（6）导数及其应用——2025届高考数学一轮复习经典例题训练集【配套新教材】

这是一份（6）导数及其应用——2025届高考数学一轮复习经典例题训练集【配套新教材】，共8页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．[2023春·高二·辽宁阜新·期末校考]若直线与曲线相切，则实数a的值为( )
A.0B.-1C.-2D.-3
答案：C
解析：设切点为，由于直线的斜率为-1，所以，
又，所以，解得，所以，故切点为，
所以切线方程为，即，所以.故选C.
2．[2024春·高二·甘肃兰州·月考校考]已知，，，则有( )
A.B.C.D.
答案：C
解析：把a，b，c变形得，，，所以构造函数，，则，，.令，则在上恒成立，所以在区间上，，所以在上恒成立，所以函数在上单调递增，所以，即.故选C.
3．已知对于任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
答案：B
解析：由题设得，即，令且，则上述不等式等价于，而，故在上单调递增，则有在上恒成立，
所以在上恒成立，记，令，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，故.故选B.
4．已知函数若函数有唯一零点，则实数m的取值范围是( )
A.B.C.D.
答案：D
解析：当时，，，单调递减；当时，，，当时，，当时，，单调递减，当时，，单调递增.所以在处取得极大值，，并且当时，，当时，，作出函数的大致图象，如图所示.
由图可知只有1个零点，则必须满足或，故选D.
5．若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为( )
A.B.C.D.
答案：B
解析：方法一：由，令，令，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，当时，函数有最大值，且，函数图象的对称轴为直线，画出当时，的图象如图所示，所以当时，有两个不同的极值点，等价于直线与函数的图象有两个不同的交点，所以，故选B.
方法二：函数的定义域为，因为有两个不同的极值点，所以在上有2个不同的零点，且零点两侧异号，所以在上有2个不同的实数根，，且根据二次函数的性质可知这两根的两侧函数值异号，所以解得，故选B.
二、多项选择题
6．若函数的定义域为，其导函数为，满足恒成立，则下列结论一定正确的是( )
A.B.C.D.
答案：AC
解析：构造函数，则，所以在上单调递增.又，所以，则，A正确.因为，所以，B错误.因为，所以，所以，C正确.因为，所以，所以，D错误.故选AC.
7．[2024春·高二·吉林通化·月考校考]已知函数，则下列说法正确的是( )
A.当时，在R上单调递增
B.当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增
C.当时，函数与的图象有两个不同的公共点
D.当时，若不等式在时恒成立，则a的取值范围是
答案：ABD
解析：对于A，由题意得，当时，，则在R上单调递增，故A正确；
对于B，当时，令，得，则当时，，在区间上单调递减，
当时，，在区间上单调递增，故B正确；
对于C，当时，，令，
利用导数易证不等式恒成立，且仅在处取等号，可得，即，且仅在时取等号，故C错误；
对于D，当时，不等式在时恒成立等价于在时恒成立，
即在时恒成立，
令，，则，
当时，，在区间上单调递增，当时，，在区间上单调递减，故，
故，即实数a的取值范围是，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
8．[2024春·高二·广东东莞·期中联考]若函数在上有最小值，则实数a的取值范围为____________.
答案：
解析：，令，得或；令，得，所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，所以要使函数在上有最小值，只需即得所以，所以实数a的取值范围为.
9．已知，若对于任意的，不等式恒成立，则实数a的最小值为__________.
答案：
解析：因为，所以可化为.令，则且等号不恒成立，所以在上单调递增.因为，，所以，，，所以可化为，则，即在上恒成立，即.
令，则，令，则，令，则，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，即实数a的最小值为.
四、解答题
10．已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若有两个零点，（），且，求a的取值范围.
答案：（1）见解析
（2）
解析：（1），，所以.
①当时，恒成立，此时在R上单调递增；
②当时，令，得；令，得，所以在上单调递减，在上单调递增.
（2）方法一：由题意及（1）可知，，且，
所以，即.又，，所以，.
由，得，同理，
两式相除得.
令，则，即.
等号两边同取自然对数，得，则.
又，所以，故.
令，则，则在上单调递减.
因为，当时，，故，即.
又，令，，在上恒成立，所以在上单调递减.
因为，当时，，所以a的取值范围为.
方法二：由题意可得，，即.
今，则，，所以，等号两边同取自然对数，得，
则.
又，所以，化简得①.
因为，所以，代入①得，解得.
又，
令，，则，故在上单调递增，则.
令，则.令，，
则，所以在上单调递增，
则，则，故.
所以a的取值范围为.