2025年浙江省杭州市富阳区中考一模道数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份2025年浙江省杭州市富阳区中考一模道数学试卷（原卷版+解析版），共25页。
1．本试卷满分120分，考试时间120分钟．
2．答题前，在答题纸上写姓名和准考证号，并在试卷首页的指定位置写上姓名和座位号．
3．必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效．答题方式详见答题纸上的说明．
4．如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑．
5．考试结束后，试题卷和答题纸一并上交．
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分．
1. 的相反数为（ ）
A. 3B. C. D.
2. 在如图所示的几何体中，俯视图和左视图相同的是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，在中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（ ）
A. c＝bsinBB. b＝csinBC. a＝btanBD. b＝ctanB
4. 下列运算正确是（ ）
A. B. C. D.
5. 某果园实验基地种植了甲、乙两个品种的杨梅树，工作人员随机从甲、乙两品种的杨梅树中采摘了20棵，统计了每棵的产量．下列关于两品种每棵产量的平均数和方差的描述中，能说明甲品种的杨梅产量较稳定的是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，的直径与弦的夹角为，过点C的切线与的延长线交于点P，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知m是一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A. 2025B. 2023C. 2021D. 2018
8. 如图，菱形的对角线，相交于点O，过点B作交于点E，连接，若，，则菱形的面积为（ ）
A. 30B. 24C. 15D. 12
9. 已知一次函数，当时，对应的y值为，则b的值为（ ）
A. B. C. 或D.
10. 如图，在矩形中，，，菱形的三个顶点E，F，H分别在矩形的边，，上，．得到如下两个结论：①面积的最大值为．②点G到的距离为3．则（ ）
A. ①②都对B. ①②都错C. ①对②错D. ①错②对
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．
11. 因式分解：______．
12. 从4张大小、背面相同的卡片，正面上的数分别为，1，，，若将这4张卡片背面朝上洗匀后，从中任意抽1张，这张卡片正面上的数为无理数的概率是________．
13. 已知一个圆锥的侧面展开图是圆心角为120°，半径为3cm的扇形，则这个圆锥的底面圆半径是 ___________cm．
14. 如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点A和C为圆心，以大于AC长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交CD于点E．若DE＝4，CE＝5，则矩形的对角线AC的长为__．
15. 如图，一次函数y1＝x﹣1与反比例函数y2＝的图象交于点A(2，1)，B(﹣1，﹣2)，则使y1＜y2的x的取值范围是_____．
16. 如图是以为直径的，点C是圆上一点，将圆形纸片沿着折叠，与交于点D，连结并延长与圆交于点E，若，则的值等于_______．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：
18 解不等式组
19. 在中，，，．
（1）求的度数．
（2）求的面积．
20. 某中学为了解本校八年级学生参加志愿者活动次数，随机调查了该年级20名学生，统计得到该20名学生参加志愿者活动的次数如下：3，5，3，6，3，4，4，5，2，4，5，6，1，3，5，5，4，4，2，4．根据以上数据，得到如下不完整的频数分布表：
（1）表格中的 ______， _______；
（2）在这次调查中，参加志愿者活动次数的众数为______，中位数为_______；
（3）若该校八年级共有600名学生，根据调查统计结果，估计该校八年级学生参加志愿者活动的次数不低于4次的人数．
21. 如图1，在中，，是的平分线．用尺规作，E是边上一点．
小明：如图2．以A为圆心，长为半径作弧，交于点E，连接，则．
小丽：以点D为圆心，长为半径作弧，交于点E，连接，则．
小明：小丽，你的作法有问题．
小丽：哦…我明白了!
