2024-2025学年皖豫名校联盟高三（下）4月质检数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年皖豫名校联盟高三（下）4月质检数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若(z−1)·i5=2+i，则z=
A. 2−2iB. 2+2iC. −2−2iD. −2+2i
2.已知非零向量b在向量a上的投影向量为14a，且a=(1, 3)，则a⋅b=
A. 2B. 1C. −12D. −1
3.函数f(x)=xsinx的图象在x=π2处的切线方程为
A. y=π2B. y=x−π2C. y=xD. y=2x−π2
4.已知集合A={(x,y)|x2+y2−2x=0}，B={(x,y)|x2+y2−4y=0}，则A∩B中元素的个数为
A. 无数个B. 2C. 1D. 0
5.已知双曲线C：x2−y2b2=1(b>0)的左、右焦点分别为F1(−c,0)，F2(c,0)，C的一条渐近线与直线l：x=1c交于点M，若△MF1F2的面积为 3，则C的离心率为
A. 3B. 4 33C. 4D. 2
6.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知∠BAC=5π6，边BC上一点D使得AD=2，且∠BAD=π6，则 3b+c的最小值为
A. 2 3B. 4 3C. 8 3D. 8
7.如图(1)，由两个半径相等的圆柱体呈直角相交而得到的公共部分对应的几何体称为“牟合方盖”(如图(2))，牟合方盖的表面可以看成四个曲面拼接成的．将一个牟合方盖的四个曲面编号为1，2，3，4，然后每个曲面染一种颜色，相邻(有公共边)的两面颜色不能相同，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法种数为( )
A. 24B. 48C. 60D. 84
8.若不等式(x2−m)(lnx−n)≥0对任意正数x恒成立，则nm的最大值为
A. 12eB. 1e2C. 2e4D. 0
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.2025年1月20日，DeepSeek发布并开源DeepSeek−R1模型，这是继CℎatGPT之后人工智能技术的又一次突破，对人工智能市场的发展产生了巨大的推动作用．以下是收集到的2015年至2024年人工智能的市场规模(单位：十亿美元)的数据：
设z=ln y，z与x的关系可以用线性回归模型z=0.35x+1.57进行拟合，e0.35≈1.42，e1.57≈4.8，则
A. 人工智能的市场规模与年份正相关B. 人工智能的市场规模的90%分位数为110
C. y关于x的回归方程为y=e0.35x+4.8D. 人工智能的市场规模的年增长率约为42%
10.已知{an}，{bn}均为等差数列，设Sn，Tn分别为{an}，{bn}的前n项和，若(2n+2)Sn=nTn，则( )
A. 4a1=b1B. a11b11=12
C. T11=143a1+S11D. 数列a12bn+2a1an的前n项和小于14
11.已知椭圆C：x28+y2b2=1(08π3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数f(x)=sin2ωx+π3(ω>0)在区间0,π6内恰有3个零点，则ω的取值范围为__________．
13.已知f(x)是定义在R上的增函数，且图象关于点(2,1)对称，若关于x的不等式f(|x+a|)+f(|x−a|)0)经过点Q(4,−4)，过E的焦点F作斜率为k1的直线l，与E交于A，B两点(A在第一象限)，过点P(3,0)作直线AP，BP分别与E交于另外两点C，D，设直线CD的斜率为k2．
(Ⅰ)求E的方程；
(Ⅱ)证明：k2k1为定值；
(Ⅲ)过点D作两条相互垂直的直线DM，DN，分别与E交于另一点M，N(点M，N均与A，C不重合)，若直线AD与AB的斜率之积为−3，证明直线MN与AC相交于定点，并求出定点的坐标．
19.(本小题17分)
数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个(或者局部)自然数范围内成立．证明分为下面两个步骤：①证明当n取第一个值n0(n0∈N ​∗)时命题成立；②假设n≤k(k∈N ​∗，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．根据①②就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都成立．根据上述材料解决下面的问题：
已知数列{an}满足a1=1，a2=cs θ，当n≥3时，an=2an−1cs θ−an−2，其中θ∈(0,π)．
(Ⅰ)写出a3和a4，猜想{an}的通项公式，并证明你的猜想；
(Ⅱ)若a2−a3=2a2a3，求θ；(参考公式：csαcsβ=12[cs(α+β)+cs(α−β)])
(Ⅲ)对任意的k≥2且k∈N ​∗，设满足ak=csk−1k2的θ的最小值为θk，证明：当n≥2时，1+θ21+θ3…1+θnP(X=k−1)，当k>9时，P(X=k)