北京市顺义区第一中学2024−2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析）

这是一份北京市顺义区第一中学2024−2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共10小题）
1．设，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，，若，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
3．若为第二象限角，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是
A．B．
C．D．
5．向量在正方形网格中的位置如图所示.若向量与共线,则实数
A．B．C．D．
6．已知函数（）的部分图像如图所示，则（ ）
A．B．
C．D．
7．在矩形中，，，为上的动点，则（ ）
A．0B．1C．2D．4
8．设 ， 是非零向量.则“存在实数使得 ”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
9．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．为奇函数B．的最小正周期为
C．在区间上单调递增D．有最大值，没有最小值
10．半径为2m的水轮如图所示，水轮的圆心距离水面m.已知水轮按逆时针方向每分钟转4圈，水轮上的点到水面的距离(单位：m）与时间(单位：s）满足关系式.从点离开水面开始计时，则点到达最高点所需最短时间为（ ）
A．sB．sC．sD．10 s
二、填空题（本大题共5小题）
11．的值是
12．已知向量，，且与的夹角为45°，则= .
13．已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则 . .
14．将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的值可以为 （写出一个满足条件的的值即可）
15．已知函数，给出下列结论：
①为的一个零点；
②为周期函数；
③在区间上单调递增；
④的最大值为．
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题（本大题共6小题）
16．已知向量，.
(1)求的坐标；
(2)设的夹角为，求的值；
(3)若，求的值.
17．已知，．
（1）求及的值；
（2）求的值．
18．已知向量满足．
(1)求向量与的夹角；
(2)若向量在方向上的投影向量为，求的值．
19．已知函数．
(1)求的最小正周期；
(2)求的单调递增区间；
(3)求在区间上的值域．
20．已知函数.
(1)求函数的对称轴方程；
(2)若函数在区间上恰有个零点，
（i）求实数的取值范围；
（ii）求的值.
21．在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量.作：，，当不共线时，记以为邻边的平行四边形的面积为；当共线时，规定.
(1)已知，求；
(2)若向量，求证：；
(3)记，且满足，求的最大值.
参考答案
1．【答案】C
【详解】向量，则
则 .
故选C.
2．【答案】A
【详解】因为，所以是线段的中点，
所以点的坐标为，即，
故点的坐标为.
故选A.
3．【答案】D
【详解】因为为第二象限角，且，所以；
所以.
故选D.
4．【答案】A
【详解】∵
∴−=3(−)；
∴=−.
故选A.
5．【答案】D
【详解】由图中可知，若向量与共线,则.
答案为D.
6．【答案】A
【分析】由函数的图象求得，得到，结合，求得的值.
【详解】由函数的图象，可得，所以，
则，所以，
又由，可得，
所以，又因为，所以.
故选：A.
7．【答案】D
【详解】因为是矩形，为上的动点，所以；
因为,所以.
故选D.
8．【答案】B
【详解】若“”，则平方得.
即，即
则，即，即 ， 同向共线，则存在实数使得 ；
反之当时，存在，满足，但“”不成立.
即“存在实数使得 ”是“”的必要不充分条件.
故选B．
9．【答案】C
【详解】由，所以函数为偶函数，所以A不正确；
由函数，可得函数的最小正周期为，所以B不正确；
又令，解得，
所以函数单调递增区间为，，
令，的其中一个单调递增区间为，所以C正确.
因为，所以当时，，故D不正确.
故选C.
10．【答案】B
【详解】水轮每分钟逆时针转动4圈，则函数的最小正周期为15s，则，
由水轮的半径为2m，水轮圆心O距离水面m，
因为，可得，，
所以，
当水轮上点P从水中浮出时x= 0s开始计时，
令，解得，点P第一次到达最高点需要.
故选B.
11．【答案】/
【详解】.
12．【答案】1
【详解】因为，所以，
且，与的夹角为45°，
所以.
13．【答案】
【详解】因为在上的投影向量为，
所以，又，
所以，又 ，
所以.
14．【答案】（答案不唯一）
【详解】的图象向右平移个单位长度，得到，
得到的函数图象关于轴对称，则：，，
解得：，当时，．
15．【答案】①②④.
【详解】对于①，，故①正确；
对于②，，
所以为周期函数，故②正确；
对于③，，
，故③不正确；
对于④，，
令，，
当，，故④正确.
16．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为，，
所以
（2）
（3）因为，所以，
所以，
解得：.
17．【答案】（1），；（2）
【详解】（1）因为，所以
因为，即，
解得：或
因为，所以，所以.
（2）因为，且，
解得：，，
因为，所以，，
所以，，
因为，，所以，
所以.
18．【答案】(1)
(2)
【详解】（1），
，即，
，，
又，与的夹角为；
（2），
．
19．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为
所以的最小正周期为.
（2）因为，，
所以，.
所以的单调递增区间为.
（3）因为，所以.
当，即时，取得最大值3;
当，即时，取得最小值0-
所以在区间上值域为
20．【答案】(1)
(2)（i）；（ii）
【详解】（1）由题意可得：，
令，解得：，
所以的对称轴方程为.
（2）由（1）得：，
令，可得，
当时，令，
则在区间上恰有个零点等价于与在上恰有个不同的交点，
作出在上的图像如下图所示，
由图像可知：当时，与恰有个不同的交点，
所以实数的取值范围为；
（ii）设与的个不同的交点分别为，
则，，则，
即，整理可得：，
所以
21．【答案】(1)0；
(2)证明见解析；
(3).
【详解】（1）由，得.
（2）由向量，向量，得，
因此，同理，
所以.
（3）依题意，，，
则当为锐角时，，当为钝角时，，
当为锐角时，
当时，取到最大值；
当为钝角时，
，
当，即时，取得最大值，
所以的最大值.