山东省菏泽市曹县第一中学2024-2025学年高一下学期第一次月考（3月）数学试题（Word版附解析）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡的相应位置上．
1. 已知向量，满足，，，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
2. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若则边（ ）
A. 1B. C. D.
3. 在中，点D在边AB上，BD＝2DA.记，，则（ ）
A. B.
C. D.
4. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，则三角形是（ ）
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形
5. 的内角、、的对边分别为、、，若，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
6. 小明同学学以致用，欲测量学校教学楼的高度，他采用了如图所示的方式来进行测量，小明同学在运动场上选取相距20米的C，D两观测点，且C，D与教学楼底部B在同一水平面上，在C，D两观测点处测得教学楼顶部A的仰角分别为，，并测得，则教学楼AB的高度是（ ）
A. 20米B. 米C. 米D. 25米
7. 中，D为BC的中点，，则AD的长为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，正方形边长为2，圆半径为1，点在圆上运动，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知平面向量，则（ ）
A. B.
C. 在上的投影向量的模为D. 与的夹角为钝角
10. 在中，角所对的边分别为，，，以下判断正确的是（ ）
A. 若，则的面积为B. 若，则
C. 若，则D. 若有两解，则
11. 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且.若D是外一点，DC＝1，AD＝2，则下列说法中正确（ ）
A. B.
C. 四边形ABCD面积有最小值D. 四边形ABCD面积有最大值
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 已知向量，，则向量在向量上投影向量为__________（用坐标表示）．
13. 定义：，两个向量的叉乘的模．若点、，O为坐标原点，则______．
14. 在中，角A，B，C对边分别为a，b，c，已知的平分线交AC于点D，且，则的最小值＝______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 在中，角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求的值；
（2）若，，求的面积．
16. 已知平面向量，.
（1）若，且，求的坐标；
（2）若与的夹角为锐角.求实数的取值范围.
17. 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
（1）求角A大小；
（2）若，求的取值范围．
18. 第31届世界大学生夏季运动会将于2022年6月在成都举行，需规划公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为五边形ABCDE（如图），根据自行车比赛的需要，需预留出AC，AD两条服务车道（不考虑宽度），DC，CB，BA，AE，ED为赛道，已知，，，，______．（注：km为千米）
请从①；②这两个条件中任选一个，补充在题干中，然后解答补充完整的问题．
（1）求服务通道AD的长；
（2）在（1）的条件下，求折线赛道AED的最大值（即最大）．
注：如果选择两个条件解答，按第一个解答计分．
19. 如图，设 中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD为BC边上的中线，已知c＝1且2csinAcsB＝asinA﹣bsinBbsinC，cs∠BAD．
（1）求b边的长度；
（2）设点E，F分别为边AB，AC上动点，线段EF交AD于G，且的面积为面积的一半，求的最小值.