北京市育才学校2024−2025学年高一下学期3月月考 数学试卷（含解析）

这是一份北京市育才学校2024−2025学年高一下学期3月月考 数学试卷（含解析），共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．化简的值是（ ）
A．B．C．D．
2．若,则角的终边位于
A．第一、二象限B．第二、三象限C．第二、四象限D．第三、四象限
3．下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的是
A．B．
C．D．
4．函数是
A．周期为的奇函数B．周期为的奇函数
C．周期为的偶函数D．周期为的偶函数
5．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称．若，则（ ）
A．B．C．D．
6．要得到函数的图象，只需要将函数的图象
A．向左平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位
7．若函数在上单调递增，则的最大值为（ ）
A．B．C．1D．2
8．已知是实数，则函数的图象不可能是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共6小题）
9．已知一扇形的弧所对的圆心角为，半径，则扇形的周长为 ．
10．函数的定义域是 .
11．已知角的终边经过点，则的值等于 ．
12．若函数y＝cs (3x＋φ)的图象关于原点成中心对称，则φ＝ ．
13．设函数，若对任意的实数x都成立，则的最小值为 .
14．设函数，，有以下四个结论.
①函数是周期函数：
②函数的图像是轴对称图形：
③函数的图像关于坐标原点对称：
④函数存在最大值
其中，所有正确结论的序号是 .
三、解答题（本大题共4小题）
15．已知，.求，及的值．
16．已知函数（，，）的部分图象如图所示.
(1)求出，，的值；
(2)求函数的单调递增区间和对称轴；
(3)求在上的最小值，并求出取最小值时x的取值.
17．已知函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件．
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数的解析式；
(3)若图象的对称轴只有一条落在区间上，求的取值范围．
条件①：的最小值为；
条件②：图象的一个对称中心为；
条件③：的图象经过点．
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．
18．设函数的定义域为.若存在常数，（，），使得对于任意，成立，则称函数具有性质.
(1)判断函数和是否具有性质P?（结论不要求证明）
(2)若函数具有性质P，且其对应的，.已知当时，，求函数在区间上的最大值.
参考答案
1．【答案】D
【详解】
故选D.
2．【答案】C
【详解】由可得 或当时角的终边位于第四象限，当时角的终边位于第二象限.
故选C.
3．【答案】B
【详解】因为函数的最小正周期是，故先排除选项D；又对于选项C：，对于选项A：，故A、C均被排除，应选B.
4．【答案】A
【解析】利用求得周期；再根据奇偶性定义求得奇偶性.
【详解】，即周期为
，即函数为奇函数
本题正确选项.
5．【答案】C
【详解】由条件可知，，
所以.
故选C.
6．【答案】B
【详解】因为函数，要得到函数的图象，只需要将函数的图象向右平移个单位．
本题选择B选项.
点睛：三角函数图象进行平移变换时注意提取x的系数，进行周期变换时，需要将x的系数变为原来的ω倍，要特别注意相位变换、周期变换的顺序，顺序不同，其变换量也不同．
7．【答案】B
【详解】对于函数，令，，
解得，，
所以函数的单调递增区间为，，
当时函数的一个单调递增区间为，
又函数在上单调递增，所以，
则的最大值为.
故选B.
8．【答案】D
【详解】由题知，．若，选项C满足；
若，，，其中，，函数周期，选项A满足；若，，，其中，，函数周期，选项B满足；
若，则，且周期为．而选项D不满足以上四种情况，故图象不可能是D．
故选D．
9．【答案】
【详解】由题意，扇形的弧长为，所以扇形的周长为
10．【答案】
【详解】要使函数有意义，则有，
所以，
所以函数的定义域为.
11．【答案】
【详解】因为角的终边经过点，过点P到原点的距离为，所以，所以 ，故填 .
12．【答案】kπ＋（k∈Z）
【详解】
由题意，得y＝cs （3x＋φ）是奇函数，cs φ＝0，所以φ＝kπ＋（k∈Z）.
13．【答案】2
【解析】由题意可得的最小值为，可得，，解方程可得的最小值.
【详解】解：若对任意的实数x都成立，
可得的最小值为，
可得，，
即有，，
由，
可得的最小值为2，此时.
14．【答案】②④
【详解】①：函数的最小正周期为：，函数没有周期性，所以函数不是周期函数，故本结论不正确；
②：因为函数，所以该函数的对称性为：，
因为，所以函数也关于对称，
因此函数的图像是轴对称图形，故本结论说法正确；
③：令，
，对于不恒成立，
所以对于不恒成立，
因此函数不是奇函数，故图象不关于原点对称，所以本结论说法不正确；
④：因为，所以，
因为，所以
所以，
因此本结论正确.
15．【答案】，，
【详解】因为，，，
则，
由商数关系可得：，
由诱导公式可得：，
所以，，.
16．【答案】(1)，，；
(2)单调递增区间（）；对称轴方程（）；
(3)最小值为，此时.
【详解】（1）由图可知，，，所以，
因为，所以，
由，
得（），得（），
因为，所以，
所以，，；
（2）由（1）可知.
令（），
解得（），
所以的单调递增区间为（）.
令（），得（），
所以的对称轴方程为（）；
（3）因为，所以，
所以当，即当时，取到最小值.
17．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为图象的相邻两条对称轴之间的距离为，
所以，所以.
函数的最小正周期.
（2）由于函数图象上两相邻对称轴之间的距离为，
所以的最小正周期，．此时．
（1）选条件①②；因为，所以．
因为图象的一个对称中心为，所以，
因为，所以，此时，所以；
选条件①③：因为，所以．
因为函数的图象过点，则，即，，
因为，即，，所以，，解得.
所以；
选条件②③：因为函数的一个对称中心为，
所以，所以．
因为，所以，此时，所以．
因为函数的图象过点，所以，即，，即，所以．
所以；
（3）因为，所以，
因为图象的对称轴只有一条落在区间上，所以，得，
所以的取值范围为．
18．【答案】(1)函数不具有性质；函数具有性质；
(2)
【详解】（1）函数是单调递增函数，所以函数不具有性质；
当时，函数对于任意，成立，所以函数具有性质；
（2）因为函数具有性质，且其对应的，，所以，
因为当时，，
所以设，则，
所以，所以，，①
又当时，，当时，，
所以，满足①式，
所以，，
因为，所以，所以，即，
所以函数在区间上的最大值为.