）
A. 364B. 365C. 728D. 730
【答案】B
【解析】
【分析】利用赋值法计算.
【详解】令，得①，
令，得②，
①+②，得，
所以.
故选：B.
5. 已知点是抛物线：上任意一点，若点到抛物线的准线的距离为，到直线：的距离为，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由抛物线的定义可知，过点作，交直线于点，当在线段上时，取得最小值.
【详解】抛物线：的焦点为，准线方程为，
过点作，交直线于点，
由抛物线的定义可知，，所以当在线段上时，
取得最小值，.
故选：B.
6. 在平面直角坐标系中，，，点满足，则面积的最大值是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用两点距离公式求得点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，易得到直线的最大距离，最后应用三角形面积公式求面积最大值.
【详解】设点，因为，
所以，整理得，
所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，
又直线的方程为轴，
所以点到直线的最大距离为圆的半径，即，
所以面积的最大值为.
故选：C
7. 已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】构造函数，目标即可转化为解不等式，再结合可得在上单调递减的性质即可.
【详解】令，则，所以在上单调递减，
因为，所以不等式可变为，
即，所以，即，
所以不等式的解集为.
故选：D.
8. 如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在用7种颜色给5个小区域（，，，，）涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有（ ）

A. 2520种B. 3360种C. 3570种D. 4410种
【答案】D
【解析】
【分析】利用分类加法计数原理，分步乘法计数原理解决.
【详解】分4步进行分析：
①对于区域，有7种颜色可选；
②对于区域，与区域相邻，有6种颜色可选；
③对于区域，与、区域相邻，有5种颜色可选；
④对于区域、
若与颜色相同，区域有5种颜色可选，
若与颜色不相同，区域有4种颜色可选，区域有4种颜色可选，
则区域、有种选择.
综上所述，不同的涂色方案有种.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列关于的二项展开式，说法正确的是（ ）
A. 展开式共有10项B. 展开式的二项式系数之和为1024
C. 展开式常数项为8064D. 展开式的第6项的二项式系数最大
【答案】BD
【解析】
【分析】由二项展开式及性质可知A错误，B正确.利用二项展开式的通项公式求常数项和第6项可知C错误，D正确.
【详解】由题意可知，展开式共有11项，故A错误；
展开式的二项式系数之和为，故B正确；
展开式的通项为，
令，得，所以展开式的常数项为，故C错误；
当时，二项式系数最大，所以展开式的第6项的二项式系数最大，故D正确.
故选：BD.
10. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的图象在的切线的斜率为0
B. 函数在上单调递减
C. 是函数的极小值点
D. 是函数的极大值
【答案】AD
【解析】
【分析】结合图象可得出和的区间即可得出的单调性和极值.
【详解】由图可知，所以函数图象在的切线的斜率为0，故A正确；
由图可知时，，所以函数在上单调递增，故B错误；
由图可知时，，所以函数在上单调递增，
因此不是函数的极小值点，故C错误；
由C选项可知函数在上单调递增，由图可知时，，所以函数在上单调递减，
则是函数的极大值点，是函数的极大值，故D正确.
故选：AD.
11. 将个数排成行列的一个数阵，如：
该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列（其中）.已知，，记这个数的和为，则下列说法正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】综合运用等差数列，等比数列的性质和求和公式计算可以判定各个选项.
【详解】由题意，根据等差数列的通项公式得,
根据等比数列的通项公式得.
因为，，所以，
解得（，舍去），故A正确；
所以.
，故B错误；
，故C正确；
，故D正确.
故选:ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的图象在处的切线方程是______.
【答案】
【解析】
【分析】利用导数的几何意义求得切线的斜率，进而写出方程.
【详解】由已知，得，，所以，
所以所求切线方程为，
即.
故答案为：.
13. 已知数列的前项和为，若，，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据先求数列的通项公式，再求数列的前50项和即可.
【详解】因为，所以，
所以数列是常数列，因为，所以，
所以.
故答案为：2500.
14. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支和左支分别交于点，，若的面积为，且的面积是面积的2倍，则双曲线的离心率为______.
【答案】
【解析】
【分析】由双曲线的定义及余弦定理可求得，结合三角形面积公式可得，得，设，，根据条件可表达出，，，根据勾股定理逆定理即可得，最后由可得关系式，从而求出离心率.
