北师大版（2024）因式分解一课一练

这是一份北师大版（2024）因式分解一课一练，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列多项式：①；②；③；④，其中能用平方差公式分解因式的多项式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．把多项式分解因式，结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列各多项式中，能用平方差公式分解因式的是( )
A．B．C．D．
4．下列各题中，分解因式错误的是（ ）．
A．B．
C．D．
5．多项式：①，②，③，④，⑤．能用平方差公式分解因式的有（ ）
A．5个B．2个C．3个D．4个
6．下列式子能用平方差公式因式分解的是（ ）
A．B．C．D．
7．若，则代数式A等于（ ）
A．B．C．D．
8．若，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
9．下列分解因式错误的是（ ）
A．1－16a2＝（1＋4a）（1－4a）B．x3－x＝x（x2－1）
C．a2－b2c2＝（a＋bc）（a－bc）D．m2－0.01＝（m＋0.1）（m－0.1）
10．已知，则的值是（ ）
A．11B．15C．56D．60
11．因式分解a2﹣4的结果是（ ）
A．（a+2）（a﹣2）B．（a﹣2）2C．（a+2）2D．a（a﹣2）
12．在下列多项式中，不能用平方差公式因式分解的是（ ）
A．B．C．D．
13．计算：的结果是（ ）
A．B．C．D．
14．把下列各式因式分解，结果为的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
15．因式分解：=__________．
16．计算：20212﹣20202＝_____．
17．若，，则的值为____________．
18．因式分解：(x＋3)2－9＝________．
19．分解因式：（a﹣b）2﹣4b2＝_____．
20．已知，则的值 ________
21．已知a+b＝3，则a2﹣b2+6b的值为_____．
22．因式分解：______．
23．已知实数m，n满足，则代数式m2﹣n2的值为_____．
24．小明家的门锁密码采用教材中介绍的“因式分解法”设置，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式可因式分解为，当取时，各因式的值是，于是就把“018162”作为一个六位数密码．类似地，小明采用多项式产生密码，当时，写出能够产生的所有密码__________.
25．方程的正整数解为__________．
26．设，若，则____________．
三、解答题
27．（阅读材料）
把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题中都有着广泛的应用．
例如：①用配方法因式分解：a2+6a+8．
原式＝a2+6a+9－1＝(a+3) 2－1＝(a+3－1)( a+3+1)＝(a+2)(a+4)
②求x2+6x+11的最小值．
解：x2+6x+11＝x2+6x+9+2＝(x+3) 2+2；
由于(x+3) 2≥0，
所以(x+3) 2+2≥2，
即x2+6x+11的最小值为2．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+ ；
(2)用配方法因式分解：a2－12a+35；
(3)用配方法因式分解：x4+4；
(4)求4x2+4x+3的最小值．
28．阅读理解以下文字：
我们知道，多项式的因式分解就是将一个多项式化成几个整式的积的形式．通过因式分解，我们常常将一个次数比较高的多项式转化成几个次数较低的整式的积，来达到降次化简的目的．这个思想可以引领我们解决很多相对复杂的代数问题．
例如：方程就可以这样来解：
解：原方程可化为
所以或者．
解方程，得
所以解为，．
根据你的理解，结合所学知识，解决以下问题：
（1）解方程：；
（2）解方程：；
（3）已知的三边长为，，，请你判断代数式的值的符号．
参考答案
1．B
【分析】
根据平方差公式的性质解答即可．
【详解】
解：③，④可以用平方差公式分解因式；
①；②不可以用平方差公式分解因式．
故选：B．
【点拨】
此题主要考查了平方差公式性质，熟悉相关性质是解题的关键．
2．D
【分析】
根据平方差公式直接进行求解即可．
【详解】
解：；
故选：D．
【点拨】
本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
3．A
【分析】
根据平方差公式：两个数平方的差，等于这两个数的和与差的平方解答．
【详解】
A.，能用平方差公式分解因式；
B.，不能用平方差公式分解因式；
C.，不能用平方差公式分解因式；
D.，不能用平方差公式分解因式；
故选：A．
【点拨】
此题考查平方差公式：，掌握公式中多项式的特点是解题的关键．
4．B
【分析】
根据因式分解的方法直接进行排除选项．
【详解】
A.，正确，故不符合题意；
B.，选项不正确，故符合题意；
C.，正确，故不符合题意；
D.，正确，故不符合题意；
故选B．
【点拨】
本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式分解因式是解题的关键．
5．C
【分析】
根据平方差公式的特点：两个平方项，两个平方项的符号相反进行判断.