（1）给出小明作法中的证明．
（2）指出小丽作法中存在的问题．
22. 某快递公司需将一批总重为吨的物品从仓库运往配送中心．现有下表所示两种类型货车可供调配：
（1）若公司一次性派出两种货车共辆，恰好运完所有物品，且公司要求每辆货车必须满载运输，求甲、乙两种货车各派出多少辆？
（2）若快递公司派出甲型、乙型货车共辆，其中甲型货车不少于辆，要求预算运输费用不超过元，请设计一种运输方案使总费用最低，并计算最低费用．
23. 已知二次函数
（1）若二次函数过点
①求此二次函数表达式．
②将二次函数向下平移2个单位，求平移后的二次函数与轴的两个交点之间的距离．
（2）如果，，都在这个二次函数上，且，求的取值范围．
24. 如图，已知正方形的对角线相交于点，平分交于点，，交于点，交于点．
（1）求值；
（2）求证：；
（3）求证：．
2024学年第二学期九年级期中抽测
数学问卷
考生须知：
1．本试卷满分120分，考试时间120分钟．
2．答题前，在答题纸上写姓名和准考证号，并在试卷首页的指定位置写上姓名和座位号．
3．必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效．答题方式详见答题纸上的说明．
4．如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑．
5．考试结束后，试题卷和答题纸一并上交．
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分．
1. 的相反数为（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查求一个数的相反数．根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数计算即可．
【详解】解：的相反数是3．
故选：A．
2. 在如图所示的几何体中，俯视图和左视图相同的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据俯视图与左视图的概念依次判断即可．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【详解】解：A、俯视图是带圆心的圆，左视图是等腰三角形，故本选项不合题意；
B、俯视图是圆，左视图是矩形，故本选项不合题意；
C、俯视图与左视图都是正方形，故本选项符合题意；
D、俯视图是三角形，左视图是矩形，故本选项不合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．
3. 如图，在中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（ ）
A. c＝bsinBB. b＝csinBC. a＝btanBD. b＝ctanB
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角函数的定义进行判断，即可解决问题．
【详解】∵中，，、、所对的边分别为a、b、c
∴，即，则A选项不成立，B选项成立
，即，则C、D选项均不成立
故选：B．
【点睛】本题考查了三角函数的定义，熟记定义是解题关键．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了整式的加减乘除运算，利用合并同类项对A、B进行判断；根据同底数幂的乘法对C进行判断；根据同底数幂的除法对D进行判断．
【详解】解：A、与不能合并，所以A选项错误；
B、与不能合并，所以B选项错误；
C、，所以C选项正确；
D、，所以D选项错误．
故选：C．
5. 某果园实验基地种植了甲、乙两个品种的杨梅树，工作人员随机从甲、乙两品种的杨梅树中采摘了20棵，统计了每棵的产量．下列关于两品种每棵产量的平均数和方差的描述中，能说明甲品种的杨梅产量较稳定的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了方差的概念及性质，理解方差的大小与稳定性的关系是关键．
方差越小，越稳定，由此即可求解．
【详解】解：甲品种的杨梅产量较稳定，则甲的方差小于乙的方差，
∴，
故选：D ．
6. 如图，的直径与弦的夹角为，过点C的切线与的延长线交于点P，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，也考查了圆周角定理．连接，如图，根据切线的性质得到，再根据圆周角定理得到，然后利用互余计算出的度数．
【详解】解：连接，如图，
∵为的切线，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
7. 已知m是一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A. 2025B. 2023C. 2021D. 2018
