2025年陕西省西安市陕西师范大学附属中学中考四模数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份2025年陕西省西安市陕西师范大学附属中学中考四模数学试卷（原卷版+解析版），共36页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分）
1. 下列四个实数中，是无理数的是（ ）
A B. 0C. D.
2. 下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 将等边三角形如图放置，，．则（ ）

A B. C. D.
5. 如图，在中，，，点E、F分别是、中点，若，则四边形的周长是（ ）
A. 2B. C. 4D.
6. 在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象向右平移2个单位长度后经过点，则a的值为（ ）
A. B. 1C. D. 2
7. 如图，内接于，连接，作交于点D，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，已知抛物线（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于点，与y轴的交点B在，之间（不含端点），则下列结论正确的有（ ）个
①；
②；
③；
④若方程两根为，则．
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____．
10. 截至3月26日，电影《哪吒2》全球总票房突破150亿元，150亿用科学记数法表示为______．
11. 铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是的内心，若，则花窗的周长（图中实线部分的长度）______．（结果保留）
12. 点，在反比例函数（的常数）的图象上，若（，则a的取值范围是______．
13. 如图，在矩形中，，，点P从点A向点C运动，点Q同时从点C以相同的速度向点D运动，当点Q到达点D时，两个点同时停止运动．在运动过程中，的最小值为______．
三、解答题（共13题，计81分）
14. 计算：．
15. 解不等式组：，并写出它的所有负整数解．
16. 先化简，再从，1，2中选取一个适合的数代入求值．
17. 如图，在中，，请用尺规作图法，求作一个等边三角形，使得D，E两点在边上．（保留作图痕迹，不写作法）
18. 如图，点是菱形的对角线上一点，连接，，求证：．

19. 秦腔，作为我国戏曲艺术宝库里一颗璀璨的明珠，承载着深厚的历史文化底蕴．其脸谱色彩丰富多变，每一种颜色都精准地象征着特定的人物性格：红色寓意忠勇侠义，白色尽显阴险狡诈，黑色彰显刚正不阿．在一场秦腔演出的紧张筹备阶段，工作人员精心准备了一个不透明的箱子，箱子内放有2张红色脸谱、1张白色脸谱以及2张黑色脸谱．这些脸谱除颜色外，质地、大小等方面完全相同．
（1）从箱子中随机抽取一张脸谱，抽到代表忠勇脸谱的概率是______；
（2）若从箱子中随机抽取两张脸谱，请用列表或画树状图的方式，求抽到一张代表忠勇的红色脸谱与一张代表奸诈的白色脸谱的概率．
20. 如图，已知．
（1）将以原点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；
（2）连接，则四边形面积为______．
21. 法门寺地处陕西省宝鸡市的法门镇，被誉为皇家寺庙，因安置释迦牟尼佛指骨舍利而成为举国仰望的佛教圣地．小明想利用刚学过的测量知识来测量法门寺塔的高度．一个阳光明媚的下午，他和数学应用实践小组的同学们带着测量工具来到这座塔前，但他们无法到达塔的底部．如图，小明先在塔前方的点处用侧倾器测得塔顶端的仰角为；然后，他沿方向前进米至塔的影子顶端处．此时，测得小明的影长为米．已知小明的身高为米，测倾器的高度为米，且．求这座宝塔的高度．（参考数据：）
22. 脚印信息往往对应着一个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高y和脚长x之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表：
（1）根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出x的取值范围）；
（2）小林在某月测量自己的脚长是，买了一双新鞋．过了一段时间，小林明显感觉鞋子变小，已经不合脚了．经测量，他此时的脚长达到了．请根据（1）中求出的函数解析式，估算一下这段时间小林身高增长了多少．
23. 某校九年级开展了“校园科技节”活动，每班选取25名学生参赛，活动包含模型设计、科技小论文两个项目．对九（1）班、（2）班的25名参赛学生的模型设计分数进行整理、描述和分析，给出如下部分信息．
a．九（1）班模型设计分数频数分布直方图．
其中这一组的数据为：86 86 86 86 86 87 87 88 88 88 89 89
b．九（1）班、九（2）班模型设计的平均数、众数、中位数如上表所示：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）补全九（1）班模型设计的频数分布直方图；
（2）表格中m的值为______，n的值为______．
（3）九（1）班这25名学生的科技小论文平均分为93分，九（2）班科技小论文平均分为89分．若学校将模型设计和科技小论文两个项目的平均分按照的比例确定最终成绩，请通过计算说明哪个班最终成绩更高．
24. 如图，是的直径，弦于点是弧上一点，的延长线交于点，连接．
（1）求证：；
（2）已知，若点是的中点，求的长．
25. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象经过点和点，与轴交于点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点是二次函数图象上的一个动点，当点在第一象限时，过点作轴于点，与线段交于点，是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
26. 问题探究：
如图①，直线l与相切于点P，点A，点B为上两点，点Q为直线l上异于点P的任意一点，试探究与的大小关系，并证明你的结论．问题解决：
某动物园要建造一个水鸟园供游客参观，如图②，为水鸟园的建设用地，其中公里，公里，，根据修建要求，内部为水鸟戏水区，在边上要修建一段长为公里的水岸（F在左，G在右），供水鸟上岸休息；在两边上各修建一个游客观赏点D和E，使游客在这两个点观赏水鸟上岸成群栖息的美景时感到最舒适（研究发现，当我们观赏景色的视线张角最大时，观感最舒适）是否存在满足条件的观测点D、E和水鸟休息区？如果存在，求此时和的长；如果不存在，请说明理由．
陕西师大附中2024—2025学年度初三年级
第四次适应性训练数学试题
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分）
1. 下列四个实数中，是无理数的是（ ）
A. B. 0C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了立方根，算术平方根的化简，无理数的概念，掌握立方根，算术平方根的计算，无理数的概念及识别是关键．
根据立方根，算术平方根的性质化简，再根据无理数的概念识别即可．
【详解】解：A、，是有理数，不符合题意；
B、，是有理数，不符合题意；
C、是无理数，符合题意；
D、，是有理数，不符合题意；
故选：C ．
2. 下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：A．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂乘法，合并同类项，同底数幂除法，幂的乘方等知识点，熟知相关运算法则是解本题的关键．
根据同底数幂乘法，合并同类项，同底数幂除法，幂的乘方等运算法则分别计算即可得出答案．
【详解】解：A、，正确，符合题意；
B、，错误，不符合题意；
C、，错误，不符合题意；
D、，错误，不符合题意；
故选：A．
4. 将等边三角形如图放置，，．则（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】过点作，根据平行线的性质得出，根据等边三角形的性质可得，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，

过点作，
∵，
∴，
∵
∴，
∴
∵是等边三角形
∴
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
5. 如图，在中，，，点E、F分别是、中点，若，则四边形的周长是（ ）
A. 2B. C. 4D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理以及菱形的判定与性质，根据题意证明四边形为菱形，再根据勾股定理求出的长，即可求出答案．
【详解】解：由题意可知，点E、F分别是、中点，
∴平行且相等，即为平行四边形，
又∵在中，E为的中点，
∴，
∴为菱形，
∵，，，
∴，，
∴
∴的周长为，
故选：D．
6. 在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象向右平移2个单位长度后经过点，则a的值为（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了一次函数的平移，熟练掌握平移规律：左加右减，是解题的关键．根据平移的规律确定平移后的直线的解析式为，再把代入求解即可．
【详解】解：将一次函数的图象向右平移2个单位长度，
平移后的直线的解析式为：，
∵过点，
∴，
解得：，
故选：D．
7. 如图，内接于，连接，作交于点D，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理和平行线的性质，先由圆周角定理得到，再由等边对等角和三角形内角和定理得到，根据平行线的性质得到，据此可得答案．
【详解】解；∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
8. 如图，已知抛物线（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于点，与y轴的交点B在，之间（不含端点），则下列结论正确的有（ ）个
①；
②；
③；
④若方程两根为，则．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，一元二次方程根与系数的关系，抛物线与轴的交点，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
根据二次函数图象的开口方向，对称轴位置，与轴的交点坐标，根与系数的关系等知识逐项判断即可．
【详解】解：由图可知抛物线开口向上，
，
对称轴为直线，
符号相同，
，
与y轴的交点在之间（不含端点），
，
，
故①不正确；
对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，
与轴交于另一点为，
当时，，
故②不正确；
由题意可得方程的两个根为，
，
，
，
，
，
故③正确；
若方程两根为，
则直线与抛物线的交点的横坐标为，
直线过第一、二、三象限且过点，
直线与抛物线的交点在第一，三象限，
如图所示，
由图象可知，
故④正确；
综上所述，正确的结论是③④，有个，