【详解】
符合平方差公式分解特点的有：③、④、⑤，
故选：C.
【点拨】
此题考查平方差公式分解因式的特点：两个平方项，两个平方项的符号相反，只有熟记此种方法分解因式的多项式的特点才能正确解决问题.
6．C
【分析】
利用平方差公式判断即可得到正确的选项．
【详解】
解：A.，不符合平方差公式 的特征，故本选项不符合题意；
B.，不符合平方差公式 的特征，故本选项不符合题意；
C.，能用平方差公式进行因式分解，故本选项符合题意；
D.，不符合平方差公式 的特征，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点拨】
此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
7．A
【分析】
利用平方差公式将等号右边写成，即可求解．
【详解】
解：∵，
∴，
故选：A．
【点拨】
本题考查平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键．
8．B
【分析】
利用平方差公式进行分解因式后计算即可得到答案.
【详解】
∵，，
∴==1，
故选：B.
【点拨】
此题考查平方差公式分解因式，，熟记公式并运用解题是关键.
9．B
【分析】
运用平方差公式、提公因式法逐项分析．
【详解】
A.1－16a2＝（1＋4a）（1－4a），正确；
B.x3－x＝x（x2－1）＝ x（x－1）（x＋1），错误；
C.a2－b2c2＝（a＋bc）（a－bc），正确；
D.m2－0.01＝（m＋0.1）（m－0.1），正确；
故选B．
【点拨】
本题考查因式分解的方法，熟练掌握平方差公式、提公因式法是关键．
10．C
【分析】
直接利用平方差公式将a2-b2分解为(a+b)(a-b)，代入数据后即可得出结论．
【详解】
解：∵a+b=7，a-b=8，
∴a2-b2=（a+b）（a-b）=7×8=56．
故选：C．
【点拨】
本题考查了平方差公式的应用，公式法因式分解.解题的关键是利用平方差公式将a2-b2分解为(a+b)(a-b).
11．A
【分析】
利用平方差公式进行分解即可．
【详解】
解：原式＝（a+2）（a﹣2），
故选：A．
【点拨】
本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握利用平方差公式分解因式是解题的关键．
12．D
【分析】
根据平方差公式有： ＝＝（x＋3y）（x−3y）；＝m2-1=（m+1）（m−1）；＝b2−16a2＝（b＋4a）（b−4a）；而−x2−1＝−（x2＋1），不能用平方差公式分解．
【详解】
A.＝＝（x＋3y）（x−3y）；
B.＝m2-1=（m+1）（m−1）；
C.＝b2−16a2＝（b＋4a）（b−4a）；
而−x2−1＝−（x2＋1），不能用平方差公式分解．
故选：D．
【点拨】
本题考查了平方差公式：a2−b2＝（a＋b）（a−b），熟练掌握此公式是解答此题的关键．
13．B
【分析】
先根据平方差公式把每个括号内的式子分解因式，进一步计算乘法即得答案．
【详解】
解：原式=
=
=
=．
故选：B．
【点拨】
本题考查了多项式的因式分解和有理数的简便运算，属于常考题型，熟练掌握分解因式的方法是解题关键．
14．A
【分析】
A选项，利用平方差公式即可得到，B选项，不能得到，C选项，得到的是，D选项，不能得到，即可解决．
【详解】
解：．
故选A．
【点拨】
本题主要考查了利用平方差公式因式分解，熟练公式的运用是解决本题的关键．
15．
【分析】
先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可解题．
【详解】
解：
故答案为：．
【点拨】
本题考查因式分解，涉及平方差与提公因式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
16．4041
【分析】
由平方差公式进行因式分解，即可得到答案．
【详解】
解：；
故答案为：4041．
【点拨】
本题考查了因式分解的应用，解题的关键是掌握平方差公式进行化简．
17．．
【分析】
应用平方差把多项式因式分解，再整体代入即可．
【详解】
解：，
把，代入，
原式=，
故答案为：．
【点拨】
本题考查了运用平方差公式因式分解和整体代入求值，能够熟练运用平方差把多项式因式分解并整体代入求值，是解题的关键．
18．x（x+6）
【分析】
根据平方差公式分解因式．
【详解】
(x＋3)2－9=（x+3+3）（x+3-3）=x（x+6），
故答案为：x（x+6）．
【点拨】
此题考查多项式的因式分解，掌握因式分解的方法：提公因式法和公式法（平方差公式、完全平方公式）、分组分解法，根据多项式的特点选用恰当的方法分解因式是解题的关键．
19．（a+b）（a﹣3b）
【分析】
直接利用平方差公式分解因式得出即可．
【详解】
解：（a﹣b）2﹣4b2
＝（a﹣b+2b）（a﹣b﹣2b）
＝（a+b）（a﹣3b）．
故答案为：（a+b）（a﹣3b）．
【点拨】
本题主要考查了公式法进行因式分解的知识，解题的关键是熟练掌握平方差公式分解因式，注意因式分解要彻底．
20．9
【分析】
将视为整体，先利用平方差公式及提公因式法将代数式化成乘积形式，再整体代入解题即可．
【详解】
∵m-n=3,
∴
【点拨】
本题考查代数式求值，涉及整体代入思想、因式分解等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
21．9
【分析】
把前两项分解因式，然后把a+b=3代入，化简，然后再利用a+b表示，代入求值即可．
【详解】
a2- b2+6b
= (a+b) (a-b) +6b
=3 (a-b) +6b
=3a+3b
=3 (a+b)
=9.