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义和代数式求值，熟知方程解的定义、灵活应用整体思想是关键．
根据一元二次方程的根的定义可得，然后整体代入所求式子解答即可．
【详解】解：∵m是一元二次方程一个根，
∴，即，
∴；
故选：C．
8. 如图，菱形的对角线，相交于点O，过点B作交于点E，连接，若，，则菱形的面积为（ ）
A. 30B. 24C. 15D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求，再由勾股定理确定，根据菱形面积对角线积的一半即可．
【详解】解：菱形，
∴，，
，
∴为直角三角形，
．
∵，
∴，
∴，
，
故选：B．
9. 已知一次函数，当时，对应的y值为，则b的值为（ ）
A. B. C. 或D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查待定系数求函数解析式及一次函数的性质，根据一次函数的单调性分类讨论，求得函数解析式是解题的关键．
一次函数可能是增函数也可能是减函数，应分两种情况进行讨论，根据待定系数法即可求得解析式．
【详解】解：当时，由一次函数的性质知，y随x的增大而增大，
所以得，
解得，即；
当时，y随x的增大而减小，
所以得，
解得，即．
故答案为：C．
10. 如图，在矩形中，，，菱形的三个顶点E，F，H分别在矩形的边，，上，．得到如下两个结论：①面积的最大值为．②点G到的距离为3．则（ ）
A. ①②都对B. ①②都错C. ①对②错D. ①错②对
【答案】A
【解析】
【分析】结合矩形的性质可知，连接，，由勾股定理可得，，而，在菱形中，，当点与点重合时，取等号，即：当点与点重合时，有最大值，此时有最大值，进而可判断①正确；延长交延长线与，过点作，垂足为，先证明，得，可知，进而可判断②正确．
【详解】解：在矩形中，，，，，
∵，
∴，
连接，，
由勾股定理可得：，
，
而，
在菱形中，，当点与点重合时，取等号，
即：当点与点重合时，有最大值，此时有最大值，
则的最大值为，
则面积的最大值为，故①正确；
延长交延长线与，过点作，垂足为，则，
∵，
∴，
在菱形中，，，则，
∴，
∴，
∴，故②正确，
故选：A．
【点睛】本题考查矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．
11. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了提公因式法因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．
直接提公因式，即可得到答案．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 从4张大小、背面相同的卡片，正面上的数分别为，1，，，若将这4张卡片背面朝上洗匀后，从中任意抽1张，这张卡片正面上的数为无理数的概率是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查概率及无理数的定义，解题的关键是找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．根据无理数定义：无限不循环的小数，找出其中无理数的个数为2，再利用概率公式计算即可．
【详解】解：∵有4大小、背面都相同的扑克牌，正面上的数字分别是，1，，．其中无理数为：，，共2张，
∴从中任意抽取1张，那么这张牌正面上的数字为无理数的概率是：．
故答案为：．
13. 已知一个圆锥的侧面展开图是圆心角为120°，半径为3cm的扇形，则这个圆锥的底面圆半径是 ___________cm．
【答案】1
【解析】
【分析】根据展开图扇形的弧长等于圆锥的底面圆周长，计算即可得出答案．
【详解】解：展开图扇形的弧长．
根据题意展开图扇形的弧长等于圆锥的底面圆周长，
∴这个圆锥的底面圆半径是（cm）．
故答案：1．
【点睛】本题主要考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥原图与展开图扇形之间的关系进行求解是解决本题的关键．
14. 如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点A和C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交CD于点E．若DE＝4，CE＝5，则矩形的对角线AC的长为__．
【答案】3
【解析】
【分析】根据题意利用基本作图即可判断MN垂直平分AC，则AE=CE=5，然后利用勾股定理先计算出AD，再计算出AC．
【详解】解：由作法得MN垂直平分AC，
∴AE＝CE＝5，
在Rt△ADE中，AD＝＝3，