故选：B．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，
要使在实数范围内有意义，必须，
∴．
故答案为：
10. 截至3月26日，电影《哪吒2》全球总票房突破150亿元，150亿用科学记数法表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法的运用，掌握科学记数法的表示形式，确定的值是关键．
科学记数法表示形式为，确定n值的方法：当原数的绝对值大于等于10时，把原数的变为a时，小数点向左移动位数即为n的值；当原数的绝对值小于1时，把原数变为a时，小数点向右移动位数的相反数即为n的值；由此即可求解．
【详解】解：亿，
故答案为： ．
11. 铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是的内心，若，则花窗的周长（图中实线部分的长度）______．（结果保留）
【答案】
【解析】
【分析】题目主要考查正多边形与圆，解三角形，求弧长，过点C作，根据正多边形性质得出为等边三角形，再由内心的性质确定，得出，利用余弦得出，再求弧长即可求解，熟练掌握这些基础知识点是解题关键．
【详解】解：如图所示：过点C作，
∵六条弧所对应的弦构成一个正六边形，
∴，
∴为等边三角形，
∵圆心C恰好是的内心，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的长为：，
∴花窗的周长为：，
故答案为：．
12. 点，在反比例函数（的常数）的图象上，若（，则a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟悉反比例函数的增减性，当，在每一象限内y随x的增大而减小；当，在每一象限内y随x的增大而增大．根据反比例函数中，则同一象限内y随x的增大而减小，由于，得到，从而得到的取值范围．
【详解】解：∵在反比例函数中，，
∴在同一象限内y随x的增大而减小，
∵，
∴这两个点在同一象限，
∴，
解得：，
故答案为：．
13. 如图，在矩形中，，，点P从点A向点C运动，点Q同时从点C以相同的速度向点D运动，当点Q到达点D时，两个点同时停止运动．在运动过程中，的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，对称的性质，解直角三角形等知识．作关于对称的对称点，连接，在上截取，过点G作交延长线于点H，连接，证明，得到，当点B，点Q，点G三点共线时，有最小值为的长，解直角三角形求出，，进而求出，在中，由勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，作关于对称的对称点，连接，在上截取，过点G作交延长线于点H，连接，
∵点P、Q分别从点A、C同时出发以相同的速度运动，
∴，
由对称的性质得，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴当点B，点Q，点G三点共线时，有最小值为的长，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，
由勾股定理可得：，
故答案为：．
三、解答题（共13题，计81分）
14. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的运算，先计算算术平方根和负整数指数幂，再去绝对值后计算加减法即可得到答案．
【详解】解；
．
15. 解不等式组：，并写出它的所有负整数解．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组和求不等式组的负整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出其负整数解即可．
【详解】解；
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的负整数解为
16. 先化简，再从，1，2中选取一个适合的数代入求值．
【答案】，当时，原式
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后根据分式有意义的条件确定a的值并代值计算即可得到答案．
【详解】解：
，
∵分式要有意义，
∴，
∴且，
∴当时，原式．
17. 如图，在中，，请用尺规作图法，求作一个等边三角形，使得D，E两点在边上．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，线段垂直平分线的性质及其尺规作图，三角形外角的性质，等边对等角等等，作线段的垂直平分线交于D，再以C为圆心，的长为半径画弧交于E，则即为所求．
【详解】解；如图所示，作线段的垂直平分线交于D，再以C为圆心，的长为半径画弧交于E，则即为所求；
可得，则，
由，则是等边三角形．
18. 如图，点是菱形对角线上一点，连接，，求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】先利用菱形的性质得到，，再证明，然后根据全等三角形的性质得到结论．
【详解】证明：四边形为菱形，
，，
在和中，
，
，
．
【点睛】此题考查菱形的性质，关键是利用菱形的性质得到，解答．
19. 秦腔，作为我国戏曲艺术宝库里一颗璀璨的明珠，承载着深厚的历史文化底蕴．其脸谱色彩丰富多变，每一种颜色都精准地象征着特定的人物性格：红色寓意忠勇侠义，白色尽显阴险狡诈，黑色彰显刚正不阿．在一场秦腔演出的紧张筹备阶段，工作人员精心准备了一个不透明的箱子，箱子内放有2张红色脸谱、1张白色脸谱以及2张黑色脸谱．这些脸谱除颜色外，质地、大小等方面完全相同．
（1）从箱子中随机抽取一张脸谱，抽到代表忠勇脸谱的概率是______；
