福建省厦门大学附属科技中学2024-2025学年高一下学期3月阶段性测试 数学试题（含解析）

这是一份福建省厦门大学附属科技中学2024-2025学年高一下学期3月阶段性测试 数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题的作答，填空题和解答题的作答，考试结束后，请将本答题卡上交， 已知平面向量，，，且，， 在中，下列命题正确的是等内容，欢迎下载使用。
试卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本答题卡上交.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数，（为虚数单位），则（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的四则运算求得，再根据共轭复数的定义计算即得.
【详解】因，
则.
故选：A.
2. 若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据基底满足的条件逐一分析即可.
【详解】对于：，
所以为共线向量，不符合基底的定义，故错误；
对于：，
所以为共线向量，不符合基底的定义，故错误；
对于：，
所以为共线向量，不符合基底的定义，故错误；
对于：设存在唯一的实数使，
则，此方程无解，故能作为平面向量的基底.故正确.
故选：.
3. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用正弦定理求解即可.
【详解】在中，，，，由正弦定理得，
而，则，所以.
故选：A
4. 若，为非零向量，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合相等向量及数乘向量的意义判断即得.
【详解】若，则，有；
反之，取，，有，而不成立，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
5. 圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根水平长尺（称为“圭”）和一根直立于圭面的标杆（称为“表”）.如图，利用圭表测得南京市在夏至日的早上和中午的太阳高度角约为和.设表高为1米，则影差约为（参考数据：）（ ）
A. 2.747米B. 5.494米C. 8.241米D. 10.988米
【答案】B
【解析】
【分析】在三角形中，利用正弦定理求值即可.
【详解】在中，.
在中，由正弦定理得，即，
所以.
故选：B
6. 在复平面内为坐标原点，复数，对应的点分别为，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由复数乘法运算求得，进而得到，利用向量数量积运算和模长运算可求得，进而得到.
【详解】，，，，
，
，
又，.
故选：C.
7. 已知非零向量与满足，且，点是的边上的动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量的数量积、单位向量、向量的线性运算确定三角形状，再由向量的模长确定三角形的边长，从而建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标运算求的最小值即可.
【详解】分别表示与方向的单位向量，故所在直线为的平分线所在直线，
又，故的平分线与垂直，由三线合一得到，
取的中点，因为，故，
如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
则，设，，
则，
当时，取得最小值，最小值为.
故选：C．
8. 已知平面向量，，，且，.已知向量与所成的角为60°，且对任意实数恒成立，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】对任意实数恒成立，两边平方，转化为二次函数的恒成立问题，用判别式来解，算出，借助，得到，的最小值转化为的最小值，最后用绝对值的三角不等式来解即可
【详解】根据题意，，
，两边平方，整理得到，
对任意实数恒成立，则，解得，则.
由于，如上图，，则
，则的最小值为．
当且仅当终点在同一直线上时取等号.
故选：B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知i为虚数单位，则下列结论中不正确是（ ）
A. 复数的虚部为B.
C. （）D. 若复数z为纯虚数，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用复数的相关概念判断AB；利用复数乘方计算判断C；利用纯虚数及模的意义计算判断D.
【详解】对于A，复数的虚部为，A错误；
对于B，不全是实数的两个复数不能比较大小，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，复数z为纯虚数，令，，D错误.
故选：ABD
10. 在中，下列命题正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则一定为等腰三角形
C. 若，则为钝角三角形
D. 若，，，则有两解
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用大角对大边以及正弦定理边化角判断A；将条件转化为角的直接关系判断B；利用余弦定理来计算判断C；利用正弦定理来计算判断D.
【详解】对于A，若，则，由正弦定理得，A正确；
对于B，若，则或，即或，
△ABC为等腰三角形或直角三角形，B错误；
对于C，由余弦定理得，则为钝角，为钝角三角形，C正确；
对于D，若，，，由正弦定理得，
而，则可能是锐角也可能是钝角，因此△ABC有两解，D正确.
故选：ACD.
11. “圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．如图，已知圆O的半径为2，点P是圆O内的定点，且，弦AC，BD均过点P，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最大值为12B. 的取值范围是
C. D. 当时，为定值
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题设中的圆幂定理可判断选项CD的正误，取AC的中点为M，连接OM，利用向量的线性运算可判断选项B的正误，根据直径的大小可判断选项A的正误，
【详解】如图，设直线PO与圆O于E，F，
对于A，圆O的半径为2，则，，
因AC，BD不能同时过圆心，故不能取等号， ，A选项错误；
对于B，取AC的中点为M，连接OM，
，
而，的取值范围是，B选项正确；
对于C，，C选项正确；
对于D，时，，
，D选项正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，的模相等且夹角为，若向量与向量垂直，则实数________．
【答案】2
【解析】
【分析】利用向量数量积的定义、数量积的运算律计算得解.
【详解】由向量，的模相等且夹角为，得，
由向量与向量垂直，得，
而，所以.