在Rt△ADC中，AC＝＝3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查作图-基本作图以及矩形的性质，熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
15. 如图，一次函数y1＝x﹣1与反比例函数y2＝的图象交于点A(2，1)，B(﹣1，﹣2)，则使y1＜y2的x的取值范围是_____．
【答案】0＜x＜2或x＜﹣1
【解析】
【分析】求得一次函数的图象在反比例函数的图象下方时，自变量x的取值即可．
【详解】解：∵一次函数y1＝x﹣1与反比例函数y2＝的图象交于点A(2，1)，B(﹣1，﹣2)，
∴从图象可知：使y1＜y2的x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜2，
故答案为0＜x＜2或x＜﹣1．
【点睛】本题主要考查函数和不等式的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．函数y1＞y2时x的范围是函数y1的图象在y2的图象上方时对应的未知数的范围，反之亦然．
16. 如图是以为直径的，点C是圆上一点，将圆形纸片沿着折叠，与交于点D，连结并延长与圆交于点E，若，则的值等于_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查折叠圆问题，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，根据折叠得到等圆，结合所对的弧不同得到即，再结合和圆周角定理得到，即可得到，，，代入得到，解得，最后计算即可．
【详解】解：连接，，设半径为，
∵，
∴设，，
∵将圆形纸片沿着折叠，
∴，
∴，
∴，
∵为直径的，
∴，
∴，
解得，
∴，，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
整理解得（负值已舍去），
∴，
故答案为：．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，先根据负整数指数幂、绝对值、二次根式的性质化简，再根据有理数的加减法则计算即可．
【详解】解：原式．
18. 解不等式组
【答案】1≤x＜10
【解析】
【分析】首先分别计算出两个不等式的解集，再根据解集的规律确定不等式组的解集．
【详解】解：，
解①得：x＜10，
解②得：1≤x，
故不等式组的解为：1≤x＜10．
【点睛】此题主要考查不等式组的求解，解题的关键是熟知不等式的解法．
19. 在中，，，．
（1）求的度数．
（2）求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形，掌握锐角三角形函数的定义是解题的关键．
（1）根据，，可得，即可求解；
（2）结合，得，求得，根据三角形的面积公式即可求解．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∵，则；
【小问2详解】
∵，，
∴，
∴，
∴．
20. 某中学为了解本校八年级学生参加志愿者活动的次数，随机调查了该年级20名学生，统计得到该20名学生参加志愿者活动的次数如下：3，5，3，6，3，4，4，5，2，4，5，6，1，3，5，5，4，4，2，4．根据以上数据，得到如下不完整的频数分布表：
（1）表格中的 ______， _______；
（2）在这次调查中，参加志愿者活动次数的众数为______，中位数为_______；
（3）若该校八年级共有600名学生，根据调查统计结果，估计该校八年级学生参加志愿者活动的次数不低于4次的人数．
【答案】（1）4，5 （2）4，4
（3）390人
【解析】
【分析】（1）由题中的数据即可求解；
（2）根据中位数、众数的定义即可解答；
（3）由样本估计总体，即可解答．
【小问1详解】
解：根据给出的数据可得：，，
故答案：4，5；
【小问2详解】
解：该20名学生参加志愿者活动的次数从小到大排列如下：
1，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，6，
其中出现次数最多的为4，有6次，故众数为：4，
中位数为第10，第11个数的平均数，为，
故答案为：4，4；
【小问3详解】
解：由样本可知参加志愿者活动次数不低于4次的人数占比为：，
所以估计该校八年级600名学生参加志愿者活动的次数不低于4次人数为：（人）．
【点睛】本题考查了频数分布表，众数、中位数、样本估计总体，掌握众数、中位数的定义是解题的关键．
21. 如图1，在中，，是的平分线．用尺规作，E是边上一点．
小明：如图2．以A为圆心，长为半径作弧，交于点E，连接，则．
小丽：以点D为圆心，长为半径作弧，交于点E，连接，则．
小明：小丽，你的作法有问题．
小丽：哦…我明白了!