（2）若从箱子中随机抽取两张脸谱，请用列表或画树状图的方式，求抽到一张代表忠勇的红色脸谱与一张代表奸诈的白色脸谱的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键．
（1）用忠勇脸谱的数量除以脸谱的总数即可得到答案．
（2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到抽到一张代表忠勇的红色脸谱与一张代表奸诈的白色脸谱的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【小问1详解】
解：∵箱子中一共有五张脸谱，其中代表忠勇脸谱的有2张，且每张脸谱被抽到的概率相同，
∴从箱子中随机抽取一张脸谱，抽到代表忠勇脸谱的概率是；
【小问2详解】
解：设用A、B表示忠勇脸谱，C表示阴险狡诈脸谱，D、E表示刚正不阿脸谱，列表如下：
由表格可知，一共有20种等可能性的结果数，其中抽到一张代表忠勇的红色脸谱与一张代表奸诈的白色脸谱的结果数有4种，
∴抽到一张代表忠勇红色脸谱与一张代表奸诈的白色脸谱的概率为．
20. 如图，已知．
（1）将以原点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；
（2）连接，则四边形的面积为______．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—中心对称，坐标与图形，正确画出是解题的关键．
（1）以原点为旋转中心旋转得到，则和关于原点对称，再由关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数得到A、B、C对应点的坐标，描出，并顺次连接即可；
（2）根据列式求解即可．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
解：由题意得，．
21. 法门寺地处陕西省宝鸡市的法门镇，被誉为皇家寺庙，因安置释迦牟尼佛指骨舍利而成为举国仰望的佛教圣地．小明想利用刚学过的测量知识来测量法门寺塔的高度．一个阳光明媚的下午，他和数学应用实践小组的同学们带着测量工具来到这座塔前，但他们无法到达塔的底部．如图，小明先在塔前方的点处用侧倾器测得塔顶端的仰角为；然后，他沿方向前进米至塔的影子顶端处．此时，测得小明的影长为米．已知小明的身高为米，测倾器的高度为米，且．求这座宝塔的高度．（参考数据：）
【答案】这座宝塔的高度米
【解析】
【分析】本题主要考查了仰俯角解直角三角形，相似三角形的运用，掌握锐角三角函数的计算，相似三角形的判定和性质是关键．
设米，则米，在中，，（米），再证，，，可得米，由米，即可求解．
【详解】解：如图所示，，米，过点作于点，
∴四边形是矩形，
∴米，，米，米，
设米，则米，
在中，，
∴，
∴（米），
∵同一时刻，塔的影子为，的影子为，，
∴，
∴，
∴，
整理得，，
∴，
检验，当时，原分式方程有意义，
∴米，
∴米，
∴这座宝塔的高度为62米．
22. 脚印信息往往对应着一个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高y和脚长x之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表：
（1）根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出x的取值范围）；
（2）小林在某月测量自己的脚长是，买了一双新鞋．过了一段时间，小林明显感觉鞋子变小，已经不合脚了．经测量，他此时的脚长达到了．请根据（1）中求出的函数解析式，估算一下这段时间小林身高增长了多少．
【答案】（1）
（2）小林身高估计增长了
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数的运用，掌握待定系数法，函数值的计算是关键．
（1）根据表格信息，运用待定系数法即可求解；
（2）分别算出当时，当时小林的身高进行比较即可．
【小问1详解】
解：根据表格信息得到，当脚长逐渐增大时，身高也在逐渐增大，
∴选择，
当时，，当时，，
∴，
解得，，
∴，
检验，当时，，符合题意，
∴能近似地反映身高和脚长的函数关系；
【小问2详解】
解：当时，，
当时，，
∴，
∴他此时的脚长达到了时，这段时间小林身高估计增长了．
23. 某校九年级开展了“校园科技节”活动，每班选取25名学生参赛，活动包含模型设计、科技小论文两个项目．对九（1）班、（2）班的25名参赛学生的模型设计分数进行整理、描述和分析，给出如下部分信息．
a．九（1）班模型设计分数频数分布直方图．
其中这一组的数据为：86 86 86 86 86 87 87 88 88 88 89 89
b．九（1）班、九（2）班模型设计的平均数、众数、中位数如上表所示：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）补全九（1）班模型设计的频数分布直方图；
（2）表格中m的值为______，n的值为______．
（3）九（1）班这25名学生的科技小论文平均分为93分，九（2）班科技小论文平均分为89分．若学校将模型设计和科技小论文两个项目的平均分按照的比例确定最终成绩，请通过计算说明哪个班最终成绩更高．
【答案】（1）见解析 （2）86；87
（3）九（1）班最终成绩更高
【解析】
【分析】本题主要考查了频数分布直方图，中位数，众数和加权平均数，正确读懂统计图并熟知中位数，众数和加权平均数的定义是解题的关键。
（1）求出九（1）班这一组的频数，再补全统计图即可；
（2）根据中位数和众数的定义求解即可；
（3）用对应项目的得分乘以其权重求出两个项目的得分，再求和求出总分，比较即可得到结论．
【小问1详解】
解：由题意得，九（1）班这一组的频数为12，
∴九（1）班这一组的频数为，
补全统计图如下所示：
【小问2详解】
解：∵九（1）班数据中得分为86分有5人，人数最多，