故答案为：9．
【点拨】
本题考查了平方差公式，正确对所求的式子进行变形是关键．
22．
【分析】
先提公因式，再把余下的式子利用平方差公式分解即可．
【详解】
解：原式
．
故答案为：．
【点拨】
本题考查了提公因式法和用公式法因式分解，熟记平方差公式是解题的关键．
23．-2019
【分析】
直接利用平方差公式将原式变形得出答案．
【详解】
解：∵实数m，n满足，
∴m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）
＝﹣2019．
故答案为：﹣2019．
【点拨】
此题主要考查了平方差公式，根据题目要求正确将原式变形是解题关键．
24．551111，115511，111155
【分析】
只需将进行因式分解成 ，再将x=11 y=11代入即可．
【详解】
解: =
当x=11, y=11
∴x=11，3x-2y=11， 3x+2y=55，
∴能够产生的所有密码有：551111，115511，111155
故答案为: 551111，115511，111155
【点拨】
此题主要考查因式分解，要注意得出的数字有多种排列排列．
25．
【分析】
原式利用平方差公式可变形为（x+y）（x-y）=31，根据x、y为正整数，31=31×1可得，解方程组即可得答案．
【详解】
∵x2-y2=31，
∴（x+y）（x-y）=31，
∵x、y为正整数，
∴（x+y）（x-y）=31=31×1，
∴，
解得：，
故答案为：
【点拨】
本题考查平方差公式及解二元二次方程组，根据x、y为正整数，利用平方差公式得出（x+y）（x-y）=31=31×1进而列出方程组是解题关键．
26．
【分析】
根据已知条件求出，，得到m-n与m+n，即可求出答案.
【详解】
∵，
∴，
∴，
∵m> n>0，
∴，，
∴，
故答案为：.
【点拨】
此题考查利用算术平方根的性质化简，平反差公式的运用，熟记公式是解题的关键.
27．(1)；(2) ；(3) ；(4)
【分析】
(1)由 从而可得答案；
(2)由化为两数的平方差，再利用平方差公式分解，从而可得答案；
(3)由化为两数的平方差，再利用平方差公式分解即可；
(4)由 化为一个非负数与一个常数的和，再利用非负数的性质求解最小值即可．
【详解】
解：(1)
故答案为：
(2)



(3)


(4)


的最小值是
【点拨】
本题考查的是配方法的应用，同时考查了完全平方公式与平方差公式，掌握用配方法分解因式，求最值是解题的关键．
28．（1）x1=0或x2=5；（2）x1 =-1，x2=3；（3）见解析
【分析】
（1）提取公因式分解因式，可得两个一元一次方程，可得方程的解；
（2）提取公因式分解因式，可得两个一元一次方程，可得方程的解；
（3）将代数式变形后得：（y+4-x）（y+4+x），根据三角形的三边关系得：x+y-4＞0，x-y+4＞0，y+4+x＞0，则y2-8y+16-x2＞0
【详解】
解：（1），
∴，
∴x=0或x-5=0，
∴x1=0或x2=5；
（2）（x+3）2-4x2=0，
∴（x+3+2x）（x+3-2x）=0，
∴（3x+3）（-x+3）=0，
∴3x+3=0或-x+3=0，
解方程得：x1 =-1，x2=3；
（3）∵△ABC的三边长为4，x，y，
∴x+y＞4，x+4＞y，
∴x+y-4＞0，x-y+4＞0，y+4+x＞0，
∵y2-8y+16-x2=（y-4-x）（y-4+x）＜0，
即代数式y2-8y+16-x2的值的符号为负号．
【点拨】
本题考查了平方差公式分解因式、三角形的三边关系，运用平方差公式是解题的难点，准确判断三边关系来求解．