【详解】因为，
所以，
即，
因为，
所以，所以，即，
设，，由的面积是面积的2倍，得
，则，，
在中，，
所以，解得，
所以，，
因为，
所以，得，即，
所以双曲线的离心率为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 高二（3）班的3个男生，2个女生（含学生甲、乙）在寒假期间参加社会实践活动.（用数字作答下列问题）
（1）社会实践活动有5项不同的工作，要求每个人只能做一项工作，每项工作都有人去做，求不同的分配方案的种数；
（2）活动后5人排成一排拍照，求甲不在中间，乙不在排头的排法种数.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）通过排列的方法求分配方案的种数；
（2）用分类法或排除法求排法种数.
【详解】（1）5个人做5项不同的工作，要求每个人只能做一项工作，每项工作都有人去做，不同的分配方案总数为种.
（2）方法一：甲不在中间，乙不在排头的排法可以分两类：
①甲在排头，其他4人随机排，则有种排法；
②甲不在排头也不在中间，甲有3个位置可以选择，乙不在排头，有3个位置可以选择，其他3人随机排，则有种排法.
综上所述，甲不在中间，乙不在排头的排法种数共有种.
方法二：5人随机排有种排法，其中甲在中间，其他4人随机排，有种排法，乙在排头，其他4人随机排，有种排法，甲在中间，乙在排头，其他3人随机排，有种排法.
综上所述，甲不在中间，乙不在排头的排法种数共有种.
16. 已知数列满足，.
（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）证明见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）利用题中条件整理可得即可得等比数列，再用等比数列的通项公式即可；
（2）运用分组求和法与错位相减法求和.
【小问1详解】
因为，，
所以，，
所以.
因为，所以，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以，即.
【小问2详解】
因为，
所以.
其中.
令，
，
两式相减，得.
所以，
所以.
17. 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，求证：对且，都有.
【答案】（1）函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据与1的大小关系分类讨论，用导数判断函数的单调性；
（2）构造新函数，并证明函数的单调性.
【小问1详解】
解：因为，定义域为，
所以.
当时，令，得或，
令，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
当时，恒成立，所以函数在上单调递增.
当时，令，得或，令，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
【小问2详解】
证明：不妨设，要证对，都有，
只需证，即需证.
构造函数，
则需证函数在上为增函数，
结合，因为，
所以函数在上为增函数成立，
所以当时，对且，都有.
18. 已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴与轴，且经过点，.
（1）求的标准方程；
（2）若是的右焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于两点，直线与交于，两点.求四边形面积的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）运用点在椭圆上求椭圆的方程；
（2）通过直线与椭圆方程的联立，用设而不求法求弦长，通过构造新函数求四边形面积的取值范围.
【小问1详解】
解：设的方程为，
将点，代入，得解得
所以的标准方程为.
【小问2详解】
解：当直线的斜率为0，直线的斜率不存在时，，，
当直线的斜率不存在，直线的斜率为0时，，，
所以四边形面积.
当直线，的斜率存在且不为0时，
设直线的方程为，，，
联立得，
由题意得，，.
所以，
同理，
四边形的面积.
令，则，
所以当，即时，，
所以.
综上所述，四边形面积的取值范围.
19. 在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用（其中，）表示，给定一个点和一个方向，我们可以确定一条直线，例如：已知点在直线上，是直线的一个方向向量，则直线上任意一点满足，化简得直线的方程为.而在空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都可以表示成（其中，且），类似的，在空间中，给定一个点和一个平面的法向量也可以确定一个平面.
（1）若点，，，求平面的方程；
（2）求证：是平面的一个法向量；
（3）已知某平行六面体，平面的方程为，平面经过点，，，平面的方程为，求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）通过平面方程的新概念求平面的方程；
（2）通过平面方程的新概念求平面的法向量与点到平面的距离；
（3）通过平面方程的新概念求的方向向量，再根据平面求平面的法向量，再求平面与平面的夹角的余弦值.
【小问1详解】
解：，，
设是平面一个法向量，
则，
令，得，，所以.
设点是平面内任意一点，
由，得，
所以平面的方程为.
【小问2详解】
证明：记平面的方程为，
在平面上任取一条直线，直线上任取两点，，
则有，
因为，，
所以
所以，即垂直于平面上任意一条直线，
所以是平面的一个法向量.
【小问3详解】
，，
设为平面的一个法向量，
则，
令，得，，
所以.
因为平面的方程为，所以由（2）知平面的一个法向量为，
设直线的一个方向向量为，
则，
令，得，，所以.
因为平面，所以平面的一个法向量与直线的方向向量垂直，
所以，解得，所以.
所以平面与平面夹角的余弦值为.