（1）给出小明作法中的证明．
（2）指出小丽作法中存在的问题．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】题目主要考查基本作图及等腰三角形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
（1）根据题意得出，再由等腰三角形三线合一即可证明；
（2）根据题意以点D为圆心，长为半径作弧与边可能会有两个交点，其中一个交点与点C的连线不垂直于．
【小问1详解】
解：设与交于点F，由题意得：
∵是的平分线，
∴，
∴即．
【小问2详解】
如图，以点D为圆心，长为半径作弧与边可能会有两个交点，其中一个交点与点C的连线不垂直于．
22. 某快递公司需将一批总重为吨的物品从仓库运往配送中心．现有下表所示两种类型货车可供调配：
（1）若公司一次性派出两种货车共辆，恰好运完所有物品，且公司要求每辆货车必须满载运输，求甲、乙两种货车各派出多少辆？
（2）若快递公司派出甲型、乙型货车共辆，其中甲型货车不少于辆，要求预算运输费用不超过元，请设计一种运输方案使总费用最低，并计算最低费用．
【答案】（1）派甲型货车辆，乙型货车辆，恰好一次性运完吨物品
（2）当派甲型货车辆，乙型货车辆，总费用最低
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意，正确找出数量关系．
（1）设甲型货车辆，乙型货车辆，根据题意列出方程组即可求解；
（2）设甲型货车辆，乙型货车为辆，根据题意列不等式组求出的范围，再计算费用即可．
【小问1详解】
解：设甲型货车辆，乙型货车辆，
由题意得：，
解得：，
答：派甲型货车辆，乙型货车辆，恰好一次性运完吨物品；
【小问2详解】
设甲型货车辆，乙型货车为辆，
根据题意得：，
解得：，
当时，此时运费元，
当时，此时运费元，
当时，此时运费元，
当时，此时运费元，
综上可知：当派甲型货车辆，乙型货车辆，总费用最低．
23. 已知二次函数
（1）若二次函数过点
①求此二次函数表达式．
②将二次函数向下平移2个单位，求平移后的二次函数与轴的两个交点之间的距离．
（2）如果，，都在这个二次函数上，且，求的取值范围．
【答案】（1）①；②
（2）或
【解析】
【分析】（1）①直接把点代入，求出的值，再代回即可；
②先求出向下平移2个单位长度后的函数表达式，再令得到，然后解方程得，最后利用两个交点之间的距离公式求出即可；
（2）先根据点、的纵坐标相同可知这两点关于对称轴对称，利用中点坐标公式求出对称轴，再利用对称性确定点关于对称轴的对称点为，最后对点分类讨论，根据函数的单调性列出不等式，解出的取值范围．
【小问1详解】
解：①把点代入二次函数得：，解得，
二次函数表达式为；
②将二次函数向下平移2个单位，函数表达式为：，
令，得：，解得，
两交点间距离为：，
∴平移后二次函数与轴的两个交点之间的距离为；
【小问2详解】
解：，在二次函数上，
对称轴为直线，点P在对称轴左侧，点Q在对称轴右侧，
当时，，
点在二次函数上，
点关于对称轴直线的对称点为，
，
点在对称轴的左侧，
当在对称轴右侧时，
则，，都在对称轴右侧，y随着x的增大而减小，
，
，解得；
当在对称轴左侧时，则，，都在对称轴左侧，y随着x的增大而增大，
，
，解得，
综上所述：或．
【点睛】本题考查了二次函数的表达式求解，平移变换，与轴交点距离计算，以及利用函数性质分析变量范围．解题的关键是懂得利用二次函数的对称性，结合点的坐标进行分类讨论．
24. 如图，已知正方形的对角线相交于点，平分交于点，，交于点，交于点．
（1）求的值；
（2）求证：；
（3）求证：．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由正方形的性质，结合特殊角的三角函数值求解即可得到答案；
（2）由正方形性质得到，再结合角平分线定义、垂直定义得到，利用两个三角形相似的判定定理即可得证；
（3）过点作交延长线于点，如图所示，由中位线判定与性质得到，再由正方形性质及已知条件，根据两个三角形全等的判定与性质得到即可得证．
【小问1详解】
解∵正方形的对角线相交于点，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
证明：过点作交延长线于点，如图所示：
，
，
∴，，
由（2）可得，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查几何综合，涉及正方形性质、特殊角的三角函数值、角平分线定义、垂直定义、相似三角形的判定、三角形中位线的性质、两个三角形全等的判定与性质等知识，熟记相关几何判定与性质是解决问题的关键．
次数
1
2
3
4
5
6
人数
1
2
6
2
类型
甲型
乙型
满载（吨）
价格（元）
次数
1
2
3
4
5
6
人数
1
2
6
2
类型
甲型
乙型
满载（吨）
价格（元）