山东省临沂市莒南县第二中学2023-2024学年高一下学期4月月考 数学试题（含解析）

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1.设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则（ ）
A．- 5B．5C．- 4+ iD．- 4 - i
2.如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的菱形，且，则原平面图形的周长为（ ）
A．B．C．D．8
3.“太空教师”的神舟十三号航天员翟志刚、王亚平、叶光富出现在画面中，“天宫课堂”第一课在中国空间站正式开讲．此次太空授课通过为同学们呈现多种精彩的实验和现象，激发了同学们的好奇心，促使他们去观察这些现象，进而去思考、去探索，把科学思维的种子种进心里．某校为了解同学们对“天宫课堂”这种授课模式的兴趣，决定利用分层抽样的方法从高二、高三学生中选取90人进行调查，已知该校高二年级学生有1200人，高三年级学生有1500人，则抽取的学生中，高三年级有（ ）
A．20人B．30人C．40人D．50人
4.在二面角的棱上有两个点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，若AB=1，AC=2，BD=3，CD=22，则这个二面角的大小为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
5.已知，，且，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
6.已知样本的平均数是9，方差是2，则（ ）
A．41B．71C．55D．45
7. 如图，已知所有棱长均相等的直三棱柱，，分别为和的中点，则下列陈述不正确的是（ ）

A．平面B．
C．与所成角的正切值为D．与平面所成角的正切值为2
8. 已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为2的正三角形，分别是，的中点，，则球的体积为（ ）
A．B．C．D．
选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．事件与互斥D．事件与相互独立
10.锐角的内角，，的对边分别为，，．若，则（ ）
A．B．的取值范围是
C．D．的取值范围是
11.在正方体中，点M在线段上运动，则下列说法正确的是（ ）
A．直线平面
B．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
C．异面直线AM与所成角的取值范围是
D．三棱锥的体积为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设复数，满足，，，则________．
13.某工厂名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是，，，，，，，，，，则这组数据的方差为_____．（参考数据：这组数据的平方和为）
14.如图，蹴鞠，又名“蹋鞠”、“蹴球”、“蹴圆”、“筑球”、“踢圆”等，“跳”有用脚蹴、蹋、踢的含义，“鞠”最早系皮革外包、内实米糠的球.因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠己作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录.若将“鞠”的表面视为光滑的球面，已知某“鞠”表面上的四个点A，B，C，D满足，，，则该“鞠”的表面积为____________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.关于的实系数一元二次方程．
(1)若方程有一个根是，求的值；
(2)当时，方程的两个虚根满足，求的值．
16. 在三棱锥中，平面，点在棱上且是的外心（三角形三边的垂直平分线的交点叫三角形的外心即外接圆的圆心），点是的内心（三角形的内心是三角形三条角平分线的交点即内切圆的圆心），.

(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的正弦值.
17. 已知的内角、、所对的边长分别为、、，且，若，，求：
(1)求的值；
(2)求的最大值.
18. 第19届亚运会将于2022年9月在杭州举行，志愿者的服务工作是亚运会成功举办的重要保障.某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.

(1)求a，b的值；
(2)计算本次面试成绩的众数和平均成绩；
(3)根据组委会要求，本次志愿者选拔录取率为19%，请估算被录取至少需要多少分.
19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，是等边三角形，平面平面分别是的中点.

(1)证明：平面；
(2)求点到平面的距离