故答案为：2
13. 已知复数满足，写出一个满足条件的复数______．
【答案】（答案不唯一，虚部为即可）
【解析】
【分析】设复数，代入复数的模的公式求解即可.
【详解】设，（，），
则，
，
∵，∴，
∴，化简得，解得.
∴满足条件的一个复数（答案不唯一，虚部为即可）.
故答案为：（答案不唯一，虚部为即可）.
14. 已知扇形的半径为1，且，点C在弧上运动，若，则的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
【分析】将，两边同时平方得，再利用三角代换，结合三角函数的性质求解.
【详解】依题意，，，，
由两边同时平方，得，
即，令，则，
因此，其中锐角由确定，
而，则，，
所以的取值范围是.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.
15. 已知向量，.
（1）求的值及向量在向量上的投影向量的坐标；
（2）若，，且A，B，C三点共线，求实数m的值.
【答案】（1）5，；
（2）
【解析】
【分析】（1）求出的坐标，进而求出向量的模；由坐标法求出、，再根据投影向量的定义计算求解.
（2）求出、的坐标，依题意，根据平面向量共线的坐标表示得到方程，解得即可.
【小问1详解】
由，，得，
所以；
，，
所以向量在向量上的投影向量为.
【小问2详解】
由、、三点共线，得，而，
，
则，解得，
所以实数m的值为.
16. 在中，内角的对边分别为，且．
（1）若，则此时是否存在？若存在，求的面积；若不存在，请说明理由；
（2）若的外接圆半径为4，且，求的面积．
【答案】（1）不存在，理由见解析；
（2）.
【解析】
【分析】(1)由给定等式利用正弦定理边化角，再借助辅助角公式求出角A，然后用三角形边角关系即可判断作答.
(2)由(1)及正弦定理求出边a，再用余弦定理求出bc即可计算作答.
【小问1详解】
由得：，
在中，由正弦定理得，而，则，即，
因，于是得，解得，而，则，必有，
所以不存在.
【小问2详解】
因为的外接圆半径，由正弦定理得，则，
由余弦定理得：，即，则，
因此，的面积，
所以面积是．
17. 已知复数（）.
（1）若复数z在复平面上对应点落在第四象限，求实数m的范围；
（2）为的共轭复数，且.
（i）若是关于x的方程（a，）的一个根，求该一元二次方程的另一复数根；
（ii）若，求的范围.
【答案】（1）；
（2）（i）；（ii）
【解析】
【分析】（1）求出对应点的坐标，再出不等式求解.
（2）（i）由复数相等求出，利用方程根的意义，结合复数相等求出另一根；（ii）由（i）的信息，结合复数的几何意义求出范围.
【小问1详解】
复数在复平面上对应点落在第四象限，
则，解得，
所以实数m的范围是.
【小问2详解】
（i）由，得，
由，得，解得，
则，，依题意，是关于x的实系数方程的一个根，
则，即，
于是，解得，，原方程为，
即，解得，
所以该方程的另一复数根为.
（ii）由（i）知，为，表示复平面内复数对应点与点的距离为1，
因此在复平面内复数对应点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
而表示点到原点的距离，又，
则，即，
所以的范围是.
18. 在中，角4、B、C的对边分别为a、b、c，已知.
（1）求A；
（2）若，周长为6，求的面积；
（3）若为锐角三角形，求的范围.
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理及辅助角公式求解.
（2）由余弦定理得，结合的周长，求得,再求出三角形的面积．
（3）由正弦定理得，结合锐角三角形的条件及三角函数性质求出范围.
【小问1详解】
在中，由及正弦定理，得，
整理得，即，
而，即，于是,
所以.
【小问2详解】
由余弦定理，得，
由周长为6，得，解得，
所以的面积.
【小问3详解】
在锐角中，由，得，，则，
，则，，
由正弦定理得
，
所以的范围是.
19. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量，，作，．当，不共线时，记以，为邻边的平行四边形的面积为；当，共线时，规定．
（1）分别根据下列已知条件求：
①，；②，；
（2）若向量，求证：；
（3）若A，B，C是以О为圆心的单位圆上不同的点，记，，．
（i）当时，求的最大值；
（ii）写出的最大值．（只需写出结果）
【答案】（1）详见解析；
（2）详见解析； （3）（i）；（ii） ．
【解析】
【分析】（1）由求解；
（2）由证明；
（3）（i）设， 由求解；（ii）求解.
【小问1详解】
解：因为，，
且，
所以；
又，，
是 ；
【小问2详解】
因为向量，，
且向量，
则，
所以，
同理，
所以；
小问3详解】
（i）设，因为，
所以，
所以，
，
当，即时，
取得最大值；
（ii）设不包含的，不包含的，不包含的所对的圆心角分别是.
不妨设，否则适当地将中一点改为其对径点，则不变，但情况变为.
又由于，故
.
当是正三角形时，有，此时.
所以的最大值为．