黑龙江省牡丹江地区共同体2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷（Word版附解析）

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考试时间：120分钟 分值：150分
命题人：刘贤昭 审题人：于海珍
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. （ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据特殊角函数值即可得答案.
【详解】由特殊角的函数值，易知.
故选：A
2. 函数的最小正周期为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正切函数性质，求函数最小正周期.
【详解】由正切型函数的性质，知的最小正周期.
故选：C
3. 若是第四象限角，则点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根据的符号确定正确答案.
【详解】由于是第四象限角，所以，
所以在第二象限.
故选：B
4. 在扇形OAB中，已知弦，，则扇形OAB的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据扇形的面积公式计算直接得出结果.
【详解】由题意知，设扇形的圆心角为，半径为r，
则扇形的面积为.
故选：B
5. 已知，且.则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】整体法应用诱导公式求三角函数值.
【详解】.
故选：D
6. 函数与图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用指数函数与一次函数的性质分类讨论分析选项即可.
【详解】易知在R上单调递增，可排除C、D选项；
对于A、B选项，为单调递减函数，则，
又过点，过点，
则可知两个函数在纵轴上的交点一次函数在下方，即A选项正确，B选项错误.
故选：A
7. 已知，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用诱导公式，根据正弦函数、指对数函数的性质比较大小即可.
【详解】由，
综上，.
故选：D
8. 若角，满足，，且，，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知可得，，，，则，应用余弦倍角公式可得、，再应用正弦和角公式求，即可确定角的大小.
【详解】由，，则，，
由，，则，，
所以，，，
，
而，故.
故选：C
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】利用正余弦倍角公式、差角正切公式及和角正弦公式判断各项的正误.
【详解】A：，错；
B：，对；
C：由，
所以，即，对；
D：，错.
故选：BC
10. 已知函数，则（ ）
A. 在单调递减B. 的图象关于点对称
C. 的图象关于直线对称D. 的定义域为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据函数解析式确定定义域，再应用对数复合函数单调性判断区间单调性判断A，根据关系判断B、C，根据对数函数、正弦函数的性质有，即可判断D.
【详解】由解析式知，函数定义域为，且，
令，则在上单调递增，在上单调递减，
而在定义域上单调递增，结合复合函数的单调性，
故在上单调递增，在上单调递减，A对，
，即的图象关于对称，B错，C对；
对于及以上分析，只需，则，显然的定义域不为，D错.
故选：AC
11. 设函数，将函数图象上的所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，将函数图象上的所有的点的横坐标变成原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，将函数图象上的所有的点的纵坐标变成原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象.下列四个选项中正确的是（ ）
A. 当时，函数最小正周期为
B. 当时，函数是偶函数，则的最小值为
C. 当时，
D. 若在有且仅有5个零点，的取值范围是
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据图象平移得，结合各项条件及正弦型函数性质依次判断正误即可.
【详解】由图象上的所有的点向左平移个单位长度，得，
把所有的点的横坐标变成原来的倍（纵坐标不变），得，
把所有的点的纵坐标变成原来的2倍（横坐标不变），得，
综上，，
当，则的最小正周期为，A对；
当时，函数是偶函数，
则，，可得，故的最小值为，B错；
当时，的周期为2，且，
所以，C对；
由，则，又在有且仅有5个零点，
所以，则，D对.
故选：ACD
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 若函数为奇函数，则________.
【答案】1
【解析】
【分析】利用奇函数的性质求参数，注意验证即可.
【详解】由解析式知，函数定义域为R，结合奇函数性质有，可得，
此时，则，满足题设.
所以.
故答案：1
13. 函数在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为_______________．
【答案】
【解析】
【分析】根据所给的图象，可得到，周期的值，进而得到，根据函数的图象过点可求出的值，得到三角函数的解析式．
【详解】由图象可知，，
，
，
三角函数的解析式是
函数的图象过,，
把点的坐标代入三角函数的解析式，
，又，
，
三角函数的解析式是.
故答案为：.
14. 对于非空集合，定义，若，，且存在，，则实数的取值范围是_____________.
【答案】##或
【解析】
【分析】首先解三角不等式求出集合，依题意，则时一定满足，再考虑时，求出时参数取值范围，即可得解.
【详解】因为，所以，
因为，，所以，
所以，因为，所以，
所以，此时区间长度时一定满足，
故下研究时，此时，
因此满足题意的反面情况或，
解得或，因此满足题意的范围为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于考虑时，求出时参数的取值范围.
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. （1）求值：；
（2）已知，求.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）应用指对数的运算性质化简求值；
（2）应用诱导公式化简函数式，进而代入自变量求值即可.
【详解】（1）；
（2）由，
所以.
16. 在平面直角坐标系中，已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点的坐标为，且.
（1）求的值；
（2）若角的终边与角的终边关于原点中心对称，求的值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据角终边上点得，由弦化切求函数值；
（2）根据对称性有，应用倍角正余弦公式，化弦为切求函数值.
【小问1详解】
由题设，又，则，故，
所以.
【小问2详解】
由角的终边与角的终边关于原点中心对称，则，
则
.
17. 函数的一个对称中心是.
（1）求以及函数的单调递减区间、最大值；
（2）用“五点法”画出函数在上的简图.
【答案】（1），单调递减区间，，最大值为2；
（2）作图见解析.
【解析】
【分析】（1）根据已知有求参数，结合正弦型函数性质求最大值和单调减区间；
（2）应用五点法画出区间函数图象即可.
【小问1详解】
由题设，则，，
故，，，则，
所以，其最大值为2，
令，，则，，
所以函数单调递减区间为，.
【小问2详解】
在上的简图如下，
18. 如图所示，立德中学植物园为矩形区域，其中为植物园入口.已知有三条路、、，路上点处为植物园的物品管理站，其中，路上有一个地标建筑L，其中.现要修建两条路，，修建，费用成本分别为，.设.
（1）当，时，求张角的正切值；
（2）当时，求当取多少时，修建，的总费用最少，并求出此时的总费用.
【答案】（1）
（2）时，总费用最少为
【解析】
【分析】（1）根据已知得、，再由及差角正切公式求值即可；
（2）根据题设有修建费用且，应用平方关系、倍角正弦公式及二次函数性质求最小值，并确定对应，即可得答案.
【小问1详解】
由题知，，，即，故，
所以.
【小问2详解】
由题知，，则，且，
所以修建费用，且，即，
而，
由，则，故，
所以在上单调递增，
所以，故，即，
此时，总费用最少为.
19. 定义除原点外的点的“相伴函数”为，点称为函数的“相伴点”.
（1）设函数，，求函数的“相伴点”M的坐标；
（2）已知点满足条件：，且的“相伴函数”在时取得最大值，当点M运动时，求的最小值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）应用二倍角正余弦公式、和角正弦公式整理函数式，结合“相伴点”的定义求M的坐标；
（2）根据已知得且，结合正弦函数性质及最大值对应自变量得，，应用诱导公式将目标式化为，最后勾函数性质求最小值.
【小问1详解】
由，
所以，故“相伴点”.
【小问2详解】
由题设，且，
由在时取得最大值，即，，则，
，
根据对勾函数性质在上单调递减，故，
所以最小值为.
【点睛】关键点点睛：第二问，根据新定义及正弦函数性质得到，为关键.
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