∴九（1）班数据的众数为86分，即,
，
把九（1）班25人的得分按照从低到高排列处在第13名的得分为87分，
∴九（1）班数据的中位数为87分，即；
小问3详解】
解：九（1）班的成绩为分，
九（2）班的成绩为分，
∵，
∴九（1）班最终成绩更高．
24. 如图，是的直径，弦于点是弧上一点，的延长线交于点，连接．
（1）求证：；
（2）已知，若点是的中点，求的长．
【答案】（1）证明过程见详解
（2）的长为
【解析】
【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理，相似三角形判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是关键．
（1）根据垂径定理可得，，，根据同弧所对圆周角相等，等量代换得到，且，，由此即可求解；
（2）如图所示，连接，设的半径为，由垂径定理，勾股定理得到，证明，得到，由（1）可知，（负值舍去），代入计算即可求解．
【小问1详解】
证明：如图所示，连接，
∵是直径，，
∴，且，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，且，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：如图所示，连接，设的半径为，
∴，则，
∵，，
∴，，
∴，即，
解得，，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，且，
∴，
∴，且，
∴，
由（1）可知，且点是的中点，
∴，，
∴，
∴（负值舍去），
∴，则，
∴，整理得，，
解得，（负值舍去），
∴的长为．
25. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点和点，与轴交于点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点是二次函数图象上的一个动点，当点在第一象限时，过点作轴于点，与线段交于点，是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在点，使得与相似点坐标为或
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法，相似三角形的判定和性质是关键．
（1）运用待定系数法求解即可；
（2）根据题意得到直线的解析式为，是等腰直角三角形，分类讨论：第一种情况，如图所示，第二种情况，如图所示，，作点作与点；根据等腰直角三角形的性质列式求解即可．
【小问1详解】
解：二次函数的图象经过点和点，与轴交于点，
∴设二次函数解析式为，
∴，
解得，，
∴二次函数解析式为；
【小问2详解】
解：∵，
∴，且，
∴是等腰直角三角形，
设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
第一种情况，如图所示，，
∴是等腰直角三角形，，
点是二次函数图象上的一个动点，点在第一象限，过点作轴于点，与线段交于点，
∴设，则，，
∴，
∴，
解得，（舍去），，
∴，
∴；
第二种情况，如图所示，，作点作与点，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
解得，（舍去），，
∴，
∴；
综上所述，存在点，使得与相似点坐标为或．
26. 问题探究：
如图①，直线l与相切于点P，点A，点B为上两点，点Q为直线l上异于点P的任意一点，试探究与的大小关系，并证明你的结论．问题解决：
某动物园要建造一个水鸟园供游客参观，如图②，为水鸟园的建设用地，其中公里，公里，，根据修建要求，内部为水鸟戏水区，在边上要修建一段长为公里的水岸（F在左，G在右），供水鸟上岸休息；在两边上各修建一个游客观赏点D和E，使游客在这两个点观赏水鸟上岸成群栖息的美景时感到最舒适（研究发现，当我们观赏景色的视线张角最大时，观感最舒适）是否存在满足条件的观测点D、E和水鸟休息区？如果存在，求此时和的长；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1），见解析；（2）存在，，
【解析】
【分析】（1）由圆周角定理得到，再由三角形的外角性质即可得到；
（2）作的外接圆，记为，由（1）可知最大，则同时与相切，切点即为符合题意的点，当同时与相切时，切点记为点，连接，延长交于点，过点作于点，则，，由，得，在中由勾股定理得，，求出，，，再解直角三角形求出，最后由即可求解．
【详解】（1）解：记与交于点，
∴，
∵，
∴；
（2）解：存在，理由如下：如图，作的外接圆，记为，由（1）可知最大，则同时与相切，切点即为符合题意的点，
如图，同时与相切时，切点记为点，连接，延长交于点，过点作于点，
则设，，
∵，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴在中，由勾股定理得，
∴，
解得：或（不合题意，舍），
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质，解直角三角形，垂径定理，圆周角定理，勾股定理等知识点，确定相切时有最大张角是解题的关键．
脚长
…
23
24
25
26
27
28
…
身高
…
156
163
170
177
184
191
…
班级
平均数
众数
中位数
九（1）班
86.6
m
n
九（2）班
87.2
90
86




脚长
…
23
24
25
26
27
28
…
身高
…
156
163
170
177
184
191
…
班级
平均数
众数
中位数
九（1）班
86.6
m
n
九（2）班
87.2
90
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